कुकी बॉक्स में कितने कुकीज़ हैं? - टाइलिंग स्टार

Question

छुट्टियों का मौसम आने के साथ मैंने कुछ दालचीनी सितारे बनाने का फैसला किया । यह मज़ेदार था (और परिणाम स्वादिष्ट), लेकिन मेरे भीतर का भद्दा उखड़ गया जब मैंने बॉक्स में तारों की पहली ट्रे लगाई और वे एक परत में फिट नहीं हुए:

लगभग! क्या कोई ऐसा तरीका है जिससे वे फिट हो सकते हैं? हम कितनी अच्छी तरह से तारों को टाइल कर सकते हैं? यह देखते हुए कि ये नियमित रूप से छह-नक्षत्र वाले तारे हैं, हम निश्चित रूप से प्रसिद्ध षट्भुज झुकाव का उपयोग सन्निकटन के रूप में कर सकते हैं, जैसे:

^{ऊपरी दाईं ओर एक को मेस अप किया, व्हाट्सएप।}

लेकिन क्या यह इष्टतम है? सुझावों के बीच बहुत जगह है।

इस विचार के लिए, आइए हम अपने आप को आयताकार बक्से और छह-नुकीले, नियमित तारों तक सीमित रखें, यानी हर टिप्स और उसके पड़ोसी नुक्कड़ के बीच तीस डिग्री (या ) हैं। सितारों को आंतरिक त्रिज्या और बाहरी त्रिज्या द्वारा विशेषता है :$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ स्रोत ]}

ध्यान दें कि हमारे पास और hexagrams के लिए । मुझे लगता है कि इन चरम सीमाओं (कुकीज़ के लिए) पर विचार करना और बीच में खुद को सीमा तक सीमित करना उचित है, यानी ।$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

मेरे कुकीज़ में और खामियों को नजरअंदाज करते हुए - मैं स्वाद के लिए जा रहा था, एक बार के लिए नहीं!$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

ऊपर बताए अनुसार तारों के लिए एक इष्टतम टाइलिंग क्या है? यदि कोई स्थैतिक सर्वोत्तम टाइलिंग नहीं है, तो क्या एक अच्छे को कुशलतापूर्वक खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म है?

Comments

हां, मुझे पता है: आपने क्या प्रयास किया है और आप कहां फंस गए हैं? यह सिर्फ एक प्यारा वास्तविक "समस्या" है जिसे मैंने सोचा था कि कुकी सीज़न के बारे में सोचने में मज़ा आ सकता है, खासकर उन लोगों के लिए जो बेकर्स के बजाय विचारक हैं। मज़े करो!

— राफेल

शायद आप ठंढ से चिपक गए। रसोईघर में। *

— रिमशॉट

Answer 1

आंशिक रूप से हेक्साग्राम केस के लिए मुझे अपने प्रश्न का उत्तर दें।

आप निम्नलिखित टाइलिंग बना सकते हैं

$\hskip1.2in$

इसके द्वारा आप विमान के 12/14 = 6/7 को कवर करेंगे (धराशायी चतुर्भुज में त्रिकोणों की गणना करें)।

क्या यह इष्टतम है? मुझे ऐसा लगता होगा। हालाँकि मैं इस बात का प्रमाण नहीं दे रहा हूँ कि मैं कुछ तर्क दूंगा। कोई यह पूछ सकता है कि हम नुकीले स्पाइक्स के बीच में अंतरिक्ष (त्रिकोण) को कितना अच्छा भर सकते हैं। उपरोक्त टाइलिंग में हम इसका आधा भाग भरते हैं। क्या हम बेहतर कर सकते हैं?

$\hskip20mm$

यह संभव है कि दो हेक्साग्राम इस स्थान को इंटरसेक्ट करेंगे, लेकिन फिर वे इसके क्षेत्र (प्रमाण के बिना) के बहुत कम कवर करते हैं। यदि केवल एक षट्कोणीय प्रतिच्छेदन है तो मैं मानता हूं कि इसकी नोक चित्र में दिखाए गए अनुसार अन्य षटक्रम के अवतल कोने को स्पर्श करती है। यदि ऐसा नहीं होता है तो हम इस कोने (फिर से यहाँ कोई सबूत नहीं) को चौराहे के हेक्साग्राम पर ले जाकर सुधार सकते हैं। इन धारणाओं के तहत यह देखना मुश्किल नहीं है कि मामला जहां साइड-टू-साइड संपर्क है चौराहे को अधिकतम करता है। यदि आप गणित करते हैं, तो आपको पता चलेगा कि चौराहे का क्षेत्र बराबर है

$$\frac{\sec ^2(x)}{2 \sqrt{3} \tan (x)+2}.$$

इस फ़ंक्शन का प्लॉट इस तरह दिखता है और दिखाता है कि हमारा अंतर्ज्ञान सही था।

$\hskip30mm$

Answer 2

निम्नलिखित इस संभावित अप्रत्याशित समस्या पर एक निश्चित या विशिष्ट / श्रेष्ठ हमले के रूप में पेश नहीं किया जाता है, लेकिन अतिरिक्त वैज्ञानिक / सैद्धांतिक कोण / सामान्य अध्ययन के रूप में अब तक कवर नहीं किया गया है।

1 ^सेंट इस सामान्य क्षेत्र को "बिन पैकिंग" के रूप में जाना जाता है / वर्गीकृत किया जाता है और यह एक 2d मामला है। गणित के कुछ प्रसिद्ध प्रमाण हैं जो संबंधित हैं जैसे कि केपर्स के 3 डी मामले में गोले की पैकिंग की जांच जो सदियों से एक खुली समस्या थी और हाल ही में हेल्स द्वारा कंप्यूटर प्रूफ के साथ हल किया गया था। उदाहरण 2d मामला जो उद्योग में दैनिक उपयोग किया जाता है, चिप लेआउट के अनुकूलन के लिए है। स्पष्ट रूप से यह समस्या से अलग है लेकिन इस प्रकार की समस्याओं की कुछ जटिलता की ओर इशारा कर सकता है। उदाहरण के लिए ऐसा कोई सिद्धांत प्रतीत नहीं होता है, जिसकी आवश्यकता / संकेत हो कि 2d केस 3 डी केस की तुलना में सरल होगा। यह भी ध्यान दें कि एक साधारण आयताकार सीमा आवश्यक रूप से समाधान के अलावा अन्य समाधान को सरल बनाने में मदद नहीं करती है, एक बहुभुज सीमा।

यदि किसी प्रकार की मूल परिभाषा / योजना "नियमित टाइलिंग" की समस्या के विवरण जैसे कि ग्रिड आदि पर प्लेसमेंट जैसे कि स्टेटस समीकरण समीकरण व्युत्पन्न और एक इष्टतम खोज योग्य हो सकते हैं, तो एक विश्लेषणात्मक समाधान संभव हो सकता है।

समस्या की स्थितियाँ (शायद काउंटरिनिटिवली) एक विश्लेषणात्मक इष्टतम समाधान के लिए नेतृत्व नहीं करती हैं। यह कुछ आश्चर्यचकित करने वाला हो सकता है लेकिन विमान को बांधने की बहुत ही समान समस्याओं को ज्ञात नहीं किया जाता है (यह वर्षों पहले एक प्रसिद्ध परिणाम था और कई संदर्भ हैं और यहां तक ​​कि अनुसंधान भी हैं)। निर्णायक (सॉल्व / एनालिटिक) और अकल्पनीय समस्याओं के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि क्या टाइलिंग "नियमित" है। उपरोक्त समस्या "नियमित सितारों" को संदर्भित करती है लेकिन "नियमित टाइलिंग" को संदर्भित नहीं करती है। अन्य वर्तमान उत्तर एक प्रकार की नियमित टाइलिंग या ऑर्डर मानते हैं, लेकिन ध्यान दें कि "नियमित टाइलिंग" को परिभाषित करना औपचारिक रूप से / गणितीय रूप से बहुत मुश्किल हो सकता है।

इस तरह की समस्याएं आनुवंशिक एल्गोरिदम के लिए आम तौर पर काफी उत्तरदायी हैं । इस तरह के एक एल्गोरिथ्म में "बहुत अच्छे" पैकिंग मिल सकते हैं, जिनके द्वारा बहुत सुधार होने की संभावना नहीं है, और शायद कुछ सीमाएं बहुत ही सरल तरीकों के माध्यम से अपनी इष्टतमता पर रखी जा सकती हैं (अर्थात इष्टतम के एक छोटे त्रुटि प्रतिशत के भीतर होनी चाहिए), लेकिन कोई भी साबित नहीं कर सकता इष्टतम हैं।

यहाँ कुछ रेफरी पाए गए हैं जो आम तौर पर सीधे लागू होते हैं:

• जेनेटिक एल्गोरिदम का उदाहरण उपयोग। बहुभुज / जैकब्स की पैकिंग के लिए आनुवंशिक एल्गोरिदम पर

• ज्यामितीय पैकिंग और स्केलिंग समस्याओं के लिए एल्गोरिदम पीएचडी थीसिस / माइकल फॉरमैन 1992, 92 पी, सेकंड 3.6 स्केलिंग स्टार के आकार का एक्स-मोनोटोन ऑब्जेक्ट्स p30

• ज्यामितीय शैंपों के लिए ज्यामितीय बिन पैकिंग ALGORITHM / ARFATH PASHA 2003 ग्रेजुएट थीसिस 87p

• यह स्टैकएक्सचेंज प्रश्न भी करीब है। एक मनमानी सीमा के भीतर मनमाना बहुभुज पैकिंग । यह मनमानी सीमाओं के लिए है

Comments

इसी तरह के सिद्धांत चांग / एनवाईटी द्वारा टेट्राहेड्रों की पैकिंग भी देखते हैं । अनुमान (कुछ हद तक प्रेरित लेख): इस विशिष्ट समस्या के लिए, एक अनियमित पैकिंग मौजूद है जो किसी भी नियमित से बेहतर है।

— vzn 5

Answer 3

हालांकि इस विशेष समस्या का अध्ययन नहीं किया गया है, ऐसे सवाल लासज़लो फ़ेज़ेस टोथ द्वारा पूछे गए हैं और इसे पैकिंग समस्याओं के रूप में जाना जाता है। मैं पच-अग्रवाल पुस्तक के तीसरे अध्याय की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं ।

Comments

जैसा कि यह एक उत्तर नहीं है, बल्कि एक टिप्पणी है। क्या आप संक्षेप में बता सकते हैं कि इस मामले में उद्धृत पुस्तक में क्या है और यह यहाँ कैसे लागू हो सकता है?

— राफेल