कटौती के प्रकार और कठोरता की संबद्ध परिभाषा

Question

चलो A को B, यानी लिए reducible किया जाए । इसलिए, को स्वीकार करने वाली ट्यूरिंग मशीन में लिए एक ओरेकल तक पहुंच है । मान लें कि ट्यूरिंग मशीन को और को लिए । कटौती के प्रकार:ए बी ए एम ए बी ओ $A \leq B$$A$$B$$A$$M_{A}$$B$$O_{B}$

• ट्यूरिंग में कमी: से कई प्रश्न कर सकते हैं । ओ $M_{A}$$O_{B}$

• कार्प की कमी: जिसे "बहुपद समय ट्यूरिंग कमी" भी कहा जाता है: इनपुट का निर्माण किया जाना चाहिए। इसके अलावा, प्रश्नों की संख्या एक बहुपद द्वारा बाध्य होनी चाहिए। इस स्थिति में: । ओ बी पी ए = पी $O_{B}$$O_{B}$$P^{A} = P^{B}$

• कई-एक ट्यूरिंग कमी: अपने अंतिम चरण के दौरान को केवल एक क्वेरी कर सकता है । इसलिए ओरेकल प्रतिक्रिया को संशोधित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, के इनपुट के निर्माण में वाले समय को एक बहुपद द्वारा बाध्य नहीं किया जाना चाहिए। समान रूप से: ( कई-एक कमी को दर्शाते हुए) ओ बी ओ बी ≤ $M_{A}$$O_{B}$$O_{B}$$\leq_{m}$

  $A \leq_{m} B$ अगर एक गणनीय समारोह ऐसी है कि ।च : Σ * → Σ * च ( एक्स ) ∈ $\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• कुक की कमी: इसे "बहुपद समय कई-एक कमी" भी कहा जाता है: एक कई-एक कमी जहां लिए इनपुट बनाने में वाला समय एक बहुपद से घिरा होना चाहिए। समान रूप से: ( कई-एक कमी को दर्शाते हुए) ≤ पी $O_{B}$$\leq^{p}_{m}$

  $A \leq^p_{m} B$ if में पॉली-टाइम कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन जैसे कि ।$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• पार्सिमोनियस कमी: जिसे "बहुपद समय एक-एक कमी" भी कहा जाता है: एक कुक कमी जहां प्रत्येक उदाहरण को एक अद्वितीय उदाहरण के लिए मैप किया जाता है । समान रूप से: ( पार्सिमोनियस कमी को दर्शाते हुए)$A$$B$$\leq^{p}_{1}$

  $A \leq^p_{1} B$ if एक पॉली-टाइम कम्प्यूटेशनल जीवनी जैसे कि ।$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

  ये कटौती समाधानों की संख्या को संरक्षित करती है। अत: ।$\#M_{A} = \#O_{B}$

हम ओरेकल प्रश्नों की संख्या को सीमित करके अधिक प्रकार की कटौती को परिभाषित कर सकते हैं, लेकिन उन लोगों को छोड़कर, कोई मुझे कृपया बता सकता है कि क्या मैंने सही तरीके से उपयोग किए गए विभिन्न प्रकार के कटौती के लिए नामकरण प्राप्त किया है। क्या एनपी-पूर्ण समस्याओं को कुक की कमी या पर्सिमोनस रिडक्शन के संबंध में परिभाषित किया गया है? क्या कोई कृपया एक ऐसी समस्या का उदाहरण दे सकता है जो कुक के तहत एनपी-पूर्ण है और पार्सिमोनियस कमी के तहत नहीं।

अगर मैं गलत नहीं हूं, तो क्लास # पी-कंप्लीट को कार्प में कटौती के संबंध में परिभाषित किया गया है।

Answer 1

पार्सिमेनस कटौती की आपकी परिभाषा गलत है। आप इसे बहुपद-काल-एक-एक कटौती के साथ भ्रमित कर रहे हैं जो करप कटौती का एक विशेष मामला है। वे "समाधान" की संख्या को संरक्षित नहीं करते हैं। प्रमाणपत्रों की संख्या को देखते हुए कटौती के बारे में अधिक जानने के लिए कृपया यह उत्तर देखें ।

बाकी ठीक लगता है, हालांकि आमतौर पर उन्हें दो आयामी चार्ट में देखना बेहतर होता है:

• कमी की जटिलता: कम्प्यूटेशनल, बहुपद समय, लघुगणक अंतरिक्ष, आदि।
• पहुंच का प्रकार: ट्यूरिंग, कई-एक, एक-एक, आदि।

क्या एनपी-पूर्ण समस्याओं को कुक की कमी या पर्सिमोनस रिडक्शन के संबंध में परिभाषित किया गया है?

$\mathsf{NP}$ कठोरता और पूर्णता को परिभाषित किया जाता है wrt कार्प रिडक्शन (बहु-रूपी कई-एक), कुक नहीं या पार्सिमोनियस कटौती।

क्या कोई कृपया एक ऐसी समस्या का उदाहरण दे सकता है जो कुक के तहत एनपी-पूर्ण है और पार्सिमोनियस कमी के तहत नहीं।

SAT के पूरक को लें, यह कुक कटौती के तहत के लिए पूर्ण है, यह Karp कटौती के तहत के लिए पूर्ण नहीं माना जाता है । कार्प कटौती में पॉलीटाइम एक-एक कटौती शामिल है।$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

वर्ग # पी-कम्प को कार्प कटौती के संबंध में परिभाषित किया गया है

ध्यान दें कि निर्णय समस्याओं की श्रेणी नहीं है, यह फ़ंक्शन संगणना समस्याओं का एक वर्ग है। इसकी कठोरता और पूर्णता आमतौर पर wrt कुक रिडक्शन (पॉलीटाइम ट्यूरिंग) को परिभाषित किया जाता है। उदाहरण देखें अरोड़ा और बराक, पृष्ठ 346।$\mathsf{\#P}$

Comments

क्षमा करें, मुझे लगता है कि मैंने "कार्प कमी" और "कुक कमी" शब्दावली को बदल दिया है। अगर मैं इसे इंटरचेंज करता हूं, तो यह आपकी प्रतिक्रियाओं से मेल खाता है। धन्यवाद। पारिश्रमिक में कटौती के बारे में, क्या आप कह रहे हैं कि वे "समाधान" की संख्या को संरक्षित नहीं करते हैं? यदि ऐसा है, तो मैं अरोरा एंड बराक के पृष्ठ 17.10 (पृष्ठ 299) में देखता हूं कि पारिश्रमिक में कटौती वास्तव में समाधानों की संख्या को संरक्षित करती है। एक और संदर्भ: ( cse.cuhk.edu.hk/~andrejb/csc5170/notes/10L10.pdf )

— Pavithran अय्यर

यहाँ यह एल से सैट की एक पारिश्रमिक कटौती, एल के प्रत्येक उदाहरण x को सैट के एक अद्वितीय उदाहरण (यानी, कमी नक्शा एक है) को दर्शाता है : / 10L10.pdf] । क्या यह मान लेना सही नहीं है कि यदि समाधान की संख्या में कमी करके संरक्षित किया जाता है, तो नक्शा एक है?

— पावितरन अय्यर

@Pavithran, आपने अपने प्रश्न में जो लिखा है वह पारसीकरण की कटौती की परिभाषा नहीं थी। उत्तर के लिए, उनकी पुस्तक में 2.13 अभ्यास देखें।

— केवह

Answer 2

$O_B$

Comments

विशेष रूप से, कुक और कार्प कटौती की परिभाषाओं को बदल दिया गया है।

— डेविड रिचेर्बी