कई विभाजन स्थितियों के साथ सबसेट योग समस्या

आज्ञा देना प्राकृतिक संख्याओं का एक समूह है। हम को विभाज्यता आंशिक आदेश के तहत मानते हैं , अर्थात । चलो $S$ $S$ $s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ एक antichain $\}$ ।

यदि हम सबसेट सम समस्या पर विचार करते हैं जहां संख्याओं की बहु संख्या $S$ , तो हम से संबंधित समस्या की जटिलता के बारे में क्या कह सकते हैं $\alpha(S)$ ? यह देखना आसान है कि अगर $\alpha(S)=1$ , तो समस्या आसान है। ध्यान दें कि जब $\alpha(S)=1$ ^$\dagger$ तो कठिन नैकपैक समस्या के लिए भी यह आसान है ।

$\dagger$ अनुक्रमिक नैपसैक समस्याओं को सुलझाने एम हार्टमैन और टी ओल्म्सटेड द्वारा (1993)

complexity-theory number-theory knapsack-problems

— चाओ जू
स्रोत

"संबंध" के बजाय, मैं "आंशिक आदेश" शब्दों का उपयोग करने का सुझाव देता हूं। इसके अलावा, न्यूनतम विचार पर, फ्रोबेनियस सिक्का समस्या प्रासंगिक हो सकती है (बेशक, निश्चित नहीं है, हालांकि)

— आर्यभट्ट

इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करके बहुपद समय में हल किया जा सकता है , और यह वास्तव में किसी भी आंशिक आदेश लिए सच है $(S,\le)$ । वैसे, हम इंडक्शन द्वारा साबित कर सकते हैं कि किसी भी परिमित आंशिक ऑर्डर सेट $(S,\le)$ , वहाँ एक परिमित सेट $S'\subseteq\mathbb{N}$ और एक bijection $f:S\rightarrow S'$ , जैसे कि सभी $s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$ ।

Let $\mathcal{C}$ में श्रृंखलाओं द्वारा गठित सेट हो । याद दिलाना है कि एक है श्रृंखला सभी के लिए iff में , या $S$ $C$ $v,v'$ $C$ $v\le v'$ $v'\le v$

अब प्रत्येक लिए एक बूलियन वेरिएबल बनाएं , और प्रत्येक चेन लिए बूलियन वेरिएबल । हम अपनी समस्या के लिए निम्न रेखीय कार्यक्रम लिख सकते हैं : $x_v$ $v\in S$ $y_C$ $C$ $(P)$

\begin{aligned} Max \sum_{v \in S} x_{v} \\ subject to \sum_{v \in C} & x_{v} \leq 1, \forall C \in C \\ x_{v} \in {0, 1}, v \in S \end{aligned}

$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$

और इसका दोहरा : $(D)$

\begin{aligned} Min \sum_{C \in C} y_{C} \\ subject to \sum_{C : v \in C} & y_{C} \geq 1, \forall v \in S \\ y_{C} \in {0, 1}, C \in C \end{aligned}

$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$

फिर जंजीरों द्वारा निर्धारित आदेश के न्यूनतम कवर को खोजने की समस्या हमारी समस्या का दोहरा है। दिलवर्थ के प्रमेय में कहा गया है कि

एक एंटीचिन ए मौजूद है, और एक परिवार के क्रम में विभाजन का P, श्रृंखलाओं की संख्या, जैसे कि विभाजन में श्रृंखलाओं की संख्या A की कार्डिनलिटी के बराबर होती है

जिसका अर्थ है कि इन दो समस्याओं का इष्टतम समाधान मेल खाता है: $Opt(P)=Opt(D)$

चलो ( resp। ) की छूट हो ( resp। ) यानी एक ही रैखिक कार्यक्रम है, जहां सभी की कमी ( resp। ) ने ले ली है ( resp। )। चलो और उनके इष्टतम समाधान हो। चूंकि हमारे पास है: और कमजोर द्वैत प्रमेय उस $(P^*)$ $(D^*)$ $(P)$ $(D)$ $x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$ $x_v\in [0,1]$ $y_C\in [0,1]$ $Opt(P^*)$ $Opt(D^*)$ $\{0,1\}\subseteq [0,1]$

O p t (P) \leq O p t (P^{*}) and O p t (D^{*}) \leq O p t (D)

$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$

O p t (P^{*}) \leq O p t (D^{*})

$Opt(P^*)\le Opt(D^*)$ फिर हमारे पास सब कुछ एक साथ रखकर:

O p t (P) = O p t (P^{*}) = O p t (D^{*}) = O p t (D)

$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$

फिर, एलीपोसिड विधि का उपयोग करके , हम बहुपद समय में ( ) की गणना कर सकते हैं । बाधाओं की एक घातीय संख्या है, लेकिन एक बहुपद समय जुदाई ओरेकल मौजूद है। वास्तव में एक समाधान दिया गया है , हम सभी जोड़ों को गणना कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि या है या नहीं , और इसलिए बहुपदीय समय में निर्णय लेते हैं कि क्या संभव है या अन्यथा श्रृंखला से जुड़ी बाधाएं का उल्लंघन किया गया है। $Opt(P^*)$ $=Opt(P)$ $X$ $s_1,s_2\in X$ $s_1\le s_2$ $s_2\le s_1$ $X$ $\{v_1,v_2\}$

— मथिउ मारी
स्रोत

एलीसिपोइड विधि बाधाओं की संख्या जो भी काम करती है, अगर हमारे पास (1) चर की एक बहुपद संख्या हो और (2) एक पृथक्करण संधि हो जो किसी विलयन को बहुपद समय में निर्णय लेती है कि क्या संभव है या द्वारा उल्लिखित बाधाओं का पता लगाएं । मैं [ www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/ellipsoid.pdf] पढ़ने की सलाह देता हूं , विकिपीडिया इस बिंदु पर बहुत स्पष्ट नहीं है

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— मैथ्यू मारी

यह समझाने के लिए धन्यवाद कि बाधाओं की घातीय संख्या एक समस्या क्यों नहीं है, और द्वंद्व की प्रासंगिकता। बहुत अच्छा!

— डीडब्ल्यू