समस्याएँ जो चतुर्थांश समय की आवश्यकता होती हैं

मैं उस समस्या के उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं जिसमें इनपुट लिए ) की निचली सीमा है । $\Omega(|x|^2$ $x$

समस्या के लिए निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

$\Omega(n^2)$ किसी भी एल्गोरिथ्म के लिए रनटाइम प्रूफ - पहली प्राथमिकता संभव है कि कम बाउंड तर्क के रूप में सरल हो।
$O(n^2)$ एल्गोरिथ्म, यदि संभव हो तो, सरल भी।
(या छोटा) का आउटपुट आकार । जाहिर है कि किसी भी समस्या के लिए कम से कम समान समय के लिए आवश्यक आवश्यकता होती है, लेकिन यह वह नहीं है जिसकी मुझे तलाश है। ध्यान दें कि कोई भी निर्णय समस्या यहाँ फिट होती है। $O(n)$ $\Omega(n^2)$
(यदि संभव हो तो) एक "प्राकृतिक" समस्या। एक औपचारिक परिभाषा के बिना, कोई भी सीएस स्नातक की पहचान करने वाली समस्या बेहतर होगी।

मुझसे हाल ही में इस तरह की समस्या के बारे में पूछा गया था, लेकिन एक साधारण के साथ नहीं आया। पहली समस्या यह है कि मन में आया था , जो था conjuctured एक होने के लिए क्रम समस्या। यह पर्याप्त सरल नहीं था और इसके अलावा, शंकालु हाल ही में गलत साबित हुआ : ओ। $3SUM$ $\Omega(n^2)$

एक अत्यंत अप्राकृतिक समस्या के बारे में, मेरा मानना है कि इनपुट के रूप में मिलने वाली समस्या एक निर्धारक TM और इनपुट , और टेप हेड की स्थिति को आउटपुट करता है बाद कदम जब यह पर चल रहा है तो शायद सवाल का जवाब देता है। $\langle M \rangle,x$ $(|M|+|x|)^2$ $x$

यदि आपको इसकी आवश्यकता है, तो सहमत होने दें कि हम एकल-टेप टीएम मॉडल का उपयोग कर रहे हैं, हालांकि मैं उन समस्याओं को पसंद करता हूं जिनका रनटाइम सटीक मॉडल पर स्वतंत्र है (जब तक कि यह एक उचित है)।

तो, क्या हम एक सरल (साबित करने के लिए), प्राकृतिक (अच्छी तरह से ज्ञात) समस्या खोज सकते हैं जिसका रनटाइम ? $\Theta(n^2)$

— आरबी
स्रोत

मुझे लगता है कि "प्राकृतिक संख्याओं को देखते हुए , , कंप्यूट " योग्य है। इस प्रश्न पर भी ध्यान दें ।

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— राफेल

एक ही तरीका है कि हम जानते हैं कि मल्टीटाप ट्यूरिंग मशीनों पर सुपरलाइनियर कम सीमा को कैसे साबित किया जाए, विकर्णीकरण के माध्यम से। एकल-टेप ट्यूरिंग मशीनों के लिए, आप क्रॉसिंग दृश्यों का उपयोग करके थोड़ा बेहतर हो सकते हैं, लेकिन जब तक आप अंतरिक्ष को प्रतिबंधित नहीं करते तब तक तक नहीं।

n^{2}

$n^2$

— युवल फिल्मस

अन्य संबंधित प्रश्न के लिए यहां देखें ; इनपुट रिवर्सल एक अच्छा उम्मीदवार लगता है।

— राफेल

मुझे नहीं लगता कि आप इसे एक निर्णय समस्या के साथ कर सकते हैं, क्योंकि एनपी के लिए सबसे अच्छी निचली सीमा ओ (एन) है।

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स ने

आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद @AlbertHendriks क्या आप किसी स्रोत / सर्वेक्षण के संदर्भ को साझा कर सकते हैं जो यह दावा कर रहा है कि एनपी में किसी भी समस्या के लिए सबसे अच्छी ज्ञात निचली सीमा ?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— आरबी

जवाबों:

ईर्ष्या-मुक्त केक-कटिंग खोजने के लिए प्रश्नों की आवश्यकता होती है । हालाँकि, यह सीधे आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है क्योंकि कम्प्यूटेशनल मॉडल ट्यूरिंग मशीन से अलग है। $\Omega(n^2)$

वैसे, वर्तमान में इस समस्या के लिए सबसे तेज ज्ञात एल्गोरिथ्म के लिए क्वेरीज़ की आवश्यकता है, इसलिए निचले बाउंड से बहुत बड़ा अंतर है - शायद एक में से एक कंप्यूटर विज्ञान में सबसे बड़ा अंतराल। $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— एरल सेगल-हलेवी
स्रोत

राफेल, पीटर द्वारा प्रदान की लिंक के रूप में शो इनपुट उत्क्रमण की आवश्यकता है कि $\Theta(n^2)$ वेनिला एकल टेप टीएमएस पर समय। एक निर्णय समस्या, भाषा के लिए भी provably की जरूरत है गणना करने के लिए समय। इसे देखने के लिए, पीटर के संचार जटिलता तर्क का उपयोग करें, एक शास्त्रीय परिणाम के साथ कि को के द्विघात निचले हिस्से को दिखाने के लिए संचार के बिट्स की आवश्यकता है । समान दृष्टिकोण एक और अधिक प्राकृतिक एक के लिए काम करता है

एल = {एक्स 0^{| एक्स |} एक्स | एक्स \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ ।

वैसे, यह ध्यान देने योग्य है कि युवल द्वारा उल्लिखित "क्रॉसिंग सीक्वेंस मेथड" मेरे सर्वोत्तम ज्ञान के लिए है।

एक और उम्मीदवार जो सीधे आपके सवाल का जवाब नहीं है के लिए, रयान विलियम्स ने साबित कर दिया है कि $\mathsf{SAT}$ में फैसला नहीं किया जा सकता $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ समय और साथ ही साथ $n^{o(1)}$ पर मेढ़े अंतरिक्ष। निरंतर जबकि $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$ काफी जादुई लगता है, प्रारंभिक विचार है कि Fortnow से आता है, सरल नहीं बल्कि इसलिए शामिल है। विचार की अभिव्यक्ति के लिए बराक और अरोड़ा की पाठ्यपुस्तक में पेज 101 का संदर्भ लें।

— Lwins
स्रोत