स्टैक ओवरफ्लो में एक प्रश्न पूछा गया था ( यहाँ ):
पूर्णांक को देखते हुए , और के पूर्णांक मानों के सभी संभावित संयोजनों को प्रिंट करें जो समीकरण हल करते हैं ।ए , बी , सी डी ए 2 + बी 2 + सी 2 + डी 2 = एन
यह प्रश्न निश्चित रूप से संख्या सिद्धांत में बकेट के अनुमान से संबंधित है (कभी-कभी उनके प्रमाण के कारण लैग्रेंज के फोर स्क्वायर प्रमेय कहा जाता है)। कुछ कागजात हैं जो चर्चा करते हैं कि किसी एक समाधान को कैसे खोजा जाए, लेकिन मैं ऐसा कुछ भी खोजने में असमर्थ रहा हूं जो इस बात पर चर्चा करता है कि हम किसी विशेष लिए सभी समाधान कैसे खोज सकते हैं (अर्थात, सभी संयोजन , सभी क्रमपरिवर्तन नहीं )।
मैं इसके बारे में काफी सोच रहा हूं और यह मुझे लगता है कि इसे समय और स्थान में हल किया जा सकता है , जहां वांछित राशि है। हालांकि, इस विषय पर किसी भी पूर्व जानकारी का अभाव है, मुझे यकीन नहीं है कि यह मेरी ओर से एक महत्वपूर्ण दावा है या सिर्फ एक तुच्छ, स्पष्ट या पहले से ही ज्ञात परिणाम है।एन
तो, सवाल यह है कि हम किसी दिए गए लिए फोर-स्क्वायर सेम्स को कितनी तेजी से पा सकते हैं ?
ठीक है, यहाँ (लगभग) O (N) एल्गोरिथ्म है जो मैं सोच रहा था। पहले दो सहायक कार्य, एक निकटतम पूर्णांक वर्गमूल फ़ंक्शन:
// the nearest integer whose square is less than or equal to N
public int SquRt(int N)
{
return (int)Math.Sqrt((double)N);
}
और 0 से N तक सभी TwoSquare जोड़े को वापस करने के लिए एक समारोह:
// Returns a list of all sums of two squares less than or equal to N, in order.
public List<List<int[]>> TwoSquareSumsLessThan(int N)
{
//Make the index array
List<int[]>[] Sum2Sqs = new List<int[]>[N + 1];
//get the base square root, which is the maximum possible root value
int baseRt = SquRt(N);
for (int i = baseRt; i >= 0; i--)
{
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
int sum = (i * i) + (j * j);
if (sum > N)
{
break;
}
else
{
//make the new pair
int[] sumPair = { i, j };
//get the sumList entry
List<int[]> sumLst;
if (Sum2Sqs[sum] == null)
{
// make it if we need to
sumLst = new List<int[]>();
Sum2Sqs[sum] = sumLst;
}
else
{
sumLst = Sum2Sqs[sum];
}
// add the pair to the correct list
sumLst.Add(sumPair);
}
}
}
//collapse the index array down to a sequential list
List<List<int[]>> result = new List<List<int[]>>();
for (int nn = 0; nn <= N; nn++)
{
if (Sum2Sqs[nn] != null) result.Add(Sum2Sqs[nn]);
}
return result;
}
अंत में, एल्गोरिथ्म ही:
// Return a list of all integer quads (a,b,c,d), where:
// a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N,
// and a >= b >= c >= d,
// and a,b,c,d >= 0
public List<int[]> FindAllFourSquares(int N)
{
// get all two-square sums <= N, in descending order
List<List<int[]>> Sqr2s = TwoSquareSumsLessThan(N);
// Cross the descending list of two-square sums <= N with
// the same list in ascending order, using a Merge-Match
// algorithm to find all combinations of pairs of two-square
// sums that add up to N
List<int[]> hiList, loList;
int[] hp, lp;
int hiSum, loSum;
List<int[]> results = new List<int[]>();
int prevHi = -1;
int prevLo = -1;
// Set the Merge sources to the highest and lowest entries in the list
int hi = Sqr2s.Count - 1;
int lo = 0;
// Merge until done ..
while (hi >= lo)
{
// check to see if the points have moved
if (hi != prevHi)
{
hiList = Sqr2s[hi];
hp = hiList[0]; // these lists cannot be empty
hiSum = hp[0] * hp[0] + hp[1] * hp[1];
prevHi = hi;
}
if (lo != prevLo)
{
loList = Sqr2s[lo];
lp = loList[0]; // these lists cannot be empty
loSum = lp[0] * lp[0] + lp[1] * lp[1];
prevLo = lo;
}
// do the two entries' sums together add up to N?
if (hiSum + loSum == N)
{
// they add up, so cross the two sum-lists over each other
foreach (int[] hiPair in hiList)
{
foreach (int[] loPair in loList)
{
// make a new 4-tuple and fill it
int[] quad = new int[4];
quad[0] = hiPair[0];
quad[1] = hiPair[1];
quad[2] = loPair[0];
quad[3] = loPair[1];
// only keep those cases where the tuple is already sorted
//(otherwise it's a duplicate entry)
if (quad[1] >= quad[2]) //(only need to check this one case, the others are implicit)
{
results.Add(quad);
}
//(there's a special case where all values of the 4-tuple are equal
// that should be handled to prevent duplicate entries, but I'm
// skipping it for now)
}
}
// both the HI and LO points must be moved after a Match
hi--;
lo++;
}
else if (hiSum + loSum < N)
{
lo++; // too low, so must increase the LO point
}
else // must be > N
{
hi--; // too high, so must decrease the HI point
}
}
return results;
}
जैसा कि मैंने पहले कहा, यह O (N) के बहुत करीब होना चाहिए, हालांकि, जैसा कि युवल फिल्मस बताते हैं, क्योंकि N को फोर स्क्वायर सॉल्यूशन की संख्या ऑर्डर की हो सकती है (N ln ln N), तो यह एल्गोरिथम नहीं हो सकता है उससे कम है।