क्या वास्तविक संख्याओं के साथ स्थापित जटिलता वर्ग हैं?

Question

एक छात्र ने हाल ही में मुझे उनके लिए एनपी-कठोरता प्रमाण की जांच करने के लिए कहा। उन्होंने इसकी तर्ज पर कमी का प्रदर्शन किया:

मैं इस समस्या को कम $P'$ कि एन पी-सम्पूर्ण मेरी समस्या के लिए माना जाता है $P$ , (एक पाली समय कई-एक कमी के साथ) तो $P$ एनपी कठिन है।

मेरा जवाब मूल रूप से था:

चूँकि $P$ से मान हैं , यह तुच्छ नहीं है, इसलिए आप कमी को छोड़ सकते हैं।$\mathbb{R}$

औपचारिक रूप से सत्य होते हुए, मुझे नहीं लगता कि यह दृष्टिकोण व्यावहारिक है: हम निश्चित रूप से वास्तविक-मूल्यवान निर्णय (या अनुकूलन) समस्या की "अंतर्निहित जटिलता" को पकड़ने में सक्षम होना चाहेंगे, वास्तविक से निपटने में हमारी सीमाओं की अनदेखी करना। संख्या; इन मुद्दों की जांच दूसरे दिन के लिए है।

यह निश्चित रूप से, यह कहना हमेशा आसान नहीं होता है, "सबसेट सम का असतत संस्करण एनपी-पूर्ण है, इसलिए निरंतर संस्करण 'एनपी-हार्ड' भी है।" इस मामले में, कमी आसान है, लेकिन निरंतर संस्करण आसान होने के प्रसिद्ध मामले हैं, जैसे रैखिक बनाम पूर्णांक प्रोग्रामिंग।

मेरे साथ यह हुआ कि रैम मॉडल स्वाभाविक रूप से वास्तविक संख्याओं तक फैला हुआ है; हर रजिस्टर को एक वास्तविक संख्या स्टोर करने दें और उसके अनुसार मूल संचालन का विस्तार करें। समान लागत मॉडल अभी भी समझ में आता है - जितना कि असतत मामले में, वैसे भी - जबकि लघुगणक एक नहीं करता है।

तो, मेरा प्रश्न यह है कि क्या वास्तविक समस्याओं की जटिलता की धारणा स्थापित है? वे "मानक" असतत वर्गों से कैसे संबंधित हैं?

^{Google कुछ परिणाम खोजता है, उदाहरण के लिए , लेकिन मेरे पास यह बताने का कोई तरीका नहीं है कि क्या स्थापित है और / या उपयोगी है और क्या नहीं है।}

Comments

आप दिलचस्प "जटिलता और रियल संगणना" मिल सकती है amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/...

— कर्ट म्यूलर

यह मुझे लगता है कि आपके छात्र के लिए आपका उत्तर एक साधारण कारण के लिए अनुचित था: जो भी गणना हम वास्तविक के आधार पर देखने के लिए उपयोग की जाती है वह कम्प्यूटेशनल रियल का उपयोग करके भी आयोजित की जा सकती है । मुझे नहीं पता कि यह एक उत्तर है जो आपके छात्र के उद्देश्य के लिए उपयोग करने योग्य है, लेकिन यह कम से कम ट्यूरिंग कम्प्यूटेबिलिटी तर्क की कमी को दूर करना चाहिए। दुर्भाग्य से, मैं इसे आगे विकसित करने के लिए इन मुद्दों पर पर्याप्त विशेषज्ञ नहीं हूं।

— बबौ

@ बाबू जहां तक ​​संगणना जाती है, वह एक उचित प्रतिबंध हो सकता है (लेकिन एक को फिर भी उन्हें गैर-राज्य करना होगा!)। हालांकि, जटिलता के साथ क्या होता है?

— राफेल

@ राफेल मेरी बात वास्तव में यह है कि यह एक प्रतिबंध भी नहीं है, और यह कहने की आवश्यकता नहीं है। यह बस अपरिहार्य है। केवल एक गणना में आप जिन वास्तविकताओं पर विचार कर सकते हैं, वे कम्प्यूटेशनल रियल (चर्च-ट्यूरिंग थीसिस) हैं। अच्छा हिस्सा स्पष्ट रूप से यह है कि यह उचित देखभाल के साथ किसी भी प्रासंगिक गणित को नहीं बदलता है। कम्प्यूटेशनल वास्तविकों से परे जाना, ट्यूरिंग पदानुक्रम के उच्च स्तर का उपयोग करने की तरह है, आकर्षक अटकलें, कुछ भी वास्तविक (संभव नहीं होने योग्य) पर बहुत कम प्रभाव के साथ।

— Babou

Answer 1

हाँ। वहां।

अन्य उत्तर में उल्लिखित वास्तविक-रैम / बीएसएस मॉडल है। मॉडल में कुछ मुद्दे हैं और AFAIK इसके बारे में बहुत अधिक शोध गतिविधि नहीं है। यकीनन, यह गणना का एक यथार्थवादी मॉडल नहीं है ।

वास्तविक संगणना की अधिक सक्रिय धारणा उच्च प्रकार की संगणना मॉडल है। मूल विचार यह है कि आप उच्च प्रकार के कार्यों के लिए जटिलता को परिभाषित करते हैं और फिर वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उच्च प्रकार के कार्यों का उपयोग करते हैं।

उच्च प्रकार के कार्यों की जटिलता का अध्ययन कम से कम [1] हो जाता है। हाल के काम के लिए वास्तविक ऑपरेटरों की जटिलता पर अकोतोशी कवामुरा के कागजात की जांच करें ।

वास्तविक कार्यों की जटिलता के लिए शास्त्रीय संदर्भ केआर- I Ko की पुस्तक [2] है। क्लॉज वेहरुच [3] द्वारा हाल ही में लिखी गई 6 वीं चैप्टर में वास्तविक संगति की जटिलता पर भी चर्चा की गई है (लेकिन यह एक जटिलता की तुलना में संगणना पर अधिक केंद्रित है)।

• [१] स्टीफन कुक और ब्रूस काप्रोन, "परिमित प्रकार के बुनियादी व्यवहार्य क्रियाओं की विशेषताएँ", १ ९९ ०।

• [२] केर-आई को, "रियल फ़ंक्शंस की कम्प्यूटेशनल जटिलता", १ ९९ १।

• [३] क्लाउस वेहराच '' कम्प्यूटेशनल एनालिसिस ", 2000।

Comments

वास्तविक रैम मॉडल की तुलना में उच्च प्रकार फ़ंक्शन मॉडल को अधिक यथार्थवादी बनाता है?

— राफेल

@ राफेल, मुझे लगता है कि मैंने इसे जुड़े प्रश्न में समझाया। यदि आप उपचार के माध्यम से अधिक चाहते हैं तो कई हैं, एक वेराउच का अध्याय 9 है। IIRC, टकर और स्टोलेनबर्ग-हेन्सन का एक और अच्छा लेख है।

— केव

मेरे विचार में वास्तविक-रैम मॉडल की दो मुख्य समस्याएं हैं: एक तरफ वास्तविक संख्याओं के मनमाने ढंग से सटीक परिमेय सन्निकटन की धारणा का अभाव है, जो यकीनन उनकी मुख्य संपत्ति है, दूसरी ओर यह वास्तविक संख्याओं की तुलना करने की अनुमति देता है जिन्हें AFAIK कोई भी नहीं जानता है। व्यवहार में कैसे करें। परिणामस्वरूप कुछ वास्तविक कार्य जिन्हें हम व्यवहारिक रूप से व्यावहारिक रूप से कम्प्यूटेशनल मानते हैं, वे मॉडल में गणना करने योग्य नहीं होते हैं, जबकि मॉडल में कुछ कुशलतापूर्वक कम्प्यूटेशनल वास्तविक कार्य व्यवहार में बिल्कुल भी कम्प्यूटेशनल नहीं होते हैं।

— केव

@ क्या मैं पूरी चर्चा में, सवाल में और जवाबों की गड़बड़ी से परेशान हूं। क्या हम पारंपरिक बेशुमार वास्तविकताओं की बात कर रहे हैं, या गणना योग्य वास्तविकताओं की। आपकी पिछली टिप्पणी से, आप "वास्तविक कार्यों की बात कर रहे हैं जिन्हें हम व्यवहार में कुशलता से कम्प्यूटेशनल मानते हैं", इसलिए मुझे विश्वास है कि यह कम्प्यूटेशनल रियल के बारे में है। वास्तव में आपका क्या मतलब है?

— babou

Answer 2

आपके द्वारा वर्णित मॉडल को ब्लम-शब-स्मेल (बीएसएस) मॉडल (रियल रैम मॉडल) के रूप में जाना जाता है और वास्तव में जटिलता कक्षाओं को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

इस डोमेन में कुछ दिलचस्प समस्याएं हैं कक्षा , एन पी आर , और निश्चित रूप से यह सवाल कि क्या पी आर = एन पी आर । द्वारा पी आर हमारा मतलब समस्या polynomially डिसाइडेबल है, एन पी आर समस्या polynomially प्रमाण है। कक्षा N P R के बारे में कठोरता / पूर्णता प्रश्न हैं । N P R पूर्ण समस्या का एक उदाहरण Q P S की समस्या है , द्विघात बहुपद प्रणाली, जहां इनपुट वास्तविक बहुपद है$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$NP_R$$NP_R$$QPS$ चर, और पी 1$m$ ⊆ आर [ एक्स 1 , । । । , x n ] अधिकतम 2 डिग्री पर, और प्रत्येक बहुपद में अधिकतम 3 चर हैं। सवाल ही नहीं है कि क्या एक आम वास्तविक समाधान आर एन , ऐसी है कि पी 1 ( एक ) , पी 2 ( एक ) , । । । p n ( a ) = $p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$$R^n$$p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$। यह एक पूर्ण समस्या है।$NP_R$

लेकिन अधिक दिलचस्प बात यह है कि Reals यानी वर्ग P C P R से अधिक , (प्रबलिस्टली चेकेबल प्रूफ़) के बीच संबंधों पर कुछ काम किया गया है और यह कैसे बीजीय संगणना मॉडल से संबंधित है। BSS मॉडल वास्तविक समय में N P से सभी को पैन करता है । यह साहित्य में मानक है, और आज हम जो जानते हैं वह यह है कि एन पी आर में "पारदर्शी लंबे प्रमाण", और "पारदर्शी लघु प्रमाण" हैं। "पारदर्शी लंबे प्रमाणों" द्वारा निम्नलिखित को निहित किया गया है: N P R , P C P R ( p o l ,) में समाहित है।$PCP$$PCP_R$$NP$$NP_R$$NP_R$ n की? इससे स्ट्रेट लाइन प्रोग्राम द्वारा दिए गए यूनीविएट पॉलीओनियम्स के लिए शून्य (सिस्टम) के अस्तित्व के बारे में सवाल उठते हैं। इसके अलावा, "पारदर्शी लंबे प्रमाण" से हमारा मतलब है$PCP_R(poly, O(1))$। एक एक्सटेंशन भी है जो कहता है, "लगभग (अनुमानित) लघु संस्करण" भी सच है। क्या हम प्रमाणों को स्थिर कर सकते हैं और दोषों का पता लगा सकते हैं, जिनकी तुलना में बहुत कम (वास्तविक) घटकों का निरीक्षण किया गया है$n$

1. "पारदर्शी" - केवल, पढ़ा जाए,$O(1)$

2. लंबे समय तक - वास्तविक घटकों की सुपरपोलिनोमियल संख्या।

इसका प्रमाण से बंधा है , और निश्चित रूप से वास्तविक मूल्यवान समस्याओं को देखने का एक तरीका यह है कि यह सबसेट सम से कैसे संबंधित हो सकता है - यहां तक ​​कि वास्तविक मूल्यवान समस्याओं के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम दिलचस्प होगा-अनुकूलन के लिए-रैखिक प्रोग्रामिंग हम जानते हैं कक्षा में है एफ पी , लेकिन हाँ यह कैसे approximatability के मामले के लिए पूर्णता / कठोरता प्रभाव हो सकता है देखने के लिए दिलचस्प हो जाएगा एन पी आर समस्याओं। इसके अलावा, एक और सवाल एन पी आर = सी ओ - $3SAT$$FP$$NP_R$$NP_R$ $=$ ? $co\text{-}NP_R$

कक्षा बारे में सोचते समय , बहुपद अंकगणितीय के बारे में तर्क करने की अनुमति देने के लिए गिनती की कक्षाएं भी होती हैं। जबकि # पी कार्यों का वर्ग है च पर परिभाषित { 0 , 1 } ∞ → एन जिसके लिए वहाँ ट्यूरिंग मशीन एक बहुपद समय मौजूद M और एक बहुपद पी संपत्ति उस के साथ ∀ n ∈ एन , और एक्स ∈ { 0 , 1 } n ,$NP_R$$\#P$$f$$\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$$M$$p$$\forall n$$\in$$\mathbb{N}$$x$$\in$$\{0,1\}^{n}$$f(x)$मायने रखता है तार की संख्या { 0 , 1 } पी ( एन ) कि ट्यूरिंग मशीन एम स्वीकार करता है { x , y } । वास्तविक के लिए हम इस विचार का विस्तार करते हैं कि एडिटिव बीएसएस मशीनें हैं - बीएसएस मशीनें जो केवल जोड़ देती हैं, और गुणन (कोई विभाजन, कोई जोड़ नहीं)। Additive BSS मशीनों के साथ (गणना में नोड्स केवल अतिरिक्त अनुमति देते हैं, और गुणन) # P के लिए मॉडल एक हो जाता है जिसमें गिनती वैक्टर के ऊपर होती है जिसे एडिटिव BSS मशीनें स्वीकार करती हैं। तो, उनकी गिनती वर्ग है # पी एक घ $y \in$$\{0,1\}^{p(n)}$$M$$\{x,y\}$$\# P$$\#P_{add}$ यह वर्ग बेट्टी नंबरों के अध्ययन में उपयोगी है, और यूलर की विशेषता भी।

Comments

वास्तविक-रैम (रैंडम एक्सेस मशीन), या बीएसएस (ब्लम-शुब-स्मेल) मशीन एक मॉडल है, जिसका उल्लेख पहले इन वर्गों के बारे में तर्क के लिए व्यापक रूप से स्वीकार किया गया है।

— 14:34 पर user3483902

नहीं, यह दावा बिल्कुल गलत है। उदाहरण के लिए CCA-Net पर एक नज़र डालें और देखें कि कितने शोधकर्ता उस मॉडल का उपयोग कर रहे हैं।

— केव

खैर, पोस्ट में जटिलता वर्गों के लिए उपयोग किए जाने वाले मॉडल बीएसएस मॉडल का उपयोग करते हैं, और समय बढ़ने के साथ अन्य मॉडल हो सकते हैं, क्या वे अन्य मॉडल पोस्ट में जटिलता कक्षाओं के साथ काम करते हैं? BTW, टिप्पणी चिंता में वर्गों में इस्तेमाल किए गए मॉडल के बारे में एक स्पष्टीकरण था, जिसे पोस्ट ने संबोधित किया था, इसलिए कोई स्पष्टीकरण नहीं था कि क्या अन्य मॉडल हैं। फिर, स्पष्टीकरण कक्षाओं में उपयोग किए जाने वाले मॉडल के बारे में था, कोई दावा नहीं था।

— user3483902