क्या गैर-संगणनीय कार्य विषमता से बड़े होते हैं?

Question

मैं व्यस्त बीवर नंबरों के बारे में पढ़ता हूं और कैसे वे किसी भी कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की तुलना में विषम रूप से बड़े होते हैं। ऐसा क्यों है? क्या यह व्यस्त बीवर फ़ंक्शन की गैर-कम्प्यूटेबिलिटी के कारण है? यदि ऐसा है, तो क्या सभी गैर-गणना योग्य कार्य असंगत रूप से बड़े होते हैं, जो कि कम्प्यूटेशनल की तुलना में बड़े होते हैं?

संपादित करें:

नीचे महान जवाब लेकिन मैं सादे अंग्रेजी में समझाना चाहूंगा कि मैं उनके बारे में क्या समझता हूं।

यदि एक संगणनीय फ़ंक्शन च था जो व्यस्त बीवर फ़ंक्शन की तुलना में तेजी से बढ़ता है, तो इसका मतलब है कि व्यस्त बीवर फ़ंक्शन एफ से घिरा हुआ है। दूसरे शब्दों में, ट्यूरिंग समस्या को तय करने के लिए एक ट्यूरिंग मशीन को बस f (n) कई चरणों के लिए चलाने की आवश्यकता होगी। चूँकि हम जानते हैं कि रुकने की समस्या अनिर्दिष्ट है, इसलिए हमारा प्रारंभिक संरक्षण गलत है। इसलिए, व्यस्त बीवर फ़ंक्शन सभी कम्प्यूटेशनल कार्यों की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

Comments

आपके "सादे अंग्रेजी" भाग के बारे में, जवाबों से आपको क्या मिला? व्यस्त-बीवर फ़ंक्शन पर एक बाउंड से समस्या को सामान्य रूप से हल करने के लिए आपको क्या करना है? ध्यान दें कि किसी भी ट्यूरिंग मशीन के लिए रुकना तय नहीं है ।

— राफेल

@ राफेल उनका सादा अंग्रेजी सारांश मुझे सही लगता है, लेकिन पूरा नहीं। अनुपलब्ध विवरण यह है कि यदि कोई TM खाली टेप (H- वायर को हार्ड ) पर रोकता है, तो TM को पर का निर्णय लेना कम कर सकता है । तब यदि BB पर एक संगणनीय बाउंड था, तो OP द्वारा वर्णित एल्गोरिदम किसी भी और पर रुकने की समस्या को हल करेगा ।$M$$x$$M'$$x$$M'$$f(n)$$M$$x$

— साशो निकोलेव

Answer 1

यदि आप प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी गैर-विवादास्पद सेट को लेते हैं, तो सेट की विशेषता फ़ंक्शन केवल मानों को लेता है और गैर-विवादास्पद है। तो यह मामला नहीं है कि प्रत्येक गैर-विवादास्पद फ़ंक्शन बहुत तेज़ी से बढ़ता है, उन्हें बाध्य भी किया जा सकता है।$\{0,1\}$

व्यस्त बीवर फ़ंक्शन हर कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता है क्योंकि ऐसा करने के लिए इसका निर्माण किया जाता है। यह सबूत है कि यह पहली बार साबित करने के लिए गैर-विवादास्पद कार्यवाही है कि यह किसी भी कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

अधिक आम तौर पर, यह कहें कि एक सेट पास "हाइपरिमम्यून-फ्री डिग्री" है यदि से कम्प्यूटेशनल प्रत्येक फ़ंक्शन एक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन द्वारा बाध्य है। निश्चित रूप से हर कम्प्यूटेशनल सेट में हाइपरम्यून-फ्री डिग्री होती है। यह ज्ञात है कि कई गैर-विवादास्पद सेट भी हैं जिनके पास हाइपरम्यून-फ्री डिग्री है। तो यह मामला नहीं है कि सब कुछ गैर-विवादास्पद है कि कुछ तेजी से बढ़ते समारोह की गणना करनी होगी। $A \subseteq \mathbb{N}$$A$

हालांकि, यह भी मामला है कि एक पुन: सेट जो गैर-विवादास्पद है, में हाइपरम्यून-मुक्त डिग्री नहीं होगी । यदि फिर से है, और इंडेक्स द्वारा एन्यूमरेट किया गया है , तो फ़ंक्शन ऐसा है कि यदि चरणों में एन्यूमरेट करता है , और यदि एन्यूमरेट नहीं करता है , तो से गणना योग्य है$B$$e$$f$$f(n) = k$$e$$n$$k$$f(n) = 0$$e$$n$$B$ लेकिन इस फंक्शन एक कंप्युटेबल फंक्शन से बाउंड होता है अगर और केवल अगर कंप्युटेबल है।$B$

Answer 2

एक समारोह तो एक सेट में तेजी से (या धीमी) किसी भी समारोह से बढ़ता है कार्यों की, यह है कि (या ) के लिए सभी कार्यों है, तो स्पष्ट रूप से$f$$F$$f \in \omega(g)$$o(g)$$g \in F$$f \notin F$ । इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि व्यस्त-बीवर फ़ंक्शन कम्प्यूटेशनल नहीं है। एक और उदाहरण इस बात का प्रमाण है कि - संगणनीय और कुल - एकरमैन फ़ंक्शन आदिम पुनरावर्ती नहीं है।

जरूरी नहीं कि रिवर्स जरूरी हो। Halting समस्या फ़ंक्शन मानों को लेता हैहे ( 1 $\{0,1\}$ इसलिए यह takes में है; स्पष्ट रूप से वहाँ कम्प्यूटेशनल कार्य तेजी से और तेजी से बढ़ रहे हैं।$O(1)$

निश्चित रूप से उन कार्यों के सेट हैं जिनके लिए रनटाइम एक आवश्यक और पर्याप्त सदस्यता मानदंड है, अर्थात् वे जो हैं रनटाइम की विशेषता है, जैसे कि

$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$ ।

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1. यह केवल सीमित मात्रा में समझ में आता है। एचपी फ़ंक्शन का पैरामीटर ट्यूरिंग मशीन एन्कोडिंग और एक प्राकृतिक संख्या है; इसका आकार इस बात का नहीं है कि रुकने का निर्णय लेना कितना जटिल है।