पथ प्रेरण रचनात्मक है?

17

मैं HoTT पुस्तक के माध्यम से पढ़ रहा हूं और मेरे पास पथ प्रेरण के साथ एक कठिन समय है।

जब मैं अनुभाग १.१२.१ में टाइप देखता हूं : मेरे पास यह समझने का कोई मुद्दा नहीं है कि इसका क्या अर्थ है (मैंने जांच करने के लिए मेमोरी से टाइप लिखा है)।

{ind}_{=_{A}} : \prod_{C : \prod_{x, y : A} (x =_{A} y) \to U} ((\prod_{x : A} C (x, x, {refl}_{x})) \to \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p)),

$\text{ind}_{=_A}:\prod_{C:\prod\limits_{x,y:A}(x=_Ay)\to \mathcal{U}} \left( \left(\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)\right) \to \prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p) \right),$

मेरे पास जो मुद्दा है, वह अगला बहुत ही कथन है: मेरी पहली धारणा यह थी कि यह अंतिम अभिव्यक्ति फलित फलन को परिभाषित नहीं करती है लेकिन सिर्फ इसके बारे में बताता है संपत्ति ।

with the equality {ind}_{=_{A}} (C, c, x, x, {refl}_{x}) :\equiv c (x)

$\text{with the equality}\quad \text{ind}_{=_A}(C,c,x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)$

f : \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p),

$f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),$

यह इंडक्शन सिद्धांतों के पिछले उदाहरणों के विपरीत है , या - वहाँ उन तत्वों के समीकरणों को परिभाषित कर रहे हैं - हम वास्तव में परिसर को देखते हुए परिणामी फ़ंक्शन का निर्माण करना जानते हैं। जो पूरे अध्याय में विज्ञापित प्रकार के सिद्धांत की "रचनात्मकता" के साथ है। $\text{ind}_{A\times B}$ $\text{ind}_{A+B}$ $\text{ind}_\mathbb{N}$

वापस रहा है, मुझे इस तथ्य के बारे में संदेह था कि (जैसा दिखता है) यह परिभाषित नहीं है। यह बताते हुए कि तत्व अभी मौजूद है , बाकी अध्याय के साथ धुन से बाहर है। और वास्तव में, खंड १.१२.१ से लगता है कि मेरी धारणा गलत है और हमने वास्तव में परिभाषित किया है $\text{ind}_{=_A}$ $f$

... समारोह द्वारा परिभाषित से पथ प्रेरण है, जो इसके अलावा संतुष्ट ... $f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),$
$c:\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)$
$f(x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)$

यह मुझे पूरी तरह से भ्रमित करता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह बात आगे के सभी घटनाक्रमों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। तो के लिए दो रीडिंग में से मुझे किसके साथ जाना चाहिए? या, शायद, मुझे कुछ महत्वपूर्ण सूक्ष्मता याद आ रही है और उत्तर "न तो" है? $\text{ind}_{=_A}$

induction dependent-types homotopy-type-theory

— Kostya
स्रोत

वैसे, यह वास्तव में एक HoTT- विशिष्ट प्रश्न नहीं है, बल्कि एक अधिक सामान्य "आश्रित प्रकार" प्रश्न है।

— कोड़ी

12

यह एक भ्रम है कि गणना नियम उन वस्तुओं को "परिभाषित" या "निर्माण" करते हैं जिनके बारे में वे बोलते हैं। आपने सही ढंग से देखा कि लिए समीकरण इसे "परिभाषित" नहीं करता है, लेकिन यह मानने में विफल रहा कि अन्य मामलों में भी यही सच है। आइए हम यूनिट प्रकार लिए प्रेरण सिद्धांत पर विचार करें , जो विशेष रूप से स्पष्ट रूप से "निर्धारित" लगता है। Hott पुस्तक की धारा 1.5 के अनुसार हमारे पास $\mathrm{ind}_{=_A}$ $1$ समीकरण के साथ क्या यह "परिभाषित" या "निर्माण" करता है इस अर्थ में कि यह कोई संदेह नहीं छोड़ता है कि "क्या करता है"? उदाहरण के लिए, सेट और , और हम के बारे में क्या कह सकते हैं पर विचार करें

{i n d}_{1} : \prod_{C : 1 \to T y p e} C (⋆) \to \prod_{x : 1} P (x)

$\mathrm{ind}_1 : \prod_{C : 1 \to \mathtt{Type}} C(\star) \to \prod_{x : 1} P(x)$

{i n d}_{1} (C, c, ⋆) = c .

$\mathrm{ind}_1 (C, c, \star) = c.$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

C (x) = N

$C(x) = \mathbb{N}$

a = 42

$a = 42$

किसी दिए गए अभिव्यक्ति के लिए

प्रकार के

। आपका पहला विचार हो सकता है कि हम करने के लिए इस कम कर सकते हैं

क्योंकि "

का एकमात्र ऐसा तत्व है

"। लेकिन के लिए काफी सटीक होना करने के लिए समीकरण

लागू होता है अगर हम दिखाने

, जो असंभव है जब

एक चर रहा है, उदाहरण के लिए। हम इससे बाहर निकलने का प्रयास कर सकते हैं और कह सकते हैं कि हम केवल बंद शब्दों के साथ गणना करने में रुचि रखते हैं, इसलिए

को बंद किया जाना चाहिए।

{i n d}_{1} (C, 42, e)

$\mathrm{ind}_1(C, 42, e)$

e

$e$

1

$1$

42

$42$

⋆

$\star$

1

$1$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

e \equiv ⋆

$e \equiv \star$

e

$e$

e

$e$

यह मामला है कि हर बंद शब्द नहीं है प्रकार का judgmentally के बराबर है ? यह सामान्य विवरण और सामान्यीकरण के जटिल प्रमाणों पर निर्भर करता है, वास्तव में। Hott के मामले में जवाब "नहीं" क्योंकि है Univalence स्वयंसिद्ध के उदाहरण हो सकते हैं और यह स्पष्ट नहीं है कि क्या इस बारे में करने के लिए क्या है (यह है hott में खुला समस्या)। $e$ $1$ $\star$ $e$

हम किस प्रकार सिद्धांत का एक संस्करण पर विचार करके univalance के साथ परेशानी को नाकाम कर सकते हैं करता है अच्छा गुण ताकि प्रकार के हर बंद अवधि है judgmentally के बराबर है । उस मामले में यह उचित कहने के लिए हम वह यह है कि है पता के साथ गणना करने के लिए कैसे , लेकिन: $1$ $\star$ $\mathrm{ind}_1$

एक ही, पहचान प्रकार के लिए आयोजित करेगा क्योंकि एक पहचान प्रकार के हर बंद अवधि judgmentally हो जाएगा करने के लिए कुछ के बराबर के लिए, और इसलिए तो समीकरण होगा पूछा कि वह कैसा गणना करने के लिए। $\mathrm{refl}(a)$ $\mathrm{ind}_{=_A}$
सिर्फ इसलिए कि हम जानते हैं कि किसी प्रकार के बंद शब्दों की गणना कैसे की जाती है, इसका मतलब यह नहीं है कि हमने वास्तव में कुछ भी परिभाषित किया है क्योंकि इसके बंद शब्दों की तुलना में एक प्रकार से अधिक है , जैसा कि मैंने एक बार समझाने की कोशिश की थी।

उदाहरण के लिए, मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत (बिना पहचान के प्रकार) को डोमेन-सैद्धांतिक रूप से इस तरह से व्याख्या किया जा सकता है कि में दो तत्व शामिल हैं और , जहां और से गैर-समाप्ति के अनुरूप है । काश, चूंकि टाइप थ्योरी में गैर-समाप्ति की अभिव्यक्ति लिखने का कोई तरीका नहीं है, नाम नहीं दिया जा सकता। नतीजतन, लिए समीकरण हमें यह नहीं बताता है कि (दो स्पष्ट पसंद "उत्सुकता" और "आलसी") पर गणना कैसे करें । $1$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\star$ $\bot$ $\bot$ $\mathrm{ind}_1$ $\bot$

सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग के संदर्भ में, मैं कहूंगा कि हमारे पास विनिर्देश और कार्यान्वयन के बीच एक भ्रम है । पहचान प्रकारों के लिए HoTT स्वयंसिद्ध एक विनिर्देश है । समीकरण हमें बता कैसे साथ गणना करने के लिए, या कैसे निर्माण करने के लिए नहीं है , बल्कि हालाँकि $\mathrm{ind}_{=_C}(C,c,x,x,\mathrm{refl}(x)) \equiv c(x)$ $\mathrm{ind}_{=_C}$ "कार्यान्वित" है, हमें आवश्यकता है कि वह समीकरण को पूरा करे। यह एक अलग सवाल है कि क्या इस तरह केरचनात्मक तरीके से प्राप्त किया जा सकता है। $\mathrm{ind}_{=_C}$ $\mathrm{ind}_{=_C}$

अंत में, मैं थोड़ा सा थका हुआ हूं कि आप "रचनात्मक" शब्द का उपयोग कैसे करते हैं। ऐसा लगता है जैसे आप सोचते हैं कि "रचनात्मक" "परिभाषित" के समान है। उस व्याख्या के तहत हाल्टिंग ऑरेकल रचनात्मक है, क्योंकि इसका व्यवहार उस आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जाता है जिस पर हम इसे लगाते हैं (अर्थात यह दिए गए मशीन के अनुसार 1 या 0 आउटपुट होता है)। यह उन वस्तुओं का वर्णन करना संभव है जो केवल एक गैर-रचनात्मक सेटिंग में मौजूद हैं। इसके विपरीत, गुणों और अन्य चीजों के बारे में रचनात्मक रूप से बोलना पूरी तरह से संभव है जो वास्तव में गणना नहीं की जा सकती हैं। यहाँ एक है: संबंध द्वारा परिभाषित $H \subseteq \mathbb{N} \times \{0,1\}$ रचनात्मक है, यानी, वहाँ देखने के एक रचनात्मक दृष्टिकोण से इस परिभाषा के साथ कुछ भी नहीं गलत है। यह सिर्फ इतना है कि रचनात्मक एक नहीं दिखा सकते हैं कि कुल संबंध है, और इसकी विशेषता मानचित्र नहीं कारक के माध्यम से करता है

H (n, d) ⟺ (d = 1 \Rightarrow n -th machine halts) \land (d = 0 \Rightarrow n -th machine diverges)

$H(n,d) \iff (d = 1 \Rightarrow \text{$n$-th machine halts}) \land (d = 0 \Rightarrow \text{$n$-th machine diverges})$

H

$H$

χ_{H} : N \times {0, 1} \to P r o p

$\chi_H : \mathbb{N} \times \{0,1\} \to \mathsf{Prop}$

b o o l

$\mathtt{bool}$ , इसलिए हम इसके मूल्यों की "गणना" नहीं कर सकते।

परिशिष्ट: आपके प्रश्न का शीर्षक "पथ प्रेरणात्मक है?" "रचनात्मक" और "परिभाषित" के बीच अंतर को साफ करने के बाद, हम प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं। हाँ, पथ प्रेरण कुछ मामलों में रचनात्मक होने के लिए जाना जाता है:

यदि हम बिना सिद्धांत के टाइप थ्योरी पर रोक लगाते हैं ताकि हम मजबूत सामान्यीकरण दिखा सकें, तो पथ प्रेरण और बाकी सब कुछ रचनात्मक है क्योंकि सामान्यीकरण प्रक्रिया करने वाले एल्गोरिदम हैं।
टाइप थ्योरी के रियलिज़ेबिलिटी मॉडल हैं, जो बताते हैं कि टाइप थ्योरी में हर बंद शब्द ट्यूरिंग मशीन से मेल खाता है। हालाँकि, ये मॉडल Streicher के Axiom K को संतुष्ट करते हैं, जो Univalence को नियंत्रित करता है।
रचनात्मक सेट थ्योरी सीजेडएफ में टाइप थ्योरी (फिर बिना यूनीवैलेंस के) का अनुवाद है। एक बार फिर, यह Streicher के स्वयंसिद्ध K को मान्य करता है।
रियलिज़ेबिलिटी मॉडल के अंदर एक ग्रुपॉयड मॉडल है जो हमें स्ट्रेचर के के बिना टाइप थ्योरी की व्याख्या करने की अनुमति देता है । यह स्टीव अोवेदी और स्वयं द्वारा प्रारंभिक कार्य है।

हमें वास्तव में एकजुटता की रचनात्मक स्थिति को सुलझाने की जरूरत है।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

मेरा मानना है कि यह उत्तर अब (आंशिक रूप से) है

— WorldSEnder

दरअसल, इस बीच के समय में क्यूबिकल प्रकार के सिद्धांत ने एक उत्तर दिया: एक प्रकार का रचनात्मक मॉडल है।

— बाउर

7

मैं कोई HoTT व्यक्ति नहीं हूं, लेकिन मैं अपने दो सेंट में फेंक दूंगा।

मान लीजिए कि हमें एक समारोह बनाने की चाह रहे हैं कैसे हम ऐसा करेंगे? ठीक है, मान लें कि हमें कोई और उनकी समानता का प्रमाण । चूँकि मैं मनमाने प्रकार बारे में कुछ नहीं जानता, इसलिए मुझे की `संरचना 'के बारे में कुछ नहीं पता है

f_{A} : \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p)

$f_A : \prod_{x,y : A}\prod_{p : x =_A y} C(x,y,p)$

x, y : A

$x,y : A$

p : x =_{A} y

$p : x =_A y$

A

$A$

x, y

$x,y$ । हालांकि, मैं विशिष्ट समानता प्रकार के बारे में कुछ पता: यह एक एकल निर्माता, है

इसलिए,

कुछ के लिए

है, लेकिन यह

को बल देगा । इसलिए, अगर हम का एक तत्व था

किसी के लिए

{r e f l}_{a} : a =_{A} a, for any a : A

$\mathsf{refl}_a : a =_A a, \text{ for any } a : A$

p \equiv {r e f l}_{a}

$p \equiv \mathsf{refl}_a$

a : A

$a : A$

x = a = y

$x=a=y$

C (x, x, {r e f l}_{x})

$C(x,x,\mathsf{refl}_x)$

; यानी अगर हम एक समारोह था

(हमारे विशिष्ट के लिए

), तो हमारे समारोह

इस प्रकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

x : A

$x : A$

b a s e_{C} : \prod_{x : A} C (x, x, {r e f l}_{x})

$base_C : \prod_{x:A}C(x,x,\mathsf{refl}_x)$

C

$C$

f_{A}

$f_A$

f_{A} (x, y, p) := b a s e_{C} (x, x, p)

$f_A(x,y,p) := base_C(x,x,p)$ ।

सदस्यता से छुटकारा पाने के लिए सामान्य प्रेरक परिभाषा होती है।

उम्मीद है की वो मदद करदे!

$e$ $E$ $E$

— मूसा अल-परेशानी
स्रोत

1

शायद आप इसकी कुछ समझ बना सकते हैं, या कम से कम अपने वर्तमान अंतर्ज्ञान के बारे में चिंतित हो सकते हैं। math.andrej.com/2013/08/28/the-elements-of-an-inductive-type पर जहाँ मैं समझाने की कोशिश करता हूँ यह सोचना हानिकारक है कि एक प्रकार के बंद शब्द सभी एक प्रकार के हैं।

— बाउर

2

r e f l

$\mathsf{refl}$

3

$A\times B$ $A\times B$

p a i r : A \to B \to A \times B

$\mathrm{pair}\ :\ A\rightarrow B\rightarrow A\times B$

f

$f$

A \times B

$A\times B$ , उस पर अपनी कार्रवाई का विवरण देने में पर्याप्त होता $\mathrm{pair}$

$\mathrm{pair}$ $f:A\times B\rightarrow C$ $A$ $B$

f^{'} : A \to B \to C

$f':A\rightarrow B\rightarrow C$

f

$f$

A \times B

$A\times B$

(A \to B \to C) \to (A \times B \to C)

$(A\rightarrow B\rightarrow C)\rightarrow(A\times B\rightarrow C)$

{i n d}_{A \times B}

$\mathrm{ind}_{A\times B}$

$f$ $\mathrm{pair}(a,b)$ $f$ $f'$

f (p a i r (a, b)) := f^{'} a b

$f(\mathrm{pair}(a,b))\ :=\ f'\ a\ b$

{i n d}_{A \times B} f^{'} p a i r (a, b) := f^{'} a b

$\mathrm{ind}_{A\times B}\ f'\ \mathrm{pair}(a,b)\ :=\ f'\ a\ b$

=

$=$

तो आप देखते हैं कि दिए गए कंस्ट्रक्टर्स के साथ आगमनात्मक प्रकार के लिए एक एलिमिनेटर की परिभाषा 2 चरणों में आती है:

$\mathrm{ind}$
$\mathrm{ind}$

$=_A$ $x,y:A$ $p:x=y$ $C$ $p$ $x=y$ $\mathrm{refl}(z)$ $z$

f : Π x, y : A, x = y \to C

$f:\Pi x, y:A, x=y\rightarrow C$

f^{'} : Π z : A, C

$f':\Pi z:A, C$

r e f l (z)

$\mathrm{refl}(z)$

C

$C$

$f$ $f'$

f z z r e f l (z) := f^{'} z

$f\ z\ z\ \mathrm{refl}(z):= f'\ z$

$A\times B$ $=_A$

— कोड़ी
स्रोत