कंस्ट्रक्शन की गणना में

मैं कंकम्पस ऑफ कंस्ट्रक्शंस और लैंबडा क्यूब में इसके स्थान को देख रहा हूं ।

अगर मैं सही ढंग से , तो क्यूब के प्रत्येक अक्ष को एक अन्य ऑपरेशन को जोड़ने के बारे में सोचा जा सकता है, जिसमें बस टाइप किए गए कैलकुलस, प्रकार शामिल हैं । पहला अक्ष टाइप-टू-टर्म ऑपरेटर, दूसरा प्रकार-से-टाइप ऑपरेटर और तीसरा आश्रित टाइपिंग या टर्म-टू-टाइप ऑपरेटर जोड़ता है। सीओसी में तीनों हैं। $\lambda_\to$

हालांकि, सीओसी एक शब्द का परिचय , और कहा गया है कि से अनुमान नियम , लेकिन अन्यथा नहीं किया जाता है। मैं समझता हूं कि यह नामांकित प्रस्तावों के लिए है, लेकिन तार्किक प्रस्ताव इसके संदर्भ में परिभाषित नहीं हैं। $Prop$ $Prop : Type$

क्या आप मुझे समझा सकते हैं कि क्या है, कहाँ / कब दिखाई देता है, और इसे क्यूब की कुल्हाड़ियों के संदर्भ में समझाएं (यदि वास्तव में ऐसा करना संभव है)? $Prop$

— माइकल रॉसन
स्रोत

पारंपरिक मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत में, प्रकार और प्रस्तावों के बीच कोई अंतर नहीं है। यह नारा "प्रकार के रूप में प्रस्ताव" के तहत जाता है। लेकिन कभी-कभी उन्हें भेद करने के कारण भी होते हैं। सीओसी ठीक यही करता है।

वहाँ सीओसी के कई वेरिएंट हैं, लेकिन सबसे होता लेकिन नहीं । एक और अंतर तब दिखाई देता है जब हमारे पास असीम रूप से कई प्रकार के ब्रह्मांड होते हैं और अप्रतिकारक बनाते हैं (यह वही है जो Coq करता है)। लगातार, सीओसी के एक संस्करण पर विचार करें जहां हमारे पास और असीम रूप से कई प्रकार के ब्रह्मांड ,

P r o p : T y p e

$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$

T y p e : P r o p

$\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

साथ

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

{T y p e}_{3}

$\mathsf{Type}_3$

के लिए गठन नियम

बनाने के लिए कैसे समझाने के लिए है

जब

या तो एक प्रस्ताव या एक प्रकार है, और

या तो एक प्रस्ताव या एक प्रकार है। चार संयोजन हैं:

\begin{aligned} P r o p & : {T y p e}_{1} \\ {T y p e}_{1} & : {T y p e}_{2} \\ {T y p e}_{2} & : {T y p e}_{3} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$

\prod

$\prod$

\prod_{x : A} B (x)

$\prod_{x : A} B(x)$

A

$A$

B (x)

$B(x)$

$\frac{A : P r o p x : A ⊢ B (x) : P r o p}{\prod_{x : A} B (x) : P r o p}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{A : {T y p e}_{i} x : A ⊢ B (x) : P r o p}{\prod_{x : A} B (x) : P r o p}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{A : P r o p x : A ⊢ B (x) : {T y p e}_{i}}{\prod_{x : A} B (x) : {T y p e}_{i}}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$
$\frac{A : {T y p e}_{i} x : A ⊢ B (x) : {T y p e}_{j}}{\prod_{x : A} B (x) : {T y p e}_{max (i, j)}}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$

सबसे दिलचस्प दूसरे और चौथे मामले के बीच का अंतर है। चौथा नियम कहता है कि अगर में है मई के ब्रह्मांड और में है वें ब्रह्मांड, तो उत्पाद में है मई के ब्रह्मांड। लेकिन दूसरा नियम हमें बता रहा है कि है नहीं तो बस "एक निचले भाग पर और ब्रह्मांड", क्योंकि में भूमि जैसे ही करता है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितना बड़ा है। यह impredicative है क्योंकि यह हमें तत्वों को परिभाषित करने की अनुमति देता है $A$ $i$ $B(x)$ $j$ $\max(i,j)$ $\mathsf{Prop}$ $\prod_{x : A} B(x)$ $\mathsf{Prop}$ $B(x)$ $A$ $\mathsf{Prop}$ से अधिक की मात्रा निर्धारित करके । $\mathsf{Prop}$

एक ठोस उदाहरण होगा बनाम में पहला उत्पाद जीवन , लेकिन दूसरा व्यक्ति (और in , भले ही हम ) के एक तत्व पर मात्रा कर रहे हैं । विशेष रूप से, इसका मतलब है कि लिए संभावित मानों में से is ही है।

\prod_{A : {T y p e}_{1}} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$

\prod_{A : P r o p} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

A

$A$

\prod_{A : P r o p} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

— प्रेमिका बाउर
स्रोत