क्या मेरे पास "आश्रित कॉपीराइट प्रकार" हो सकता है?

Question

मैं HoTT पुस्तक के माध्यम से पढ़ रहा हूं और मेरे पास अध्याय एक में सामान के बारे में एक (शायद बहुत भोला) सवाल है।

अध्याय फ़ंक्शन प्रकार परिचय देता है और फिर को पर निर्भर बनाकर इसे सामान्य करता है और उस पर निर्भर फ़ंक्शन प्रकार को कहा जाता है ।

$$f:A\to B$$ $B$$x:A$ $$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\prod_{x:A}B(x)$$

आगे बढ़ते हुए, अध्याय तब उत्पाद प्रकार परिचय देता है और फिर को पर निर्भर बनाकर इसे सामान्य करता है और उसे आश्रित युग्म प्रकार कहा जाता है ।

$$f:A\times B$$ $B$$x:A$ $$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\sum_{x:A}B(x)$$

मैं निश्चित रूप से यहां एक पैटर्न देख सकता हूं।

आगे बढ़ते हुए, अध्याय फिर कॉपीराइड प्रकार और ... कॉम्बोक्रैकर का परिचय देता है ... इस प्रकार के आश्रित संस्करण की कोई चर्चा नहीं है।

$$f:A+B$$

क्या उस पर कुछ मौलिक प्रतिबंध है या यह पुस्तक के विषय के लिए अप्रासंगिक है? किसी भी मामले में कोई मुझे क्यों समारोह और उत्पाद प्रकार पर अंतर्ज्ञान के साथ मदद कर सकता है? उन दो को क्या इतना खास बनाता है कि वे निर्भर प्रकारों के लिए सामान्यीकृत हो जाते हैं और फिर सब कुछ बनाने के लिए इस्तेमाल किया जाता है?

Answer 1

आश्रित राशि दोनों कार्टिसियन उत्पाद और प्रतिपदा दोनों का एक सामान्य सामान्यीकरण है । यह सिर्फ इतना होता है कि HoTT पुस्तक को सामान्य करके निर्भर राशि का परिचय देती है , क्योंकि इसके लिए पहले बूलियन प्रकार को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है।$A \times B$ $A + B$$A \times B$

प्रतिपूर्ति निर्भरता राशि का एक विशेष मामला है। प्रकार और को देखते हुए , टाइप करें परिवार पर विचार करें और द्वारा परिभाषित । आश्रित राशि बराबर है । वैसे, आप एक आश्रित उत्पाद रूप में भी प्राप्त कर सकते हैं ।$A$$B$$P : \mathtt{bool} \to \mathcal{U}$$P(\mathtt{false}) = A$$P(\mathtt{true}) = B$$\sum_{b : \mathtt{bool}} P(b)$$A + B$$A \times B$$\prod_{b : \mathtt{bool}} P(b)$

आप पूछते हैं कि उत्पादों और फ़ंक्शन प्रकारों के बारे में क्या विशेष है। ऐसे कई कारण हैं, जिनमें और "आवश्यक" होने के कई कारण हैं। तर्क के संदर्भ में, वे जरूरी हैं, क्योंकि वे पत्र व्यवहार करने के और प्रस्ताव के रूप में प्रकार के पत्राचार से (लेकिन यह केवल करने के लिए सवाल बदलाव "क्यों कर रहे हैं और आवश्यक?")। श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में, और आवश्यक है क्योंकि वे प्रतिस्थापन के लिए बाएं और दाएं आसन्न हैं। यदि आप अधिक जानना चाहते हैं तो अधिक सुरक्षित प्रश्न पूछें।Π ∃ ∀ ∃ ∀ Σ $\sum$$\prod$$\exists$$\forall$$\exists$$\forall$$\sum$$\prod$

Comments

नमस्कार। क्या मैं पूछ सकता हूं कि आप कैसे दिखा सकते हैं कि " और बाएँ और दाएँ निकटस्थ हैं प्रतिस्थापन के लिए।" किन श्रेणियों का उपयोग किया जाएगा? $\sum$$\prod$

— चोमिडिट

मुझे लगता है कि प्रतिस्थापन एक विकर्ण फफूंद की तरह है और इसके सूचकांक श्रेणी के रूप में काम करता है। फिर, शायद माना गया वर्ग प्रकारों की श्रेणी है। $A$

— ChoMedit

Answer 2

मैं इस अधिक सॉफ्टवेयर-इंजीनियरिंग-गीत के बारे में बात करूंगा।

क्या आप किसी ऐसे प्रकार के उत्पाद के बारे में बात कर रहे हैं जिसके बाद के निर्माणकर्ता पहले वाले को संदर्भित कर सकते हैं (जो, एक उत्पाद के समान सुंदर लगता है, जिसके बाद के क्षेत्र पहले वाले को संदर्भित कर सकते हैं)? हिट पेश किए जाने के बाद एजडा में यह संभव है (संस्करण 2.6.0 में):

-- Auxiliary definition: Nat
data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat -> Nat

-- The HIT I was talking about
data Int : Set where
  positive : Nat -> Int
  negative : Nat -> Int
  -- Note this constructor uses `positive` and `negative`.
  zeroPath : positive zero ≡ negative zero

इस पत्र का अनुसरण करके , यदि आपका टाइप-चेकर "" (26) "" आकृति में प्रस्तुत वाक्यविन्यास का उपयोग करते हुए परिभाषित परिभाषाओं की जाँच करता है, तो मेरा मानना ​​है कि "निर्भर सहकर्मियों" का समर्थन करना काफी सरल है।