पूर्णांक की एक बड़ी शक्ति के बिट्स की संख्या की गणना

द्विआधारी प्रतिनिधित्व में दो पूर्णांक $x$ और को देखते हुए $n$ , के बिट-आकार की गणना करने की जटिलता क्या है ? $x^n$

ऐसा करने का एक तरीका पर्याप्त सटीकता के साथ एक अनुमान की गणना करके की गणना करना है । ऐसा लगता है कि कंप्यूटिंग के साथ precisions के टुकड़े में किया जा सकता जहां समय की लंबाई के दो पूर्णांकों का उत्पाद की गणना करने के लिए आवश्यक है । इस पैदावार एक (विशेष रूप से आसान नहीं) जटिलता के एल्गोरिथ्म लगभग यदि एक दोनों की bitsize पर बाध्य है और (अगर मैं कोई भूल हो गई है)। $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$ $\log_2(x)$ $\log_2(x)$ $k$ $O(M(k)\log k)$ $M(k)$ $k$ $O(s\log^2 s)$ $s$ $x$ $n$

क्या हम को हरा सकते हैं, जहां का आकार और (उस स्थिति में जहां उनका तुलनीय आकार है)? क्या इस जटिलता या बेहतर को प्राप्त करने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म है? $O(s\log^2(s))$ $s$ $x$ $n$

नोट: मैं ट्यूरिंग मशीनों जैसे एक सैद्धांतिक मॉडल में जटिलता में दिलचस्पी रखता हूं।

complexity-theory time-complexity binary-arithmetic

— ब्रूनो
स्रोत

इसे सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में

— vzn

@vzn: मुझे नहीं लगता कि यह उपयोगी है ...

— ब्रूनो

क्यों नहीं? यह सवाल डायसॉन अनुमान पर एल्गोरिथम के हमलों की याद दिलाता है जैसे कि 1 , 2

— vzn

बस इसलिए कि मुझे अपने प्रश्न का उत्तर मिल गया, इसलिए इसे मेरे दिमाग में कहीं और पूछने की आवश्यकता नहीं है।

— ब्रूनो

[संपादित करें] जैसा कि सुझाव दिया गया है, मैं और अधिक विवरण देने के लिए अपने उत्तर को संपादित करता हूं।

मेरे दूसरे प्रश्न का उत्तर नहीं है :

प्रस्ताव। सटीक तक कम्प्यूटिंग के बिट-साइज़ की गणना करने के लिए कम से कम उतना ही कठिन है । $\log(x)$ $k$ $x^{2^k}$

सबूत। चलो एक पूर्णांक के बिट आकार को निरूपित करें । सबसे पहले सूचना है कि ग़ैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए , बिट आकार है । $|y|$ $y$ $y$ $y$ $1+\lfloor \log y\rfloor$

इस प्रकार, । अब है स्थानांतरित कर दिया बाईं ओर पदों। इस प्रकार एक गणना कर सकता है परिशुद्धता के लिए बस को घटा कर बिट आकार के लिए और परिणाम स्थानांतरण सही करने के लिए पदों। $\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$ $2^k\log(x)$ $\log(x)$ $k$ $\log(x)$ $k$ $1$ $x^{2^k}$ $k$

— ब्रूनो
स्रोत

क्यों में बिट्स की संख्या है

की गणना करने के लिए सक्षम

करने के लिए

परिशुद्धता के टुकड़े? क्या आपकी कमी वास्तव में काम करती है? क्या होगा यदि विशेष मामला जहां

(गैर-शक्तियां-दो) के अन्य सभी संभावित मूल्यों की तुलना में बहुत आसान / कठिन था ? क्या आपके पास उस संभावना को खारिज करने का एक तरीका है?

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

\log x

$\log x$

k

$k$

n = 2^{k}

$n=2^k$

n

$n$

— DW

@DW: vzn की टिप्पणी के बाद, मैं इस सवाल पर वापस आता हूं। मेरे सबूत इस प्रकार है: एक पूर्णांक के बिट्स की संख्या

है

। इस प्रकार, में बिट्स की संख्या

है

। इसके अलावा,

के रूप में ही है

लेकिन स्थानांतरित कर दिया

बाईं ओर पदों। इस प्रकार,

आपको (कम से कम)

पहले बिट्स देता है

y

$y$

1 + ⌊ \log y ⌋

$1+\lfloor\log y\rfloor$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1 + ⌊ 2^{k} \log x ⌋

$1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$

2^{k} \log x

$2^k\log x$

\log x

$\log x$

k

$k$

⌊ 2^{k} \log x ⌋

$\lfloor 2^k\log x\rfloor$

k

$k$

। इस प्रकार, यदि आप

के बिट्स की संख्या की गणना कर सकते हैं, तोपरिणाम को

घटाकर, आप

के पहले

बिट्सप्राप्त करते हैं। इसका कोई मतलब भी है क्या?

\log x

$\log x$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1

$1$

k

$k$

\log x

$\log x$

— ब्रूनो

हाँ, यह मेरे लिए अधिक समझ में आता है! विशेष रूप से जब से आप सिर्फ कठोरता दिखाने की कोशिश कर रहे हैं। क्या मैं आपको इस विस्तृत विवरण के साथ अपना उत्तर अपडेट करने के लिए प्रोत्साहित कर सकता हूँ? इस पर वापस आने और अपने स्वयं के प्रश्न के उत्तर का दस्तावेजीकरण करने के लिए धन्यवाद।

— डीडब्ल्यू