किसी भी NP- पूर्ण समस्या से एक बहुपद कमी घटित PCP है

Question

पाठ्य पुस्तकें हर जगह मानती हैं कि बंधी हुई पोस्ट पत्राचार समस्या एनपी-पूर्ण है ( पुनरावृत्तियों के साथ अनुमत अनुक्रमित से अधिक नहीं )। हालांकि, कहीं भी एक को एक सरल (जैसा कि कुछ ऐसा है जिसे एक अंडरग्रेड समझ सकता है) को एक अन्य एनपी-पूर्ण समस्या से बहुपद समय में कमी दिखाई गई है।$N$

हालाँकि, हर कमी मैं सोच सकता हूं कि रन-टाइम में घातांक ( या श्रृंखला के आकार के अनुसार) है। शायद यह दिखाया जा सकता है कि यह सैट के लिए अतिरेक है?$N$

Answer 1

जैसा कि अक्सर एनपी-कटौती के मामले में होता है, यह समान समस्याओं की तलाश करने के लिए समझ में आता है। विशेष रूप से, वैश्विक स्थितियों को एनकोड करना मुश्किल है, जैसे कि पीसीपी में "कुछ नोड्स को देखा है" (बहुपद के साथ कई टाइलें) जो ग्राफ़ की समस्याओं को कम कर देता है, पैकिंग समस्याओं से हमें पीसीपी में असमान संख्याओं को सांकेतिक शब्दों में बदलना होगा (बड़े पैमाने पर असंगत रूप से निर्माण), और जल्द ही। इसलिए, केवल स्थानीय प्रतिबंधों के साथ एक स्ट्रिंग समस्या से सबसे अच्छा काम करने की उम्मीद की जा सकती है।

कम से कम सामान्य स्थिति समस्या के निर्णय संस्करण पर विचार करें :

यह देखते हुए दो तार के साथ | ए | = एन और | बी | = मीटर और कश्मीर ∈ एन , फैसला एक स्ट्रिंग है कि क्या वहाँ ग ∈ Σ + के साथ | सी | ≤ k ऐसे कि a और b , c के परिणाम हैं ।$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

विचार की पीसीपी निर्माण supersequences जाने के लिए है और ख बाएं से दाएं, टाइल्स 'ओवरलैप में एन्कोडिंग जो स्थिति में हम में हैं एक और ख क्रमश। यह में प्रतीक प्रति एक टाइल का उपयोग करेगा ग , तो कश्मीर से मेल खाती है BPCP के लिए बाध्य: अगर हम साथ इस पीसीपी हल कर सकते हैं ≤ कश्मीर टाइल्स विपरीत, आप समान लंबाई के आम supersequence बंद पढ़ सकते हैं, और इसके।$a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$

टाइल्स का निर्माण थोड़ा थकाऊ है, लेकिन काफी स्पष्ट है। ध्यान दें कि हम उन टाइलों को नहीं बनाएंगे जो या बी को आगे नहीं करते हैं ; इस तरह के एक छोटे से सामान्य सुपरसक्वेंस का हिस्सा कभी नहीं हो सकता है , इसलिए वे शानदार हैं। कटौती के गुणों को तोड़ने के बिना उन्हें आसानी से जोड़ा जा सकता है।$a$$b$

ओवरलैप्स में संख्याओं को बाइनरी में एन्कोड किया गया है, लेकिन बाहर के प्रतीकों का उपयोग करके और उन्हें एक सामान्य लंबाई लॉग अधिकतम ( एम , एन ) पर पैडिंग । इस प्रकार हम यह सुनिश्चित करते हैं कि टाइल्स का उपयोग ग्राफिक्स के सुझाव (टेट्रिस) के रूप में किया जाता है, जो कि वर्ण और सूचकांक-एन्कोडिंग ओवरलैप्स मिश्रण नहीं है (पीसीपी इस प्रति को नहीं रोकता है)। ज़रुरत है:$\Sigma$$\log \max(m,n)$

• टाइल्स शुरू: के साथ शुरू कर सकते हैं एक 1 , बी 1 या दोनों वे बराबर हैं।$c$$a_1$$b_1$
• मध्यवर्ती टाइल्स: में अगले प्रतीक के साथ आगे बढ़ सकते हैं एक में, ख या दोनों अगर वे बराबर हैं।$c$$a$$b$
• समाप्ति टाइलें: अंतिम प्रतीक के साथ समाप्त होता है (यदि b का अंतिम एक पहले से ही देखा गया है), b के लिए समान है , या दोनों के अंतिम प्रतीक के साथ।$c$$a$$b$$b$

ये टाइल योजनाबद्ध हैं। ध्यान दें कि मध्यवर्ती टाइल्स सभी जोड़े के लिए instantiated जा करने के लिए । जैसा कि ऊपर उल्लेख, बिना टाइल बनाने * केवल तभी में संबंधित पात्रों एक और ख मैच।$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

^{[ स्रोत ]}

"परवाह नहीं है" के लिए प्रतीक मात्र हैं; वास्तविक टाइल्स में, अन्य प्रतीक को वहां कॉपी करना होगा। नोट टाइल्स की संख्या में है कि Θ ( मीटर n ) और प्रत्येक टाइल लंबाई 4 लॉग अधिकतम ( मीटर , एन ) + 1 , इसलिए निर्माण BPCP उदाहरण (अधिक वर्णमाला Σ ∪ { 0 , 1 $*$$\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$प्लस जुदाई प्रतीकों) बहुपद आकार है। इसके अलावा, हर टाइल का निर्माण बहुपद में स्पष्ट रूप से संभव है। इसलिए, प्रस्तावित कमी वास्तव में एक वैध बहुपद परिवर्तन है जो BPCP को पूर्ण-कम से कम सामान्य सुपरसक्सेस समस्या को कम करता है।

Comments

अच्छा उत्तर। मुझे लगता है कि सबसे सरल ज्ञात कमी है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

Answer 2

मुझे लगता है कि आप यह साबित कर सकते हैं कि BPCP एनपी-पूर्ण है जो अपनी अनिर्वायता को साबित करने के लिए उपयोग की गई कमी के समान है। हम सीधे यह साबित करेंगे कि बहुपद समय में एनपी में किसी भी समस्या को कम करने के लिए बीपीसीपी एनपी-पूर्ण है।

मानक कमी यह साबित करने के लिए उपयोग की जाती है कि पीसीपी अपरिहार्य है ( यहां से स्केच किया गया है ) टाइल्स की एक श्रृंखला का निर्माण करके काम करता है जैसे कि पीसीपी समाधान होता है यदि कोई स्ट्रिंग डब्ल्यू पर किसी दिए गए टीएम की एक स्वीकार्य गणना है । इस कमी में बनाई गई टाइलों की संख्या बहुपद रूप से बड़ी है - विशेष रूप से, निर्मित डोमिनो की संख्या टेप वर्णमाला के आकार और टीएम में राज्यों की संख्या का कुछ कार्य है। एकमात्र डोमिनोज़ जिसका आकार बड़ा हो सकता है, प्रारंभिक डोमिनोज़ है, जिसमें $M$$w$$w$उस पर लिखा है। अगर हम नियतात्मक TMs पर काम करने से लेकर nondeterministic TMs पर काम करने तक की इस कमी को सामान्य करते हैं, तो यह कुछ सबसे अधिक संख्या में डोमिनोज़ का परिचय देता है, क्योंकि संक्रमण की संख्या परिमित होती है। नतीजतन, हम बहुपद समय में सामान्य अनिश्चयता में कमी के लिए डोमिनोज़ के मानक सेट का निर्माण कर सकते हैं।

इसे देखते हुए, हम निम्नानुसार BPCP के लिए किसी भी NP समस्या को कम कर सकते हैं - किसी भी NP समस्या को देखते हुए, इसमें कुछ बहुपद-काल NTM जो समय p ( n ) में चलते हैं । हम तो इस प्रकार बहुपद समय में BPCP इस समस्या को कम कर सकते हैं - से डोमिनो के मानक सेट का निर्माण एम , तो पूछना वहाँ एक समाधान है कि क्या है कि का उपयोग करता है च ( पी ( एन ) ) डोमिनो, जहां च कुछ बहुपद समारोह है कि व्यक्त करता है समाधान के लिए आवश्यक डोमिनोज़ की संख्या मौजूद है (यह शायद n 2 जैसा कुछ है$M$$p(n)$$M$$f(p(n))$$f$$n^2$, और निश्चित रूप से घातीय नहीं है)। फिर, एक ही सबूत आपको दिखाना होगा कि पीसीपी अनिर्णनीय का उपयोग का उपयोग कर, आप साबित कर सकते हैं इस BPCP उदाहरण के लिए एक समाधान है कि वहाँ कि ज्यादा से ज्यादा उपयोग करता है मूल NTM iff टाइल्स एम स्वीकार करता मीटर के भीतर पी ( n ) कदम। नतीजतन, हमारे पास एनपी से बीपीसीपी तक की हर समस्या में एक बहुपद-समय की कमी है, इसलिए बीपीसीपी एनपी-हार्ड है।$f(p(n))$$M$$m$$p(n)$

(हमें यह भी दिखाना चाहिए कि BPCP एनपी में है, लेकिन यह आसान है; बस nondeterministically अनुमान है कि कौन से डोमिनोज़ को क्रम में रखना है, फिर निर्धारक रूप से इसे सत्यापित करें)।

उम्मीद है की यह मदद करेगा!

Comments

यह किसी तरह से मदद करता है, हालांकि मैं अभी भी एक और समस्या से सीधे कमी पसंद करूंगा।

— जॉन

@ जॉन- क्या कोई विशेष कारण है कि आप BPCP की ज्ञात समस्या को कम करना चाहते हैं? उपरोक्त प्रमाण से पता चलता है कि समस्या एनपी-पूर्ण है और पीसीपी की अनिच्छा और बीपीसीपी की एनपी-पूर्णता के बीच संबंध को उजागर करती है।

— templatetypedef

विशुद्ध रूप से शैक्षिक कारण, चूंकि सामान्य रूप से अधिकांश पाठ्य पुस्तकें एनपी-पूर्णता को प्रमाणित करने के लिए प्रत्यक्ष कमी विधि का उपयोग करती हैं, और यह समझने के लिए कि यह समस्या उस संबंध में बाकी की तुलना में अलग नहीं है।

— जॉन

@ जॉन: आप किसी भी एन पी-सम्पूर्ण समस्या (जिस पर पाठ्यक्रम उपयोग templatetypedef की कमी के कर सकते हैं है प्रत्यक्ष), लेकिन यह नहीं होगा इसे चुना समस्या की संरचना का फायदा उठाने। शैक्षिक उद्देश्यों के लिए, यह शानदार है, क्योंकि आमतौर पर आप केवल एक गैर-कमी प्रमाण देखते हैं कि एक समस्या एनपी-पूर्ण है।

— राफेल