कार्प रिडक्शन लेविन रिडक्शन के समान है

Question

परिभाषा: कार्प रिडक्शन

एक भाषा $A$ एक भाषा के लिए कार्प कम करने योग्य है $B$ अगर वहाँ एक बहुपद समय गणनीय समारोह $f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$ ऐसी है कि हर एक के लिए $x$ , $x\in A$ यदि और केवल यदि $f(x)\in B$ ।

परिभाषा: लेविन रिडक्शन

एक खोज समस्या $V_A$ एक खोज समस्या V B के लिए लेविन रिड्यूसबल है $V_B$यदि बहुपद समय फ़ंक्शन $f$ जो कि Karp $L(V_A)$ से $L(V_B)$ और बहुपद-काल गणना योग्य कार्य $g$ और $h$ ऐसे हैं

1. $\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$ ,

2. $\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

क्या ये कटौती समान हैं?

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मुझे लगता है कि दो परिभाषाएं समान हैं। किसी भी दो N P भाषा A और B के लिए , यदि A , कार्प से B के लिए पुनर्निर्धारण है , तो $\mathsf{NP}$$A$$B$$A$$B$$A$ , लेविन रेड्यूसिबल से B तक है ।$B$

यहाँ मेरा प्रमाण है:

चलो एक्स और ¯ एक्स के मनमाने ढंग से उदाहरण हो एक , जबकि एक्स ' हो की कि बी । मान लीजिए कि V A और V B A और B के सत्यापनकर्ता हैं । चलो y और ¯ y के मनमाने ढंग से प्रमाण पत्र होना एक्स और ¯ एक्स के अनुसार वी ए । चलो जेड की है कि हो सकता है एक्स ' के अनुसार वी बी ।$x$$\overline{x}$$A$$x'$$B$$V_A$$V_B$$A$$B$$y$$\overline{y}$$x$$\overline{x}$$V_A$$z$$x'$$V_B$

का निर्माण नए प्रमाणक वी ' एक और वी ' बी नया प्रमाण पत्र के साथ y ' और जेड ' :$V'_A$$V'_B$$y'$$z'$

$V'_A(x,y'):$

1. y ' = ⟨ 0 , ¯ एक्स , ¯ y ⟩ : यदि च ( एक्स ) ≠ च ( ¯ एक्स ) , अस्वीकार करते हैं। अन्यथा उत्पादन वी ए ( ¯ एक्स , ¯ y ) ।$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$$f(x)\ne f(\overline{x})$$V_A(\overline{x},\overline{y})$
2. y Output = ′ 1 , z ⟨ : आउटपुट V B ( f ( x ) , z ) ।$y'=\langle 1,z\rangle$$V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

1. जेड ' = ⟨ 0 , जेड ⟩ : आउटपुट वी बी ( एक्स ' , z ) ।$z'=\langle 0,z\rangle$$V_B(x',z)$

2. जेड ' = ⟨ 1 , एक्स , वाई ⟩ : यदि एक्स ' ≠ च ( एक्स ) , अस्वीकार करते हैं। अन्यथा आउटपुट वी ए ( $z'=\langle 1,x,y\rangle$$x'\ne f(x)$ , y ) ।$V_A(x,y)$

बहुपद-काल गणना योग्य कार्य g और h को नीचे के रूप में परिभाषित किया गया है:$g$$h$

$g(x,y')$

1. y ' = ⟨ 0 , ¯ एक्स , ¯ y ⟩ : आउटपुट ⟨ 1 , ¯ एक्स , ¯ $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ ⟩ ।$\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$

2. y ' = ⟨ 1 , जेड ⟩ : आउटपुट ⟨ 0 , $y'=\langle 1,z\rangle$ ⟩ ।$\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

1. जेड ' = ⟨ 0 , जेड ⟩ : आउटपुट ⟨ 1 , $z'=\langle 0,z\rangle$ ⟩ ।$\langle 1,z\rangle$

2. जेड ' = ⟨ 1 , एक्स , वाई ⟩ : आउटपुट ⟨ 0 , एक्स , वाई ⟩ ।$z'=\langle 1,x,y\rangle$$\langle 0,x,y\rangle$

चलो वाई एक्स के सभी प्रमाण पत्र के सेट हो एक्स के अनुसार वी एक और जेड एक्स ' के सभी प्रमाण पत्र के सेट हो एक्स ' के अनुसार वी बी । तब के सभी प्रमाण पत्र के सेट एक्स के अनुसार वी ' एक है 0 ¯ एक्स वाई ¯ x + 1 जेड च ( एक्स ) ऐसी है कि च ( एक्स ) = च ( ¯ एक्स$Y_x$$x$$V_A$$Z_{x'}$$x'$$V_B$$x$$V'_A$$0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$$f(x)=f(\overline{x})$, और के सभी प्रमाण पत्र के सेट एक्स ' के अनुसार वी ' बी है 0 जेड एक्स ' + 1 ¯ एक्स वाई ¯ एक्स कि इस तरह के एक्स ' = च ( ¯ एक्स ) ।$x'$$V'_B$$0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$$x'=f(\overline{x})$

(यह स्वीकार भाषा से लिया गया है वी ' एक और वी ' बी ।)$V'_A$$V'_B$

आइए अब एक्स ' = च ( एक्स ) , बाकी हिस्सा आसान जांच करने के लिए है।$x'=f(x)$

Comments

अपने दावे को साबित करने से पहले, आपको यह परिभाषित करना चाहिए कि एक भाषा द्वारा दूसरे के लिए लेविन को फिर से परिभाषित करने का क्या मतलब है।

— त्सुशी जोतो

Answer 1

नहीं। पहले ध्यान दें कि लेविन कमी केवल उन वर्गों के संबंध में समझ में आता है जो प्रमाण पत्र का अर्थ है, जैसे एन पी जबकि कार्प में कमी सामान्य है। एक समस्या के लिए "प्रमाण पत्र" शब्द केवल तभी समझ में आता है जब एक सत्यापनकर्ता तय हो जाता है। लेविन की कमी यह मानती है कि सत्यापनकर्ता निश्चित हैं। आप सत्यापनकर्ताओं को नहीं बदल सकते। (निम्नलिखित में मुझे लगता है कि लेविन की कमी की परिभाषा के अनुसार प्रमाणपत्र सत्यापनकर्ता आवश्यक हैं।)$\mathsf{NP}$

दूसरा, लेविन कमी का मतलब है कि एक प्रमाण पत्र से दूसरे के लिए प्रमाण पत्र पा सकता है। यह सच है कि प्राकृतिक समस्याओं के बीच जाने-माने कार्प में कमी लेविन की कमी के रूप में सामने आती है, लेकिन इसे सामान्य रूप से सही होने की आवश्यकता नहीं है।

अगर हम B को समस्या A के उदाहरणों को कम कर सकते हैं तो इसका मतलब यह नहीं है कि हमारे पास एक प्रमाणपत्र के लिए दूसरे के लिए एक प्रमाणपत्र की गणना करने का एक तरीका है।$A$$B$

यह सच हो, इसके लिए हमें इस तथ्य की आवश्यकता है कि निर्णय समस्या के अनुरूप एक प्रमाणिक खोज समस्या बहुपद समय निर्णय की समस्या से संबंधित है। इस के लिए सच है एन पी - सी ओ एम पी एल ई टी ई समस्याओं लेकिन आम तौर पर भी के लिए सही हो के लिए नहीं जाना एन पी समस्याओं।$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$

Comments

I agree on your first point that Karp reduction is more general than Karp reduction. According to it, I think my problem should be modified as "Let $L_1$ and $L_2$ be two languages in $NP$. If $L_1$ is Karp reducible to $L_2$, then $L_1$ is Levin reducible to $L_2$." However, I don't agree on your other comments.

— c c

In my prove, first let $L_1$ and $L_2$ be arbitrary such two languages. Since they are in $NP$, there are P TM $M_1$ and $M_2$. For every instances $x\in L_1$, the set of all certificates are $Y_x$ for $TM_1$. Similarly, we define $Z_{x'}$ for $x'\in L_2$. Since $L_1$ is Karp reducible to $L_2$, there is such $f$ as defined.

— c c

Now, we constructed new $M_1'$ and $M_2'$. For every instance $x\in L_1$, the new set of all certificates are $0Y_x+1Z_{f(x)}$, while for every instance $f(x)\in L_2$, the new set of all certificates are $0Z_{f(x)}+1xY_x$.(Here we use regular expressions) These are legal and all certificates for $M_1'$ and $M_2'$. By the way, there is P functions $g$ and $h$ as defined transform all possible certificate from one problem to the other.

— c c

ps: We don't need to give a transformation from $x'\in L_2$ where there is no $x\in L_1$ such that $x'=f(x)$, since Karp and Levin reductions are both many to one mappings. I think this can answer the second last paragraph.

— c c

@cc, it seems that you still think that you can change the verifiers, you cannot, the definition of Levin reduction is for search problems, i.e. the verifiers are fixed.

— Kaveh

Answer 2

A quick counterexample for your proof: suppose that $x_1, x_2 \in L_1$, $f(x_1) = f(x_2) \in L_2$, and $w$ is a valid certificate for $x_1$ but not for $x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

By definition $g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

$f(x_1)=f(x_2)$ so $M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$ so $\langle 1,x_1, w \rangle$ is a valid certificate for $f(x_2)$ but

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$ which is not a valid certificate for $x_2$

Comments

Thanks very much for pointing out the counterexample. I have modified the construction and I think it works now. Could you please have a look at it?

— c c