संभाव्यता वितरण और कम्प्यूटेशनल जटिलता

Question

यह प्रश्न प्रायिकता सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल जटिलता के प्रतिच्छेदन के बारे में है। एक प्रमुख अवलोकन यह है कि कुछ वितरण दूसरों की तुलना में उत्पन्न करना आसान है। उदाहरण के लिए, समस्या

एक संख्या दी $n$, समान रूप से वितरित संख्या लौटाएं $i$ साथ में $0 \leq i < n$।

हल करना आसान है। दूसरी ओर, निम्नलिखित समस्या बहुत कठिन है।

एक संख्या दी $n$एक नंबर वापस करें $i$ ऐसा है कि $i$(Gödel की संख्या) Peano अंकगणित में लंबाई n का एक वैध प्रमाण है। इसके अलावा, अगर इस तरह के सबूतों की संख्या है$pr(n)$, तो लंबाई के किसी भी विशिष्ट प्रमाण प्राप्त करने की संभावना $n$ होना चाहिए $\frac{1}{pr(n)}$।

इससे मुझे पता चलता है कि संभाव्यता वितरण कम्प्यूटेशनल जटिलता की धारणा के साथ आते हैं। इसके अलावा, यह जटिलता संभवतः अंतर्निहित निर्णय समस्याओं (चाहे उप-पुनरावर्ती, जैसे) से निकटता से संबंधित है$P$, $EXP$, पुनरावर्ती, पुनरावर्ती enumerable, या बदतर)।

मेरा सवाल यह है: किसी को संभाव्यता वितरण की कम्प्यूटेशनल जटिलता को कैसे परिभाषित किया जाता है, विशेष रूप से जहां अंतर्निहित निर्णय समस्या निर्णायक नहीं है। मुझे यकीन है कि इसकी जांच पहले ही की जा चुकी है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कहाँ देखना है।

Comments

एक और दिलचस्प उदाहरण (लेकिन जो कि निर्णायक है) क्वांटम फूरियर रूपांतरण है। दिया गया एक नंबर वापस लौटें ऐसे कि की संभावना के समानुपाती है, । $f(k)=a^k \mod b$$l \in [0,N]$$l$$\left|F(l)\right|$$F(l) = \sum_{k=0}^N f(k) e^{-2\pi ikl/N}$

— भटकना तर्क

आपके दोनों उदाहरण असतत समान वितरण हैं। मुझे लगता है कि अलग-अलग जटिलताओं की गणना करना कितना कठिन होगाजहां समर्थन है। $|\chi|$$\chi$

— निकोलस मंचुसो

@ निचलोलसैंकोसो मैं मानता हूं कि गिनती + अयोग्य विकल्प का हमेशा उपयोग किया जा सकता है। तो कुछ अर्थों में यह एक ऊपरी सीमा देता है। क्या यह सब कहा जा सकता है? साहित्य में इसकी जाँच कहाँ हुई है?

— मार्टिन बर्गर

@ निचलोलसैंकोसो मेरे द्वारा दिए गए उदाहरण समान वितरण हैं। लेकिन गैर-समान वितरण के बारे में एक ही सवाल पूछ सकता है। एक भी पर वितरण के बारे में आश्चर्य कर सकता है । के रूप में संबंध है असतत वितरण: प्रथम दृष्टया, गिनती काफी सामान्य रूप में होना करने के लिए प्रकट नहीं होता है, तो आप भी उत्पन्न करने में सक्षम होने की जरूरत है , मई के तत्व के बाद आप समान रूप से चुन लिया है । उस ने कहा, यह मामला हो सकता है कि गिनती समस्या का मूल है। $\mathbb{R}$$i$$i$

— मार्टिन बर्गर

@NikosM। धन्यवाद, लेकिन यह लिंक भी अंतर्निहित वितरण की जटिलता के बारे में कुछ नहीं कहता है। संदर्भ समान वितरण पर एक परिवर्तन बारे में बात करता है । लेकिन यह परिवर्तन कठिन / या आसान कम्प्यूटेशनल हो सकता है। $\phi$

— मार्टिन बर्गर

Answer 1

संभाव्यता वितरण की जटिलता विशेष रूप से लेविन के औसत मामले जटिल सिद्धांत के डिस्टेंप जैसे वितरण संबंधी समस्याओं के अध्ययन में सामने आती है ।

यदि वितरण संचयी घनत्व फ़ंक्शन का बहुपद समय में मूल्यांकन किया जा सकता है, तो एक वितरण पी-कंप्यूट है ।

एक वितरण पी- नमूना है यदि हम बहुपद समय में उनसे नमूना ले सकते हैं।

यदि कोई वितरण P- संगणनीय है तो वह P-sampable है। यदि एक-तरफ़ा कार्य मौजूद है, तो रिवर्स सही नहीं है।

आप अन्य जटिलता वर्गों के लिए परिभाषाओं का विस्तार कर सकते हैं।

Oded Goldreich के पास उस विषय पर एक अच्छा परिचयात्मक नोट है जिसे आप जांचना चाहते हैं।

Comments

धन्यवाद, मुझे लगता है कि एक सिद्धांत है $P$-सामने योग्य वितरण कुछ वैसा ही है जैसा मैं देख रहा हूं। लेकिन ध्यान देने का कोई कारण नहीं है , आप किसी भी जटिलता वर्ग लिए -वितरण योग्य वितरण को परिभाषित कर सकते हैं । संभाव्य प्रोग्रामिंग भाषाओं के हालिया उदय के साथ जो महत्वपूर्ण होता जा रहा है। $P$$C$$C$

— मार्टिन बर्गर

@ मर्टिन, हाँ। एनआईबीपी 2015 पर प्रोबेबिलिस्टिक प्रोग्रामिंग ( स्लाइड्स , वीडियो भी पोस्ट किया जा रहा है) पर एक ट्यूटोरियल था । मैंने ऐसे लोगों को सुना, जिन्होंने इसे बहुत दिलचस्प पाया। ML / Stats और PL के चौराहे पर काम करने वाले लोगों को देखकर अच्छा लगा। :)

— केव

हां, और मुख्य समस्या यह है कि ऐसी भाषाएं (= सामान्य, प्रोग्राम योग्य नमूने) धीमी हैं। हम उन्हें कैसे गति दे सकते हैं?

— मार्टिन बर्जर