परीक्षण करना कि क्या एक टेट्राहेड्रोन एक पॉलीहेड्रॉन के अंदर है

Question

मेरे पास एक टेट्राहेड्रॉन और एक पॉलीहेड्रॉन पी है । टी इस तरह से विवश है कि यह हमेशा अपने सभी कोने पी के साथ साझा करता है । मैं यह निर्धारित करना चाहते हैं टी झूठ के अंदर पी ।$t$ $p$$t$$p$$t$ $p$

मैं समस्या के समाधान में योगदान करने के मामले में समस्या के लिए एक विवरण जोड़ना चाहूंगा: एक Delaunay tetrahedron है और p के चेहरे त्रिकोणीय हैं और दृढ़ता से Delaunay हैं दोनों पी के कोने के संबंध में हैं । एक टेट्राहेड्रोन डेलॉनाय होता है यदि इसके शीर्षों के परिधि में इसके अंदर कोई और शीर्ष नहीं होता है। एक चेहरा है दृढ़ता से डेलॉनाय अगर वहाँ एक circumsphere इसकी सतह पर है कि चेहरे के कोने लेकिन कोई अन्य शीर्ष युक्त मौजूद है पर या अंदर यह।$t$$p$$p$

निम्नलिखित आंकड़े स्थान में समान समस्या दिखाते हैं: $2D$

मूल बहुभुज $p$ :

पी के कोने के विलंबन त्रिकोणासन$p$ :

त्रिकोण टी$t$ ( अंदर छायांकित त्रिकोण और बाकी बाहर हैं ) के अंदर / बाहर परीक्षण के परिणाम :$p$

वांछित परिणाम ( त्रिकोण के बाहर छंटाई ) :

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मेरे मूल समस्या तो त्रिकोण 3 डी अंतरिक्ष में है ऊपर में आंकड़े tetrahedrons से अनुवाद और बहुभुज पी एक करने के लिए अनुवाद मनमाना बहुतल पी । मुझे इस समस्या के कुछ योगों का पता चला है:$t$$p$$p$

निरूपण 1 टी के
केवल वे भाग जो बाहरी p के हो सकते हैं, इसके किनारे और त्रिकोणीय चेहरे हैं, लेकिन सामान्य रूप से एक ऐसा p मौजूद हो सकता है , जिसकी सतह पर सभी t के बाहर के किनारे हों , इसलिए वैकल्पिक रूप से, इस समस्या को भी इस रूप में तैयार किया जा सकता है। परीक्षण करें कि क्या tetrahedron t के लिए ऐसा चेहरा मौजूद है जो p के बाहर स्थित है ?$t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

निरूपण 2
मेरे पास इस समस्या के प्रति एक और संभावित परिप्रेक्ष्य है लेकिन किसी भी औपचारिक विचार का अभाव है:
ज्यामितीय रूप से, यदि बाहर है तो यह हमेशा पी की बाहरी सतह पर चिपका रहेगा । हम गणना कर सकते हैं तो अगर आकृति (अनौपचारिक रूप से, बाहरी सीमा) सी वी और सी वी पी ऐसी है कि वी = वी टी ∪ वी पी और वी टी , वी पी में कोने के सेट हैं टी , पी क्रमशः, तो $t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$ ifftp केअंदर स्थित है। $C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

मैं जानना चाहता हूँ:

• मैं फॉर्मूला 1 या फॉर्मूला 2 में से किसी को कैसे हल कर सकता हूं ?
• या, क्या इसे हल करने के लिए कोई पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण है?

अद्यतन:
मुझे अब पता चला है कि इस समस्या को पॉलीहेड्रॉन समस्या में प्वाइंट टू कम किया जा सकता है। के बाद से एक के बाहर चतुर्पाश्वीय होगा कम से कम एक चेहरा जो बाहर झूठ पी , कि चेहरा (अपने कोने को छोड़कर, सामान्य रूप में) पर किसी भी मनमाना बिंदु इसलिए हमेशा झूठ होगा बाहर पी । इसलिए, टी के प्रत्येक चेहरे के लिए , मुझे एक मनमाना बिंदु लेने और परीक्षण करने की आवश्यकता है यदि वह बिंदु पी के बाहर स्थित है ।$t$$p$ $p$$t$ $p$

से बहुभुज में बिंदु लेख मैं बारे में पता चला एल्गोरिथ्म कास्टिंग रे और संख्या एल्गोरिथ्म समापन । रे कास्टिंग उन मामलों के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर नहीं है जहां बिंदु पी की सतह पर स्थित है$p$ । लेकिन घुमावदार संख्या एल्गोरिदम की संख्यात्मक मजबूती को वहां संबोधित नहीं किया गया है।

उपरोक्त के आधार पर, मेरी मूल समस्या अब प्रतीत होती है (कृपया सुझाव दें कि क्या इसे एक अलग प्रश्न के रूप में पूछा जाना चाहिए):
क्या बहुभुज समस्या में बिंदु के लिए कोई संख्यात्मक रूप से मजबूत एल्गोरिथ्म है?

Comments

बस स्पष्ट करने के लिए: 1) क्या पॉलीहेड्रॉन गैर-उत्तल हो सकता है, और 2) यदि टी और पी एक चेहरा या एक किनारा (या एक का हिस्सा) साझा कर सकते हैं, तो क्या टी को पी के "अंदर" होने से अयोग्य ठहराया जाता है ? (जाहिर है, आपकी आवश्यकताओं के आधार पर, t और p को कोने साझा करने की अनुमति दी जानी चाहिए।)$p$$t$$p$$t$$p$$t$$p$

— इल्मरी करोनन

@ इल्मारिकारोन 1) हां 2)। नहीं, जहां तक ​​मैं कल्पना कर सकता हूं, टेट्राहेड्रोन के अंदर और बाहर का एकमात्र अंतर यह होगा कि इसका गैर-साझा चेहरा / किनारे बाहर झूठ होगा अगर पी के बाहर है और अंदर अगर टी पी के अंदर है (जैसा कि मैंने फॉर्म्यूलेशन के तहत भी उल्लेख किया है 1 )। BTW, आप "... या एक का हिस्सा ..." से क्या मतलब है? $t$$p$$t$$p$

— प्रणव

दो कॉपलनार चेहरे या कोलिनियर किनारों को आंशिक रूप से ओवरलैप कर सकते हैं। यह तब भी हो सकता है, जब स्वयं कोई संयोग चेहरे या किनारे न हों, जब तक कि इसमें दो से अधिक कोलीनर या तीन से अधिक कोलोनार वर्टिस न हों। $p$

— इल्मरी करोनें

गैर-उत्तलता में विषमता है कि सभी कोने पॉलीहेड्रॉन के अंदर हो सकते हैं और फिर भी टेट्राहेड्रॉन बाहर हो सकते हैं (चूंकि एक किनारे को पूरे के रूप में अंदर झूठ की आवश्यकता नहीं है)। संभव एल्गोरिथ्म, देखें कि क्या किनारों (पॉलीहेड्रोन और टेट्राहेड्रॉन के बीच) में चौराहे हो सकते हैं => संभावना है कि टेट्राहेड्रॉन बाहर झूठ है

— निकोस एम।

क्या आपने गिल्बर्ट-जॉनसन-कीर्थी दूरी एल्गोरिथ्म देखा है? आपको पहले पोलीगोन / पॉलीहेड्रोन को उत्तल आकृतियों में विघटित करने की आवश्यकता होगी (जैसा कि आपने उल्लेख किया है, एक सरल परिसर काम करेगा)। जीजेके को बहुत स्थिर और बहुत तेजी से जाना जाता है।

— छद्म नाम

Answer 1

मैं हाल ही में, एलेक जैकबसन et.al. द्वारा 'सामान्यीकृत घुमावदार नंबर का उपयोग कर मजबूत अंदर-बाहर विभाजन' एक समाचार पत्र में इस समस्या का एक समाधान पाया यहाँ । यह पता लगाने की समस्या को हल करता है यदि एक बिंदु अंदर (या बाहर) एक मनमाना है (स्व-चौराहों, गैर-कई गुना, खुली-सतहों आदि के साथ) सामान्यीकृत घुमावदार संख्या की धारणा का उपयोग करके बहुभुज जाल ।

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