हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या और चैटिन के डायोफैंटाइन समीकरण "कंप्यूटर"?

Question

चैत की मेटा मैथ में! क्वेस्ट फॉर ओमेगा , वह हल्बर्ट की 10 वीं समस्या के बारे में संक्षेप में बात करता है। फिर वे कहते हैं कि किसी भी डायोफैंटाइन समीकरण को सकारात्मक पूर्णांक गुणांक वाले दो समान बहुपद में बदला जा सकता है: p = $p=0$ ।$p=0 \iff p_1 = p_2$

फिर वह कहता है कि हम इन समीकरणों के बारे में "कंप्यूटर" की तरह सोच सकते हैं:

Diophantine समीकरण कंप्यूटर : कार्यक्रम: , आउटपुट: , समय:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

बाईं ओर , दाईं ओर । वह कहते हैं कि इस कंप्यूटर का प्रोग्राम है, जो n आउटपुट करता है । वह यह भी कहता है कि अज्ञात एक बहुआयामी समय चर है ।$L$$R$$k$$n$

मुझे क्या भ्रमित करता है कि वह तब कहता है कि हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या स्पष्ट रूप से हल करने योग्य नहीं है जब इस तरह से देखा जाए। वह मूल रूप से "ट्यूरिंग हैल्टिंग समस्या के कारण" कहते हैं। लेकिन मुझे कनेक्शन दिखाई नहीं दे रहा है (मैं सिर्फ सिद्धांत सीखना शुरू कर रहा हूं)। मैं उम्मीद कर रहा था कि कोई और अधिक स्पष्ट रूप से बता सकता है कि चैतीन की बात यहाँ क्या है।

मुझे पता है कि ट्यूरिंग की हॉल्टिंग समस्या मूल रूप से बताती है कि जब आप वास्तव में रुकने से पहले किसी कार्यक्रम को रोकेंगे (समय की एक सीमित मात्रा को देखते हुए) आप अनुमान नहीं लगा सकते हैं। चैटिन द्वारा निर्धारित संकेतन का उपयोग करते हुए, हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या के लिए आवेदन क्या है?

Answer 1

अच्छा प्रश्न। ऐसा लगता है कि आपको हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या पर कुछ अतिरिक्त पृष्ठभूमि की आवश्यकता हो सकती है। मुझे आशा है कि यह ओवरकिल नहीं है।

समस्या पूछती है:

$0$

यह 70 के दशक में MRDP के परिणाम के रूप में हल किया गया था (जिसे माटियासेविच का प्रमेय भी कहा जाता है, अगर आपको यह खोजने में अच्छा लगता है) जो बताता है:

$D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

डायोफैंटाइन सेट ठीक हैं जो ट्यूरिंग मशीनों द्वारा पहचाने जाने योग्य हैं।

$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

वैसे भी, MRDP प्रमेय हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या को कैसे हल करता है? कुंआ...

$p(y)$$y$$p(y) = 0$

$M$$x$$p(y | x)$$0$

$p(y) = 0$