प्रश्न की मेरी व्याख्या यह है कि संबंधित दुनिया में संभावनाओं के बारे में पूछते हैं । मान लें कि कुछ relativized दुनिया में है कि, । क्या हम एनपी-पूर्ण समस्याओं की समय जटिलता के बारे में कुछ भी गैर-तुच्छ नहीं कर सकते हैं? बेकर-गिल-Solovay तर्क से पता चलता है कि हम "बल" कुछ एनपी समस्या घातीय समय की आवश्यकता के लिए कर सकते हैं, तो ऊपरी प्रश्न में दिए गए बाध्य अनिवार्य रूप से इष्टतम है।P≠NP
निचली सीमा के बारे में, हम एक सबूत के नीचे स्केच करते हैं कि कुछ ओरेकल, सापेक्ष । यह मानते हुए कि स्केच किया हुआ प्रमाण सही है, हम इसे 2 O ( लॉग 2 n ) से छोटे फ़ंक्शंस पर भी लागू कर सकते हैं , और यह दर्शाता है कि प्रश्न में दी गई निचली सीमा भी अनिवार्य रूप से तंग है।NP=TIME(2O(log2n))2O(log2n)
प्रमाण स्केच। हम दो oracles : पहला एक T I M E ( 2 O ( लॉग 2 n ) ) की तरह व्यवहार करता है, और दूसरी समस्या बेकर-गिल-सोलोवे तिरछेपन को लागू करती है। दोनों oracles को एक ही ओरेकल में पैक करना सीधा है।O1,O2TIME(2O(log2n))
ओरेकल सभी जोड़ों के होते हैं ⟨ एम , एक्स ⟩ ऐसी है कि एम दैवज्ञ ट्यूरिंग मशीन है कि स्वीकार करता है एक्स समय चलाने में 2 2 √O1⟨M,x⟩Mxजब देववाणी तक पहुंच दीहे1,हे2अधिक से अधिक लंबाई की आदानों के लिए प्रतिबंधित2√22log|x|√O1,O2। (यह एक परिपत्र परिभाषा नहीं है।)2log|x|√
ओरेकल एक ही तरीका है कि ओरेकल बेकर-गिल-Solovay में परिभाषित किया गया है में परिभाषित किया गया है: प्रत्येक क्लॉक ओरेकल मशीन ट्यूरिंग के लिए एम समय में चल रहे टी = 2 ओ ( लॉग ऑन 2 n ) , हम कुछ इनपुट लंबाई ज्ञात n है जो "अछूता", टी चरणों के लिए 1 एन पर एम चलाएं , और आकार एन के ओ 2 के प्रत्येक प्रश्न के लिए , हम चिह्नित करते हैं कि यह इनपुट ओ 2 में नहीं है (अन्य प्रश्नों के लिए हम यह भी चिह्नित करते हैं कि इनपुट तब तक नहीं है, जब तक हम नहीं। पहले ही तय कर लिया था कि यह ओ में हैO2MT=2o(log2n)nM1nTO2nO2 )। O 1 से क्वेरी कोउसी तरह से हैंडल किया जाता है (जैसाकि छोटे आकार के O 1 , O 2 केलिए अंतर्निहित प्रश्नों कोपुनरावर्ती रूप से संभाला जाता है); नोटिस में इस तरह के प्रश्नों लंबाई के तार का उल्लेख कभी नहीं कि एन में हे 2 , के बाद से 2 √O2O1O1,O2nO2। यदि मशीन स्वीकार करती है, तो हमओ2मेंलंबाईn केअन्य सभी तारोंको लापता के रूपमेंचिह्नित करते हैं, अन्यथा हम लंबाईn केकुछ तार को उठाते हैंऔर इसेO2में डालते हैं।2logT√<nnO2nO2
वर्ग समय में चल रहे सभी कार्यक्रमों के होते हैं 2 2 हे ( √PO1,O2, करने के लिए क्वेरी बनाने कीहे1,हे2आकार के2हे(√22O(logn√)O1,O2। कक्षाएनपीओ1,हे2फार्म की हैx↦∃| y| <Nसीφ(एक्स,वाई), जहांφ∈पीओ1,हे2, और इसलिए यह सभी कार्यक्रमों के वर्ग में निहित समय में चल रहा है2एनसीऔर आकार के ओरेकल क्वेरी बनाने की
2हे( √2O(logn√)NPO1,O2x↦∃|y|<nCφ(x,y)φ∈PO1,O22nC। उत्तरार्द्धटीआईएमई(2लॉग2एनसी)ओ1,ओ2में निहित है, क्योंकि हमइसे तय करने केलिएओ1काउपयोग कर सकते हैं। यह दिखाता है किएनपीओ1,हे2⊆टीमैंएमई(2हे(लॉग ऑन2n))हे1,हे2।2O(logn√)TIME(2log2nC)O1,O2O1NPO1,O2⊆TIME(2O(log2n))O1,O2
अन्य दिशा के लिए, की भाषा है जिसमें प्रत्येक n के लिए 1 n शामिल है जैसे O 2 में लंबाई n के कुछ तार शामिल हैं । के निर्माण से हे 2 , एल ∉ टी मैं एम ई ( 2 ओ ( लॉग ऑन 2 n ) ) हे 1 , हे 2 , जबकि स्पष्ट रूप से एल ∈ एन पी ओ 1 , हे 2 । इससे पता चलता है कि एन पीL1nnO2nO2L∉TIME(2o(log2n))O1,O2L∈NPO1,O2 ।NPO1,O2=TIME(2O(log2n))O1,O2