क्या टापू को एनपी-पूर्ण के साथ द्वीपों को जोड़ना है?

Question

मेरे दिमाग में एक समस्या है, मुझे लगता है कि यह एक एनपीसी समस्या है लेकिन मुझे नहीं पता कि इसे कैसे साबित किया जाए।

यहाँ समस्या है:

कर रहे हैं कश्मीर एक बहुत बड़ी झील में द्वीपों, और देखते हैं n पंखे के आकार pontoons। वे पेंन्टोन्स एक ही आकार में हैं, लेकिन उनकी अलग-अलग प्रारंभिक दिशाएँ हैं और झील में विभिन्न मूल स्थितियों में हैं। Pontoons अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है, और रोटेशन से जुड़ी कोई लागत नहीं है।

अब हमें उन पोंटोन्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है ताकि झील के सभी द्वीपों को जोड़ा जा सके। हम गारंटी दे सकते हैं कि सभी द्वीपों को जोड़ने के लिए पेंगुइन की संख्या पर्याप्त है।

[नोट]: हम पेंगुइन का पुन: उपयोग नहीं कर सकते हैं !!

कार्य सभी द्वीपों को आपस में जोड़ने के लिए चल रहे पिंटोओं की न्यूनतम कुल दूरी वाले समाधान का पता लगाना है। एक पंटून को स्थानांतरित करने की दूरी को द्रव्यमान की मूल स्थिति के केंद्र और इसकी तैनात स्थिति के बीच की दूरी के रूप में गणना की जा सकती है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, मैंने ऐसा आंकड़ा निकाला है। मान लीजिए कि हमारे पास 3 द्वीप हैं A, B और C. वे झील में कहीं स्थित हैं। और मेरे कई पंखे के आकार के पैंटन हैं। अब समाधान यह है कि ए, बी और सी को जोड़ने के लिए एक न्यूनतम चलती दूरी का पता लगाया जाए, जो आंकड़े के निचले हिस्से में दिखाया गया है। आशा है कि यह समस्या को समझने में मदद करेगा। :)

ऐसा लगता है कि समस्या एक एनपीसी है, लेकिन मैं इसे साबित करना नहीं जानता। क्या कोई इस पर मेरी मदद कर सकता है?

Comments

@vsaxena नहीं, मुझे नहीं लगता कि अंतिम समाधान एक सीधी रेखा है, कभी-कभी यदि पहले से ही एक आर्च बनता है, लेकिन हमें उनमें से किसी को स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है। अधिकांश मामलों में, एक सीधी रेखा अच्छी होगी, लेकिन जैसे ही पेंन्टोन्स सघन हो रहे हैं, समाधान एक सीधी रेखा नहीं हो सकती है। आंकड़ा सिर्फ एक उदाहरण है। :)

स्टीनर ट्री के बहुत करीब लगता है। एक मीट्रिक स्थान में, दोनों पर काम को हल करने के लिए कई तकनीकें। en.wikipedia.org/wiki/…

— निकोलस मंचुसो

@ निचलोलसैंकोसो पुलों के लिए नोड नोड हैं इसलिए यह एक क्लासिक स्टाइनर ट्री नहीं है जहां पुल कई नोड्स को जोड़ता है। वीएलएसआई लेआउट में कई समस्याएं हैं जिनकी समान विशेषताएं हैं।

— वी.एस.ओवरफ्लो

@vsaxena: समस्या अंडरस्क्राइब है। मान लीजिए कि मेरे पास एक समबाहु त्रिभुज में तीन द्वीप A, B, C हैं, और शुरू में द्वीपों के साथ एक जुड़े हुए आकार के रूप में पेंगुइन पहले से ही जुड़ा हुआ है। क्या कुछ भी वैध समाधान नहीं है, या पेंगुइन को और आगे ले जाना चाहिए? यदि यह समाधान मान्य नहीं है, तो क्या वास्तव में पेंगुइन के वैध विन्यास का गठन होता है?

— जेफई

@vsaxena: और जब हम इस पर हैं, तो द्वीप सिर्फ अंक, या मंडलियां, या इनपुट में निर्दिष्ट कुछ और जटिल आकार हैं? क्या पेंगुइन लाइन सेगमेंट, या दीर्घवृत्त, या कुछ अन्य आकार हैं? क्या सभी द्वीप समान आकार और आकार के हैं या वे अलग-अलग हो सकते हैं? क्या सभी पेंगुइन समान आकार और आकार के हैं, या हे अलग हो सकते हैं?

— जेफ ईई

Answer 1

पहला: यह ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या नहीं है। TSP को न्यूनतम वजन हैमिल्टनियन चक्र की पहचान की आवश्यकता होती है; इस चक्र को एक चक्र की आवश्यकता नहीं है, या यहां तक ​​कि एक न्यूनतम वजन पथ भी नहीं है। इसके लिए किनारों के एक कनेक्टिंग सेट की न्यूनतम लागत निर्माण की आवश्यकता होती है , जहां निर्माण की लागत, पिंटों को चारों ओर ले जाने पर आधारित होती है।

दूसरा: यह मिनिमल वेट स्पैनिंग ट्री प्रॉब्लम नहीं है। ऊपर देखें- हमें न्यूनतम लागत निर्माण की आवश्यकता है न कि न्यूनतम वजन पहचान की।

तीसरा: ऐसा लगता है कि निर्मित पथ एक फैले हुए पेड़ होगा, लेकिन जरूरी नहीं कि एक न्यूनतम वजन हो। विकल्प यह है कि यह एक फैला हुआ पेड़ होगा और कुछ अतिरिक्त किनारों के परिणामस्वरूप एक चक्र होगा; लेकिन अगर हम बिना किनारों के कॉन्फ़िगरेशन में शुरू करते हैं, तो प्रत्येक किनारे की कुछ सकारात्मक लागत होती है और हम हमेशा अतिरिक्त किनारों का निर्माण न करके कम वजन वाले पेड़ पा सकते हैं।

चौथा: आप कहते हैं कि पेंगुइन स्वतंत्र रूप से घूमते हैं; मेरा मानना ​​है कि इसका मतलब यह है कि कोई भी लागत पोन्टो को घुमाने से जुड़ी नहीं है। हालाँकि, आप यह नहीं निर्दिष्ट करते हैं कि पोंटोन्स किसके बारे में घूमते हैं: उनके अंक? उनके जन के केंद्र? कोई आंतरिक बिंदु? (यदि कोई बाहरी बिंदु है, तो हमारे पास शून्य वजन निर्माण होगा, हाँ?)

यह थोड़ा सूक्ष्म है, क्योंकि अगर हम एक आंतरिक बिंदु के बारे में 90 डिग्री घूम रहे हैं, तो कहते हैं, द्रव्यमान का केंद्र, लागत क्या है? कुछ नहीं, क्योंकि यह एक रोटेशन है? कुछ परिमित राशि क्योंकि बिंदु स्थानांतरित हो गया? अब हमें पिंटो के आकार को भी जानना होगा।

पांचवां: एक दोनों पुंटोन्स और द्वीपों को मानता है जो दोनों यूक्लिडियन प्लेन में स्थित हैं?

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। घुमाव द्रव्यमान के केंद्र के आसपास है और रोटेशन से जुड़ी कोई लागत नहीं है, केवल आंदोलन में लागत शामिल है। हाँ, दोनों pontoons और द्वीपों यूक्लिडियन विमान में एम्बेडेड रहे हैं। मैं यह स्पष्ट करने के लिए पोस्ट को संशोधित करूंगा।

मैं असहमत हूं कि यह अनिवार्य रूप से टीएसपी नहीं है। यह पूरी पोस्ट शब्दावली में धुरी के चारों ओर लिपटी हुई है, लेकिन इस तथ्य का तथ्य यह है कि यदि कोई प्रत्येक पॉन्टून और प्रत्येक संभावित अंत पोंटून स्थिति के बीच एक रेखा खींचता है, और प्रत्येक पंक्ति की दूरी की गणना करता है कि यह वजन है, तो अपवाद के साथ अंत बिंदु प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ रहा है, जो ग्राफ़ बनता है वह टीएसपी की तरह लगभग बिल्कुल (एक टी के लिए) दिखता है। एक पोंटून या अंत स्थिति ग्राफ में एक नोड है, और वजन दूरियों द्वारा बनाए जाते हैं। हैमिल्टनियन चक्र का मतलब केवल यह समाप्त होता है जहां यह शुरू हुआ था।

यह कोई जवाब नहीं है, लेकिन टिप्पणियों की एक श्रृंखला है।

— राफेल

Answer 2

नए आरेखों को देखने के बाद, मैं देखता हूं कि आपको द्वीपों के बीच पार करने के लिए कई pontoons की आवश्यकता हो सकती है। यह देखते हुए कि आप स्टाइनर ट्री समस्या के समाधान के लिए बहुत करीब आ सकते हैं और द्वीपों में नोड्स को मोड़कर और छोटे-छोटे आर्क्स के साथ पेंगुइन के एक पर्याप्त विविध संग्रह का निर्माण कर सकते हैं। विकिपीडिया का कहना है कि वास्तव में स्टाइनर पेड़ समस्या के लिए एक पीटीएएस है, इसलिए मैं तुरंत यह नहीं कह सकता कि यह इसे एनपी-पूरा करता है। हालांकि स्टीनर ट्री के विवरण को देखने से आपको या तो एक अच्छा समाधान मिल सकता है या यह बता सकता है कि समस्या एनपी-पूर्ण है।

Comments

आप जो वर्णन कर रहे हैं वह एक निकटतम इष्टतम समाधान के लिए प्राप्त करने के लिए एक अनुमानित एल्गोरिथ्म है। हालाँकि आप यह भी कैसे सत्यापित करते हैं कि समाधान इष्टतम है?

मुझे लगता है कि असली समस्या यह है कि द्वीपों के बीच पार करने के लिए आपको कई pontoons की आवश्यकता होती है, जिससे यह एक स्टाइनर पेड़ जैसा दिखता है। एक ज्ञात इष्टतम समाधान के लिए एक निचली सीमा (जैसे एक बाधा की उपेक्षा करके उत्पन्न) से जाने के लिए शाखा और बाउंड पर एक नज़र डालें ।

— mcdowella

@mcdowella यह एक स्टेनर पेड़ नहीं है क्योंकि प्रत्येक पंटून केवल एक पुल में दिखाई दे सकता है; यह पॉइंट टू पॉइंट सिस्टम है। इसके अलावा, चूंकि लागत फ़ंक्शन पेंन्टोन्स का मूवमेंट है, इसलिए आपके पास एक ऐसा मामला हो सकता है जहां ब्रिज विस्तृत आर्क में बनता है, जिसमें अभी भी स्ट्रेट लाइन सॉल्यूशन की तुलना में कम लागत है ..

— VSOverFlow

यह संभवतः दूसरे दृष्टिकोण से स्टीवन नहीं हो सकता है। हम सिर्फ हमारी जरूरतों के अनुरूप काम नहीं कर सकते।

— ट्रम्पेटलिक्स

यदि Y जंक्शनों को अनुमति दी जाती है, तो यह कम से कम स्टीनर ट्री समस्या के रूप में कठिन है, क्योंकि किसी भी स्टाइनर पेड़ की समस्या को इनमें से एक में बदल दिया जा सकता है- बस बहुत सारे pontoons बनाएं और उन्हें द्वीपों से इतनी दूर डाल दें कि ऐसा नहीं होता है वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कहाँ उपयोग करते हैं। फिर यदि आप इसे हल कर सकते हैं, तो आप स्टाइनर ट्री समस्या को हल कर सकते हैं: इस तर्क के लिए यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि pontoons के कुछ विन्यास हैं जो Steiner पेड़ की समस्याओं का परिणाम नहीं है। यदि Y जंक्शनों की अनुमति नहीं है, तो हमें यह जानने की आवश्यकता है कि नियम क्या हैं। क्या जंक्शन पर रास्ते पार हो जाते हैं?

— mcdowella

Answer 3

ड्राइंग के बाद, यह अभी भी एक एनपीसी समस्या है। यहां तक ​​कि अगर हम समस्या को काटते हैं तो प्रत्येक पॉन्टून को n पदों में से 1 मान सकते हैं (यानी ज्ञात कनेक्शन लाइनें। सबसे इष्टतम उत्तर पाने के लिए, हमें प्रत्येक स्थिति में प्रत्येक पुनरावर्ती स्थिति के लिए प्रत्येक दूरी पर प्रत्येक पॉन्टून को आजमाना होगा। समय, और सभी अन्य लोगों के खिलाफ तुलना करना। यदि प्रत्येक पोंटून को प्रत्येक स्थिति में परीक्षण करना है, तो परीक्षण करने के लिए एन! संयोजन की आवश्यकता है।

Ive ने इस समस्या के पीछे के ग्राफ विचारों को दिखाने के लिए कुछ परिवर्धन के साथ मूल पोस्टर की छवियों को संपादित करने के लिए चुना।

नीचे दी गई छवि सभी (शून्य से इसे सरल बनाने के लिए) को अलग-अलग रंगों में पोंटोन्स दिखाती है, जिसमें सभी संभावित पोंटून स्थानों को लाल रंग में दिखाया गया है। मैंने केवल 3 pontoons और सभी अंत स्थानों के बीच की रेखाएं खींची हैं, लेकिन कोई यह देख सकता है कि यह कैसे प्राप्त कर सकता है।

यह कहें कि इसे ठीक करने के लिए, हम फ़िरोज़ा पोंटून के लिए चुनते हैं ताकि इसे पहले चरण के रूप में निकटतम स्थान पर रखा जा सके (हालाँकि टीएसपी से हम जानते हैं कि यह अंत में इष्टतम नहीं हो सकता है)।

नीचे हम ठीक से देखते हैं, पोंटून और दूरी (उर्फ भारित यात्रा दूरी) यह यात्रा करनी होगी।

यहां से एक वर्चुअल नोड के साथ दो अंत स्थानों के साथ बस रखा स्थान बनाया जा सकता है। सेट नोड से दूरी, और आभासी नोड के भीतर दो आसन्न नोड्स में 0 की आभासी यात्रा दूरी है।

नीचे हम सभी संभावित यात्रा दूरी भार के साथ बनाए गए आभासी नोड को देखते हैं जिन्हें वहां रखा जा सकता है।

यह देखते हुए कि यह कैसे जारी रहेगा, और सबसे इष्टतम समाधान (जैसा कि टीएसपी के साथ कई बार देखा गया है) हमेशा हर पसंद के लिए सबसे कम दूरी चुनने से नहीं होगा, हमें सभी नोड्स / वर्चुअल नोड्स के लिए अनिवार्य रूप से सभी रास्तों का परीक्षण करना होगा।

अंत में (TSP) समस्या का पहला नोड संभावित अंत पोंटून बिंदुओं में से कोई एक हो सकता है, और इससे तैयार की गई रेखाएं उस समापन बिंदु से सभी अन्य pontoons के लिए दूरी हैं। अन्य सभी नोड्स बाद में वर्चुअल नोड बन जाते हैं, जैसा कि मैंने उनकी पंक्तियों के साथ आने वाली रेखाओं / भार को शेष सभी पेंन्टोन्स के रूप में दर्शाया है, और इसी तरह आगे भी। कैसे यह ग्राफ़ समस्या बिल्कुल नहीं है, हैमिल्टन चक्र से कम जेयूएमपी आवश्यकता के बिना यात्रा विक्रेता समस्या मेरे से परे है। सटीक उत्तर के लिए ग्राफ के माध्यम से सभी रास्तों का परीक्षण करना चाहिए।

Comments

इस समस्या का एक उचित मॉडल है या क्या यह वास्तव में एक टीएसपी मॉडल है, यह एनपी कटौती कैसे काम करती है, यह छोड़कर एक तरफ। आप यह नहीं दिखाते हैं कि एनपीसी समस्या के उदाहरण के रूप में आपकी लक्ष्य समस्या को तैयार किया जा सकता है। आपको यह दिखाने की जरूरत है कि एक NPC समस्या का उदाहरण आपकी लक्षित समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है।

$O(1.3^n)$

हरे बाबा। यदि आपने मेरी टिप्पणी और मेरे द्वारा दिए गए लिंक को पढ़ने की जहमत उठाई है, तो आपको पता चला था कि संदर्भित एल्गोरिदम सटीक है (वे यह साबित करते हैं) और इसलिए आपकी समझ का विरोधाभासी है। ध्यान दें कि आपकी राय बताती है कि P! = NP - यह अभी भी एक खुला प्रश्न है। तो नहीं, आप यह नहीं समझे हैं, क्षमा करें। (यहां तक कि अगर यह सच थे एन पी-सम्पूर्ण समस्याओं कोई भोलेपन की तुलना में बेहतर हल है कि किया जा सकता है, तर्क आप उपयोग गलत होगा।)

— राफेल

$O({1.3}^n)$$n$

@ जेफ़े: दूसरे शब्दों में, यह उत्तर केवल यह साबित करता है कि समस्या संभवतः- istically NP-complete है।

— त्सुयोशी इतो