लेखन-संरक्षित इनपुट वाली एकल-टेप ट्यूरिंग मशीनें केवल नियमित भाषाओं को पहचानती हैं

Question

यहाँ समस्या है:

सिद्ध करें कि एकल-टेप ट्यूरिंग मशीनें जो टेप के भाग पर नहीं लिख सकती हैं उनमें इनपुट स्ट्रिंग शामिल हैं जो केवल नियमित भाषाओं को पहचानती हैं।

मेरा विचार यह साबित करना है कि यह विशेष TM एक DFA के बराबर है।

DFA का अनुकरण करने के लिए इस TM का उपयोग करना बहुत सीधा है।

हालांकि, जब मैं टीएम का अनुकरण करने के लिए इस डीएफए का उपयोग करना चाहता हूं, तो मुझे समस्या का सामना करना पड़ता है। टीएम संक्रमण के लिए , DFA सही करने के लिए टेप पढ़ने और एक ही राज्य संक्रमण करके निश्चित रूप से अनुकरण कर सकते हैं।$\delta(q,a)=(q',a,R)$

के लिए , मैं समझ नहीं इस DFA या NFA उपयोग करने के लिए कैसे छोड़ दिया चाल अनुकरण क्योंकि DFA केवल छोड़ दिया करने के लिए पढ़ता है और कोई ढेर या दुकान के लिए कुछ नहीं है।$\delta(q,a)=(q',a,L)$

क्या मुझे दूसरे तरीके पर विचार करना चाहिए? क्या कोई मुझे कुछ संकेत दे सकता है? धन्यवाद।

Comments

पहले आपको अपने वाक्यों के तर्क / अर्थ के बारे में सावधान रहना चाहिए। आपके शीर्षक का अर्थ है कि आपको केवल यह साबित करना है कि xxx ट्यूरिंग मशीन द्वारा मान्यता प्राप्त कोई भी भाषा नियमित है। आपको यह साबित करने की आवश्यकता नहीं है: कि किसी भी नियमित भाषा को ऐसी मशीन द्वारा मान्यता प्राप्त है (भले ही यह स्पष्ट हो)। तो आपका चौथा पैराग्राफ "उपयोग कर रहा है ..." सवाल के लिए अप्रासंगिक है जैसा कि कहा गया है। फिर, पांचवें में, आप "इस डीएफए" का उपयोग करते हैं, जाहिरा तौर पर पिछले पैराग्राफ के डीएफए का जिक्र करते हैं, जिसका अब समस्या से कोई लेना-देना नहीं है। आपके पास एक टीएम है, और एक डीएफए को अभी तक अज्ञात खोजना चाहिए।

— बबौ

एक संकेत: आप "क्रॉसिंग सीक्वेंस" की धारणा को देखना चाहते हैं। इसके अलावा, आप यह साबित करने की कोशिश कर सकते हैं कि यह एनएफए (बड़े राज्य के साथ) के बराबर है। एक वॉर्मअप के रूप में, कल्पना करें कि TM का सिर दाएं 10 कदम चला जाता है, फिर 3 कदम छोड़ दिया जाता है, फिर हमेशा वहीं से दाएं - क्या आप NFA का निर्माण कर सकते हैं इनपुट के सेट का अनुकरण करने के लिए जिसे इस तरह के सिर के साथ ऐसे TM द्वारा पहचाना जा सकता है आंदोलन?

— DW

@babou इनपुट क्षेत्र से बाहर लिखने की अनुमति मेरे विचार में सभी RE नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि मुझे संक्रमण फ़ंक्शन के निर्माण का कोई तरीका नहीं मिला है जो मूल इनपुट क्षेत्र के बाहर रिक्त क्षेत्र में इनपुट की प्रतिलिपि बनाने की अनुमति देता है। यदि मूल इनपुट क्षेत्र में EVER लेखन के बिना ऐसा करना संभव है, तो स्पष्ट रूप से इनपुट के दाईं ओर एक काम कर सकता है, जैसे एक नियमित TM हमें सभी आरई भाषा दे रहा है।

— सूचित

@ मैं समझ नहीं पा रहा हूं कि कैसे "क्रॉसिंग सीक्वेंस" खुद ही इस समस्या को हल कर देंगे। वास्तव में, मैंने उन्हें सीधे उपयोग नहीं किया, लेकिन केवल 2NFA और NFA की समानता का उपयोग करके, लेकिन यह समानता केवल प्रमाण का हिस्सा है। BTW, चूंकि आपको समस्या का पता लगता है, तो क्या आप जानते हैं कि यह कहां से आता है, क्योंकि मुझे इंटरनेट पर संदर्भ नहीं मिल सकता है। परिणाम ने वास्तव में मुझे आश्चर्यचकित किया, और मुझे आश्चर्य है कि यह किसी को भी क्यों नहीं लगता है।

— बबौ १

@DW क्या आपको लगता है कि यह मानक FSA और 2-वे FSA के समतुल्य होने का पूर्वाभ्यास था, या क्या आप इस समस्या की उत्पत्ति जानते हैं: TM जो उनके इनपुट पर नहीं लिखते हैं । मैं सोच रहा हूं कि 9 महीनों में किसी ने इसका जवाब क्यों नहीं दिया, और क्यों यह स्पष्ट रूप से नौसिखिए छात्र द्वारा पूछा गया था।

— बबौ

Answer 1

परिचय

मुझे लगा कि प्रश्न के मूल कथन में कोई त्रुटि हो सकती है, और ओपी अब पूछने के लिए आसपास नहीं था। इसलिए मैंने यह मान लिया कि टेप केवल-हर जगह पढ़ा गया था, और उस धारणा के आधार पर पहला प्रमाण लिखा, इस तथ्य से प्रेरित होकर कि टीएम के पास टेप के इनपुट भाग के बाहर पूरी ट्यूरिंग पावर है यदि वह इसे लिख सकता है, जो गलत को प्रेरित करता है विश्वास है कि यह किसी भी आरई भाषा को पहचान सकता है।

हालांकि, यह मामला नहीं है: टेप के इनपुट भाग पर लिखने पर प्रतिबंध का अर्थ है कि इनपुट से केवल परिमित जानकारी निकाली जा सकती है, टेप के उस हिस्से के प्रवेश और निकास पर राज्यों की संख्या द्वारा सीमित (के साथ संयुक्त) प्रवेश और निकास का पक्ष)। निर्देश दिए गए को टिप्पणी में टिप्पणी करने के लिए श्रेय दिया जाना चाहिए कि किसी भी आरई भाषा को पहचानने में कोई समस्या है, क्योंकि मूल इनपुट क्षेत्र में ईएवी लेखन के बिना इनपुट की प्रतिलिपि बनाना संभव नहीं है,

इसलिए मैंने एक दूसरा प्रमाण लिखा है जो मानता है कि केवल टेप का इनपुट सेक्शन ही पढ़ा जाता है, बाकी को पढ़ने-लिखने की अनुमति दी जाती है।

मैं दोनों प्रमाण यहां रख रहा हूं, क्योंकि पहले ने मुझे समाधान खोजने में मदद की, भले ही दूसरे प्रमाण को समझना जरूरी न हो, अधिक जटिल है, और दूसरे प्रमाण से उपसम्बद्ध है। इसे छोड़ दिया जा सकता है। हालांकि, कमजोर प्रमाण में रचनात्मक होने का लाभ है (ट्यूरिंग मशीन के बराबर एफएसए प्राप्त करने के लिए), जबकि अधिक सामान्य परिणाम रचनात्मक नहीं है।

हालाँकि मैं पहले अंतिम और अधिक शक्तिशाली परिणाम दे रहा हूं। मैं थोड़ा हैरान हूं कि मुझे यह परिणाम नहीं मिला, यहां तक ​​कि सबूत के बिना, नेट पर कहीं और, या कुछ सक्षम उपयोगकर्ताओं से पूछकर, और प्रकाशित काम के संदर्भ में कोई भी स्वागत नहीं होगा।

सामग्री:

• ट्यूरिंग मशीनें जो इनपुट को अधिलेखित नहीं करती हैं वे केवल नियमित भाषा स्वीकार करती हैं। यह प्रमाण रचनात्मक नहीं है।

• केवल-पढ़ने वाली टेप वाली ट्यूरिंग मशीनें केवल नियमित भाषाओं को स्वीकार करती हैं। पिछले प्रमाण के अनुसार इसे छोड़ दिया जा सकता है, लेकिन यह एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करता है, जिसमें रचनात्मक होने का लाभ है।

ट्यूरिंग मशीनें जो इनपुट को अधिलेखित नहीं करती हैं वे केवल नियमित भाषा स्वीकार करती हैं

$\Sigma^*$

हम यह मानते हैं कि जब यह स्वीकार की स्थिति में प्रवेश करता है तो TM स्वीकार करता है।

सबूत।

हम एक इनपुट प्रतिबंधित संगणना (IRC) को TM की गणना (केवल-पढ़ने के लिए ) के रूप में परिभाषित करते हैं, जैसे कि TM सिर टेप के इनपुट भाग पर रहता है, संभवतः अंतिम संक्रमण के लिए जो इसे एक सेल में तुरंत स्थानांतरित कर सकता है। इनपुट क्षेत्र के बाएँ या दाएँ।

एक बायाँ इनपुट प्रतिबंधित संगणना एक IRC है जो इनपुट के सबसे बाएं प्रतीक पर शुरू होता है। एक सही इनपुट प्रतिबंधित कंप्यूटर्स एक IRC है जो इनपुट के सबसे दाहिने प्रतीक पर शुरू होता है।

$p$

• $K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• $K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• $A_{Lp}$$p$

$p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

6 प्रमाण इस तथ्य पर भरोसा करते हैं कि दो-तरफा गैर-नियतात्मक परिमित राज्य ऑटोमेटा (2NFA) नियमित सेटों को पहचानते हैं (देखें हॉपक्रॉफ्ट + उलेमन 1979, पीपी 36-41, और 2.18 पृष्ठ 51 को निष्पादित)। एक 2NFA एक टेप पर केवल-पढ़ने के लिए टीएम की तरह काम करता है, जो इसके इनपुट तक सीमित है, शुरू में सबसे बाईं ओर से शुरू होता है, और एक स्वीकृत स्थिति में दाईं ओर से आगे बढ़कर स्वीकार करता है।

$K_{??\to ??}$

$p$$q$

$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

बहुत पूरा होने के लिए, हमने खाली इनपुट स्ट्रिंग के मामले को छोड़ दिया। इस मामले में, हमारे पास बस एक सामान्य टीएम है, जो कहीं भी पढ़ या लिख ​​सकता है। यदि यह स्वीकार करने की स्थिति में पहुंचता है, तो खाली स्ट्रिंग भाषा में है, अन्यथा यह नहीं है। लेकिन इसका इस तथ्य पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है कि मान्यता प्राप्त भाषा नियमित है।

बेशक, यह निर्णायक नहीं है कि क्या एक समतुल्य वर्ग भाषा में है या नहीं है (वही खाली स्ट्रिंग के लिए है)। यह एक गैर रचनात्मक प्रमाण है।

QED

केवल-पढ़ने वाली टेप वाली ट्यूरिंग मशीनें केवल नियमित भाषाओं को स्वीकार करती हैं

यह पिछले परिणाम के अनुसार है। इसे रखा जाता है क्योंकि यह एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करता है, शायद कम सुरुचिपूर्ण है, और मुझे इस बात को समझने के द्वारा पिछले प्रमाण को खोजने में मदद मिली। लेकिन यह अच्छी तरह से पाठकों द्वारा छोड़ा जा सकता है। हालांकि, इस प्रमाण का एक फायदा यह है कि यह एक रचनात्मक प्रमाण है जो भाषा को स्वीकार करते हुए एफएसए का उत्पादन करता है। इसी तरह के सबूत का एक स्केच हेंड्रिक जान ने अपने पिछले एक ऐसे ही सवाल के जवाब में दिया है , जो मानता है कि पूरा टेप ही पढ़ा गया था।

$\Box$

सबूत का पहला चरण यह दिखाना है कि सिर को कभी टेप के इनपुट क्षेत्र को छोड़ने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार हम विश्लेषण करते हैं कि जब सिर सबसे दाहिने इनपुट प्रतीक से हटता है तो क्या होता है। विश्लेषण जब सबसे बाईं ओर एक समान है।

$q$

1. टीएम हमेशा के लिए कंप्यूटिंग रखता है, बिना सिर कभी टेप के इनपुट भाग पर वापस आ रहा है;

2. टीएम एक (ए) को स्वीकार करता है या (बी) एक गैर-स्वीकार स्थिति में रुक जाता है;

3. $r$

$q$

$\Box$$1$$0$

$0$

हम एक निर्देशित ग्राफ द्वारा परिमित राज्य नियंत्रण के प्रासंगिक हिस्से का प्रतिनिधित्व करते हैं जहां कोने टीएम के राज्य हैं, और जहां किनारों को रिक्त स्थान है, जिसका वजन +1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि सिर को स्थानांतरित करना है या नहीं दाएँ या बाएँ।

$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

$q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

$q_A$

अब हमें कुछ कॉस्मेटिक बदलाव करने हैं, इसलिए इस टीएम को बिल्कुल दो-तरफा एनडीए की तरह व्यवहार करना है (स्वीकृति केवल एक विलक्षण अवस्था में दायीं ओर इनपुट बाहर निकलने से है)। फिर हम इस बात पर भरोसा कर सकते हैं कि भाषा के नियमित होने का प्रमाण प्राप्त करने के लिए 2-एनडीए और एफएसए (उदाहरण के लिए हॉपक्रॉफ्ट + उलेमन 1979, पृष्ठ 40) के बीच समानता पर भरोसा करें।

QED

Answer 2

बाएं या दाएं घूमना कोई समस्या नहीं है, क्योंकि दो तरह से परिमित ऑटोमेटा नियमित भाषाओं को सही पहचानता है (यह स्पष्ट नहीं है)। हालाँकि यदि आपका TM इनपुट शब्द के टेप के भाग के बाहर लिख सकता है, तो मुझे लगता है कि आप टेप के इस हिस्से का उपयोग नियमित भाषाओं में पहचानने के लिए कर सकते हैं। शायद मैं इस सवाल को स्पष्ट रूप से नहीं समझता।

Comments

यह वास्तव में एक उत्तर की तरह नहीं दिखता है। BTW "क्रॉसिंग सीक्वेंस" के बारे में डीडब्ल्यू से उपरोक्त टिप्पणी बिल्कुल विषय पर है: उन्हें यह दिखाने के लिए उपयोग किया जाता है कि 2DFA (2way det FA) नियमित सेट को पहचानते हैं। यहां एकमात्र समस्या यह है कि टीएम टेप के खाली हिस्सों पर भटक सकता है। यदि आप इसे रोक सकते हैं, तो आपको 2DFA या 2NFA के साथ छोड़ दिया जाएगा। मुझे लगता है कि आप एक टीएम को दूसरे टीएम को कम कर सकते हैं जो रिक्त स्थान पर नहीं भटकता है, "क्रॉसिंग सीक्वेंस" का उपयोग करके भी।

— 20