एनपी-एक रंग समस्या की पूर्णता

वैकल्पिक सूत्रीकरण

मैं नीचे समस्या के लिए एक वैकल्पिक सूत्रीकरण के साथ आया था। वैकल्पिक सूत्रीकरण वास्तव में समस्या बलो का एक विशेष मामला है और समस्या का वर्णन करने के लिए द्विदलीय रेखांकन का उपयोग करता है। हालांकि, मेरा मानना है कि वैकल्पिक सूत्रीकरण अभी भी एनपी-हार्ड है। वैकल्पिक सूत्रीकरण आवक और जावक नोड्स का एक असंबद्ध सेट का उपयोग करता है जो समस्या की परिभाषा को सरल करता है।

यह देखते हुए बाहर जाने वाले और भेजे नोड्स (चित्र में लाल और नीले रंग नोड्स क्रमशः), और एक सेट 'आकार की है निवर्तमान और आने वाली कोने के बीच बढ़त वजन के। समस्या का लक्ष्य आकृति में मोटी किनारों को रंगना है ताकि प्रत्येक आने वाले नोड के लिए, एक शर्त रखी जाए। $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

समस्या का द्विदलीय आलेख

दिए गए एक सेट आउटपुट , एक सेट इनपुट , वेट बीच और के लिए और एक सकारात्मक स्थिरांक , किनारों के लिए रंगों की न्यूनतम संख्या (उपरोक्त आकृति में मोटी किनारों) जैसे कि सभी लिए , $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
जहाँ किनारे का रंग दिखाता है । $c(i)$ $e_{ii}$

पुराना निरूपण

निम्नलिखित समस्या मेरे लिए एनपी-कठिन दिखती है, लेकिन मैं इसे नहीं दिखा सका। इसकी कठोरता या सुगमता दिखाने के लिए कोई भी प्रमाण / टिप्पणी की सराहना की जाती है।

मान लें कि nodes और किनारों के साथ एक पूर्ण भारित निर्देशित ग्राफ़ है । बता दें कि किनारे का वजन दिखाता है और एज का रंग दर्शाता है । किनारों के एक सबसेट को देखते हुए और एक सकारात्मक निरंतर लक्ष्य है: इस तरह के प्रत्येक के लिए कि रंग की न्यूनतम संख्या को खोजने के : $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ $e_{ij} \in T$

$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ और $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

कृपया ध्यान दें कि उपरोक्त समस्या में, केवल में किनारों को रंगीन करने की आवश्यकता है। यह समस्या में हल की जा सकती है । $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

अपडेट करें:

Tsuyoshi Ito की टिप्पणी के बाद मैंने समस्या को अद्यतन किया। भाजक को से । इसलिए, भाजक में बाहर वजन भी होता है। यही कारण है कि मैंने परिभाषा में पूर्ण ग्राफ का उल्लेख किया है। $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ $T$

मैंने एक अतिरिक्त बाधा । इसका मतलब है, एक नोड से निवर्तमान किनारों को अलग-अलग रंगों का होना चाहिए (लेकिन आने वाले रंग लंबे समय तक असमान धारण के समान हो सकते हैं)। यह रंगों की संख्या पर एक सहज निचला बाउंड डालता है, जो में नोड्स की अधिकतम आउट-डिग्री है । $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

जैसा कि Tsuyoshi ने उल्लेख किया है, 's, , और समस्या के इनपुट हैं और एज रंग आउटपुट हैं। $w_{ij}$ $T$ $\beta$

अपडेट 2:

समस्या किनारों को लागू नहीं करती है और एक ही रंग के हैं। $e_{ij}$ $e_{ji}$

— हीलियम
स्रोत

@ राफेल: आम तौर पर, एक एज रंग की समस्या में कमी के लिए एक अच्छा उम्मीदवार लगता है। कमी के लिए सबसे सरल एनपी-कठिन समस्या खोजना सबसे कठिन हिस्सा है। अगला कदम मैपिंग के लिए उचित वजन का पता लगाना है। मुझे लगता है, अगर एक एज कलरिंग की समस्या उपरोक्त समस्या में कम हो जाती है, तो वेट या तो 0/1 की तरह होना चाहिए या वेट खोजने के लिए हमें असमानताओं की प्रणाली को हल करना होगा।

— हीलियम

समस्या के निर्माण पर कुछ टिप्पणियाँ: (1) इनपुट क्या है? मुझे लगता है कि इनपुट सभी किनारों, टी, और but के लिए w_ij है, लेकिन यदि ऐसा है, तो आपको w_ij और c (ij) को परिभाषित नहीं करना चाहिए जैसे कि वे उसी तरह से दिए गए थे। (२) जैसा कि मैंने समझा कि आपने क्या लिखा है, टी के बाहर के किनारों को कभी संदर्भित नहीं किया जाता है। इसलिए पूर्ण निर्देशित ग्राफ पर विचार करने के बजाय टी में किनारों से मिलकर निर्देशित ग्राफ को परिभाषित करना सरल है।

— त्सुयोशी इटो

@TsuyoshiIto: आपकी टिप्पणियों के लिए धन्यवाद, मैंने सवाल अपडेट किया।

— हीलियम

वैसे, समस्या मुझे काफी गड़बड़ लगती है। यदि आप समझाते हैं कि आप इस समस्या तक कैसे पहुँचे (दूसरे शब्दों में, आप इस समस्या में क्यों दिलचस्पी रखते हैं), यह दूसरों को समस्या को समझने में मदद कर सकता है।

— त्सुयोशी इतो

@TsuyoshiIto: 1) समस्या वायरलेस एड-हॉक नेटवर्क में शेड्यूल करने का एक विशेष मामला है।

तात्पर्य ट्रांसमिशन सेट से है और वज़न सिग्नल क्षीणन गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है। मुट्ठी कसना हस्तक्षेप प्लस शोर अनुपात के संकेत को भी संदर्भित करता है। 2) "हर में केवल किनारों का भार T होता है" अब हटा दिया गया है।

T

$T$

— हीलियम

जवाबों:

यह दिखाना काफी सरल है कि वैकल्पिक सूत्रीकरण एनपी-हार्ड है। कमी वर्टेक्स कलरिंग समस्या से है। के साथ एक ग्राफ जी को देखते हुए कोने, हम साथ ऊपर समस्या का एक उदाहरण बनाने उत्पादन कोने और इनपुट कोने। भार इस प्रकार हैं: सभी , । के लिए , अगर वहाँ शिखर के बीच बढ़त है और शिखर , चलो , और जाने $n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ । इसके अलावा, चलो । $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

यह काफी स्पष्ट है लेकिन यह वर्णन करना मुश्किल है कि कमी सही क्यों है। चलो ग्राफ रंग का उदाहरण दिखाने के लिए और समस्या की कम उदाहरण दिखाते हैं। उपरोक्त कमी दिखाने के लिए एक सही समाधान देता है हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि (1) लिए प्रत्येक वैध रंग लिए भी मान्य । (2) द्वारा दिया गया उत्तर लिए न्यूनतम । $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

यदि और , दो समीपवर्ती कोने हैं , तो उनके में अलग-अलग रंग होने चाहिए । ऐसा इसलिए है क्योंकि अगर और समीप हैं और उनका रंग समान है, तो $i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ में परिणाम होगा $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ , जहांका सकारात्मक मूल्य है। इसलिए, शर्त नहीं है। इसके अलावा, हर वैध (लेकिन जरूरी न्यूनतम नहीं) के लिए रंग, के लिए एक वैध रंग हैके रूप में अच्छी तरह से। यह इस तथ्य का अनुसरण करता है किएक वैध रंग में, आसन्न नोड्स के प्रत्येक जोड़े के अलग-अलग रंग हैं, इसलिएसमाधान मेंसभी रंगीन किनारों के लिए शर्त है। चूंकि के हर रंगके लिए एक वैध रंग है, करने के लिए कम से कम समाधानकरने के लिए एक न्यूनतम समाधान होना चाहिए साथ ही। अन्यथा, यह न्यूनतम नहीं है क्योंकिका समाधान $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ रंगों की एक छोटी संख्या के साथ एक समाधान देता है।

— हीलियम
स्रोत

EDIT : नीचे दिया गया निर्माण काफी काम नहीं करता है, जैसा कि त्सुयोशी इटो की टिप्पणी के अनुसार, यह उस लागू नहीं करता है । मैं इसे छोड़ देता हूं, हालांकि यह एक उपयोगी शुरुआत है। इसके अलावा, में वजन के साथ आर्क्स शामिल नहीं होना चाहिए । $c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

लाइनों मोहसिन सुझाव दिया साथ, एज रंग के साथ शुरू, ग्राफ परिवर्तित एक संयुक्ताक्षर को एक ही शिखर सेट जहां पर हमारे पास और में , सभी आर्क्स देना (इस बिंदु पर) वजन , तो $G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ ऐड और को साथ , सेट के लिए और । $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

तब स्थिति केवल तभी संतुष्ट होती है जब एक ही शीर्ष पर कोई भी दो आर्क्स घटना एक ही रंग की नहीं होती है, अवहेलना करने वाले आर्क्स होते हैं जो मूल ग्राफ में गैर-किनारों से आते हैं (क्योंकि उनका वजन )। इस रंग को फिर मूल ग्राफ़ के लिए एक उचित रंग में परिवर्तित किया जा सकता है। $0$

तकनीकी रूप से मैंने आपकी मूल समस्या को निर्णय समस्या में बदल दिया है (" colours with colours"?)), लेकिन इसे वैसे भी फिट करने के लिए किया जाना चाहिए और यह एक बहुपद तक प्रभावी रूप से विनिमेय है। $k$ $NP$

तो मुझे लगता है कि काम करता है, या मैं बस कुछ और पता चला है होना करने के लिए -हार्ड? ;) $NP$

— ल्यूक मैथिसन
स्रोत

आप उस c (ij) = c (ji) को कैसे लागू करते हैं? यह प्रश्न में समस्या में जरूरी नहीं है, अगर मैं इसे सही ढंग से समझता हूं।

— त्सुयोशी इटो

अच्छी बात। मैं समस्या को नोट करने के लिए मूल पोस्ट को संपादित करूँगा।

— ल्यूक मैथिसन