OR और MOD गेट के साथ गहराई -2 सर्किट सार्वभौमिक नहीं हैं?

Question

यह सर्वविदित है कि हर बूलियन फंक्शन गहराई 2 (बजाएं, उनकी उपेक्षा और निरंतर मूल्यों) की बूलियन सर्किट का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है पहले स्तर में और गेट्स और ऊपरी स्तर में एक एकल या गेट युक्त; यह केवल का डीएनएफ प्रतिनिधित्व है ।$f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$

एक अन्य प्रकार का गेट जो सर्किट जटिलता में बहुत रुचि रखता है वह है गेट। सामान्य परिभाषा निम्नलिखित है:$MOD_m$

$$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if \(\sum x_i \equiv 0 \mod m\) \\ 0 & if \(\sum x_i \not\equiv 0 \mod m\) \\ }$$

इन द्वारों में कभी-कभी आश्चर्यजनक शक्ति होती है; उदाहरण के लिए, किसी भी बूलियन फ़ंक्शन को केवल $\mathrm{MOD}_6$ फाटकों वाले एक गहराई -2 सर्किट द्वारा दर्शाया जा सकता है (यह लोककथा है लेकिन मैं विस्तार से बता सकता हूं कि कोई व्यक्ति रुचि रखता है)।

हालांकि, एक और लोककथा यह है कि शीर्ष या $\mathrm{MOD}_m$ गेट्स के साथ सर्किट नीचे की परत में ( $m$ एक बार और सभी के लिए तय किया जा रहा है, और विशेष रूप से सभी गेटों के लिए समान है) नहीं है सार्वभौमिक, मी के किसी भी मूल्य के लिए $m$, बूलियन कार्य हैं जिन्हें $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ सर्किट द्वारा गणना नहीं की जा सकती है ।

मैं इस दावे के लिए एक प्रमाण की तलाश कर रहा हूं, या कम से कम कुछ दिशा।

Comments

पहले पैराग्राफ में, या तो आपको गेट्स की आवश्यकता नहीं है या आपको "प्रत्येक मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन " कहना होगा ।

— त्सुयोशी इटो

तुम सही हो; सामान्य धारणा यह है कि आपके पास चर, उनकी उपेक्षा और मनमाने मूल्य (मॉडगेट्स के लिए महत्वपूर्ण) के इनपुट भी हैं। मैं यह स्पष्ट रूप से लिखूंगा।

— गाडी ए २ G

मुझे लगता है कि , इनपुट चर की संख्या, , मापांक से भिन्न है ? $n$$n$

— क्रिस्टोफ़र अर्नसेफेल्ट हेन्सन

हाँ, इस बारे में खेद है।

— गाडी एक

मुझे इस पर दिलचस्पी है। क्या आप पहले लोककथा तथ्य के लिए कुछ संदर्भ जानते हैं? मुझे आश्चर्य है, अगर सर्किट के बाद के वर्ग में आप केवल एक OR की अनुमति देते हैं, तो आप पूर्व में कितने की अनुमति देते हैं?

— जुआन बरमेजो वेगा

Answer 1

बूलियन और फ़ंक्शन की गणना नहीं की जा सकती। मान लीजिए कि वास्तव में AND फ़ंक्शन की गणना एक सर्किट द्वारा की जाती है। फिर यह अनुसरण करता है कि MOD उप-परिपथों में से एक को पहले और फिर पहले ही कार्य करना होगा, जो कि असंभव है।$\text{OR} \circ \text{MOD}$

Comments

नहीं, वह सही है। यहाँ निहित धारणा यह है कि n निरंतर है और हमें mod_n फाटकों के साथ मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में इनपुट को संभालने में सक्षम होना चाहिए।

— गाडी एक

@ गाडी आह, ठीक है। यह आपके प्रश्न में स्पष्ट नहीं था, कम से कम उन लोगों के लिए जो क्षेत्र से परिचित नहीं हैं। मैंने एक मामूली संपादन किया है जो इसे स्पष्ट करना चाहिए।

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकें '27

हां, मेरा प्रश्न बहुत बुरी तरह से खेदजनक था, क्षमा करें।

— गाडी एक

@ गिल्स क्या आप मुझे समझा सकते हैं कि हमारे यहां कौन से फैन हैं? मेरे लिए समस्या यह है कि मैं यह नहीं देख सकता कि एमओडी का सब-सर्कुलेट क्यों गणना नहीं कर सकता है? इस मॉड में कितने इनपुट हैं और यह?