मास्टर प्रमेय लागू नहीं?

निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरण को देखते हुए

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ हम मास्टर प्रमेय लागू करना चाहते हैं और ध्यान दें

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

अब हम के लिए पहले दो मामलों की जांच $\varepsilon > 0$ , चाहे यह है कि

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ या
$n\log n \in \Theta(n)$ ।

दोनों मामले संतुष्ट नहीं हैं। तो हमें तीसरे मामले की जाँच करनी है, कि क्या है

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ ।

मुझे लगता है कि तीसरी शर्त भी संतुष्ट नहीं है। पर क्यों? और इस मामले में मास्टर प्रमेय क्यों लागू नहीं किया जा सकता है, इसके लिए एक अच्छी व्याख्या क्या होगी?

— जोआचिम
स्रोत

मामला 2 विकी में सामान्य रूप देखें ।

केस तीन नहीं संतुष्ट हो जाता है क्योंकि

है नहीं

किसी के लिए

। सीमा

पर l'Hôpital के नियम का उपयोग करें

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

एक बार जब आप दिखाते हैं कि न तो मामला लागू होता है, तो यह सबूत है कि आप मास्टर प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं जैसा कि कहा गया है।

— राफेल

मास्टर प्रमेय की आवश्यकता किसे है? पुनरावर्ती वृक्षों का उपयोग करें।

— जेएफई

ऐसा ही सवाल math.SE पर है ।

— राफेल

जवाबों:

मास्टर प्रमेय के तीन मामले जिन्हें आप संदर्भित करते हैं , थॉमस एच। कोरमेन, चार्ल्स ई। लिसेरसन, रोनाल्ड एल। रिवरेस्ट और क्लिफोर्ड स्टीन (2 डी संस्करण, 2001) द्वारा परिचय में सिद्ध किए गए हैं ।

यह सही ढंग से मनाया जाता है कि प्रश्न में पुनरावृत्ति केस 2 और केस 3. के बीच पड़ता है यही कारण है कि $f(n) = n \log n$ की तुलना में तेजी से बढ़ता है $n$ लेकिन की तुलना में धीमी $n^{1+\varepsilon}$ किसी के लिए $\varepsilon > 0$ ।

हालांकि इस पुनरावृत्ति को कवर करने के लिए प्रमेय को सामान्यीकृत किया जा सकता है। विचार करें

$f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

$k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$

एल्गोरिदम के परिचय में इस कथन को एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

इस कथन को हम अंत में प्राप्त होने वाली पुनरावृत्ति पर लागू करते हैं

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

मास्टर प्रमेय के बारे में अधिक जानकारी उत्कृष्ट (imho) विकिपीडिया पृष्ठ पर देखी जा सकती है ।

जैसा कि @sdcvvc की टिप्पणियों में बताया गया है कि केस 3 यहां लागू नहीं होता है कि कोई L'Hospital नियम लागू कर सकता है जो कि

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

किसी भी कार्य के लिए और के आसपास के क्षेत्र में अलग-अलग हैं । इसे और कोई भी उस दिखा सकता है $f(x)$ $g(x)$ $c$ $f(n) = n \log n$ $g(n) = n^{1+\varepsilon}$ $\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

केस 2 ए के लिए मास्टर प्रमेय के सबूत का स्केच।

यह आवश्यक संशोधनों के साथ परिचय से एल्गोरिदम के सबूत के कुछ हिस्सों का पुनरुत्पादन है ।

पहले हम निम्नांकित लेम्मा सिद्ध करते हैं।

लेम्मा ए:

एक समारोह पर विचार करें

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

जहाँफिर $h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$ $g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

प्रमाण: लिए अभिव्यक्ति में को प्रतिस्थापित करने पर $h(n)$ $g(n)$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

यदि , पुनरावृत्ति दी गई की एक सटीक शक्ति है $n$ $b$

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

कोई भी इसे फिर से लिख सकता है

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} f (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j f(n/b^j).$

स्थानापन्न के साथ , चलती के बाहर और लागू करने के लेम्मा एक पर हम पाते हैं $f(n)$ $\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$ $\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

इसे एक मनमाने ढंग से पूर्णांक बदलना जो कि शक्ति नहीं है , इस पद के दायरे से परे है। $n$ $b$

— दिमित्री चुबरोव
स्रोत

अकरा-बाज़ी प्रमेय मास्टर प्रमेय का एक सख्त सामान्यीकरण है। एक बोनस के रूप में इसका प्रमाण अभिन्न का एक बर्फ़ीला तूफ़ान है जो आपके सिर को चकरा देगा ;-)

किसी भी स्थिति में, "एल्गोरिदम के विश्लेषण का परिचय" में सेडगेविक का तर्क है कि किसी को प्रकार के स्पर्शोन्मुख दवाओं को साबित करने का प्रयास करना चाहिए । $T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
स्रोत