द्विदलीय रेखांकन के विशेष वर्ग पर कठिन कम्प्यूटेशनल समस्या

Question

मैं द्विपक्षीय ग्राफ के एक वर्ग के गुणों में दिलचस्पी है जहां में सभी नोड्स एक्स 3-नियमित कर रहे हैं, में सभी नोड्स वाई 2-नियमित हैं, और | एक्स | = | 2 वाई / 3 | । पहला, क्या यह ग्राफ का एक प्रसिद्ध वर्ग है? दूसरे,$G(X \cup Y, E)$$X$$Y$$|X|=|2Y/3|$

क्या द्विदलीय रेखांकन के इस वर्ग के लिए अंतरंग कम्प्यूटेशनल समस्या का एक उदाहरण है?

Answer 1

एक 3-नियमित ग्राफ को देखते हुए आप एक द्विपक्षीय ग्राफ निर्माण कर सकते हैं जी ' आवश्यक गुण उठा के साथ एक्स = वी और वाई = ई और हर बढ़त के लिए ई कश्मीर = ( यू मैं , यू जे ) ∈ ई ऐड किनारों ( u i , e k ) , ( e k , u j$G = \{V,E\}$$G'$$X = V$$Y = E$$e_k = (u_i,u_j) \in E$$(u_i, e_k), (e_k, u_j)$। इसलिए मुझे लगता है कि आप 3-नियमित ग्राफ़ पर हार्ड समस्याओं से शुरू होने वाली कुछ कठिन समस्याओं का पता लगा सकते हैं।

उदाहरण के लिए SUBGRAPH ISOMORPHISM आपके वर्ग के रेखांकन के लिए NP-कठिन है।

कमी 3-नियमित रेखांकन पर Hamiltonian चक्र से है: एक 3-नियमित ग्राफ को देखते हुए , इसी का निर्माण जी ' = { एक्स ∪ वाई , $G$ और एक subgraph के लिए जाँच एच ' जो लंबाई की एक बंद सरल चक्र है 2 | वी | । जी ' के लिए एक subgraph isomorphic है एच ' यदि और केवल यदि जी एक Hamiltonian चक्र है।$G' = \{X \cup Y, E'\}$$H'$$2|V|$$G'$$H'$$G$

Answer 2

ये ग्राफ़ क्यूबिक ग्राफ़, उर्फ ​​2-स्ट्रेचेस ऑफ़ 3-रेगुलर ग्राफ़ के इंसिडेंस ग्राफ़ हैं। मैं लिखूँगा की घटनाओं को ग्राफ के लिए  जी ।$I(G)$$G$

एक ग्राफ और एक पूर्णांक  k को देखते हुए  , यह निर्धारित करने के लिए NP-पूर्ण है कि क्या G की क्रॉसिंग संख्या सबसे  k (पर है, क्या G को विमान में सबसे अधिक k किनारों पर एक दूसरे को पार करते हुए खींचा जा सकता है  ), भले ही G  हो घन होने तक सीमित। स्पष्ट रूप से, प्रत्येक किनारे के बीच में एक अतिरिक्त शीर्ष जोड़कर क्रॉसिंग संख्या प्रभावित नहीं होती है। (स्रोत: हेलेनि, "क्रॉसिंग संख्या घन रेखांकन के लिए कठिन है", जे। कॉम्बिन। थियोर। बी 96 (4): 455-471; डीओआई ।)$G$$k$$G$$k$$G$$k$$G$

यह संभव है कि इन ग्राफों के लिए बैंडविड्थ की समस्या एनपी-पूर्ण हो, क्योंकि यह उन पेड़ों के लिए एनपी-पूर्ण है जहां प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम तीन में डिग्री है। (स्रोत: सामान्य रेखांकन के लिए Garey और जॉनसन में समस्या GT40, कम डिग्री के पेड़, Garey, ग्राहम, जॉनसन और नुथ, "बैंडविड्थ न्यूनीकरण के लिए जटिलता परिणाम" के लिए, सियाम जे Appl गणित।। 34: 477-495; Citeseer । )

घन-रेखीय ग्राफ़ पर विभिन्न एनपी-पूर्ण ग्राफ़ समस्याएँ बनी रहती हैं और ये एनपी-पूर्ण समस्याओं को संगत घटना ग्राफ पर ले जाती हैं जो कि स्वाभाविक रूप से स्वाभाविक हैं। उदाहरण के लिए, यह पूछना कि क्या एक क्यूब ग्राफ  में अधिकांश k पर आकार का एक हावी सेट है,  यह पूछने के बराबर है कि क्या I ( G ) I ( K 1 , 3 ) की अधिकांश k प्रतियों का एक संघ है  । इसी तरह, के संबंध तोड़ना प्रतियां का एक सेट करने के लिए घन ग्राफ मेल खाती है में एक स्वतंत्र सेट मैं ( कश्मीर 1 , 3 ) में मैं ( जी ) ।$G$$k$$I(G)$$k$$I(K_{1,3})$$I(K_{1,3})$$I(G)$