यह साबित करने के लिए कि 3SAT का एक विवश संस्करण जिसमें कोई शाब्दिक एक से अधिक बार नहीं हो सकता है, बहुपद समय में हल करने योग्य है?

Question

मैं एक असाइनमेंट (पुस्तक अल्गोरिद्म से ली गई - एस। दासगुप्ता, सीएच पापादिमित्रिउ , और यूवी वाज़िरानी , चैप 8, समस्या 8.6a) पर काम करने की कोशिश कर रहा हूँ , और मैं इसे बताता हूँ:

यह देखते हुए कि 3 एसएटी एनपी-पूर्ण तब भी बना रहता है जब तक कि फार्मूले को प्रतिबंधित न किया जाए जिसमें प्रत्येक शाब्दिक दो बार दिखाई देता है, यदि प्रत्येक शाब्दिक एक बार में प्रकट होता है, तो समस्या बहुपद समय में हल करने योग्य है।

मैंने खंडों को कई समूहों में विभाजित करके इसे हल करने का प्रयास किया:

1. जो खंड बाकी खंडों के साथ आम तौर पर कोई चर नहीं था
2. खण्ड जो आम में केवल 1 चर था
3. खण्ड जो आम में 2 चर थे
4. क्लॉस जिनके सभी 3 चर सामान्य थे

मेरे तर्क को इस तरह के समूहों के साथ करने का प्रयास किया गया था कि ऐसे समूहों का # परिमित है (बिना किसी शाब्दिक के एक बार से अधिक प्रतिबंध लगाए जाने के कारण), और हम सबसे पहले प्रतिबंधित समूह (समूह 4) को संतुष्ट करने का प्रयास कर सकते हैं और फिर स्थानापन्न कर सकते हैं। कम प्रतिबंधित समूहों (3, 2 और फिर 1) में परिणाम, लेकिन मुझे एहसास हुआ कि यह मुझे कहीं भी नहीं मिल रहा था, क्योंकि यह 3SAT के विवश संस्करण के लिए मामले से बहुत अलग नहीं है, जिसमें प्रत्येक शाब्दिक प्रकट हो सकता है अधिकतम दो बार, जो एनपी-पूर्ण साबित हुआ है।

मैंने किसी भी संकेत / समाधान के लिए ऑनलाइन खोज करने की कोशिश की, लेकिन मैं जो कुछ भी प्राप्त कर सकता था वह यह लिंक था , जिसमें कहा गया संकेत मेरे लिए पर्याप्त अर्थ नहीं था, जो मैं यहाँ शब्दशः पुन: प्रस्तुत कर रहा हूं:

$x_i$$C_j$$x_i$$\overline{x_i}$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$

$C_j$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$$\overline{C_j \lor C_k}$

या तो संकेत को डिक्रिप्ट करने में, या एक पथ प्रदान करने में कोई मदद जो मुझे पता चल सकती है, वास्तव में सराहना की जाएगी।

Answer 1

व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि प्रत्येक चर एक बार सकारात्मक रूप से और ठीक एक बार नकारात्मक रूप से प्रकट होता है (यदि एक चर केवल एक बार खंड को संतुष्ट करने और खंड को हटाने के लिए अपना मूल्य निर्धारित करता है)। हम यह भी मान सकते हैं कि एक चर एक खंड में एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता है (यदि एक खंड खंड में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों रूप से प्रकट होता है, तो खंड संतुष्ट है और हटाया जा सकता है)। ये संतोषजनकता को नहीं बदलेंगे।

अब चर नियम को एक-एक करके समाप्त करने के लिए रिज़ॉल्यूशन नियम का उपयोग करें (क्योंकि प्रत्येक चर एक बार सकारात्मक रूप से प्रकट होता है और एक बार नकारात्मक रूप से यह एक नियतात्मक प्रक्रिया है)। यदि किसी भी बिंदु पर हम खाली खंड प्राप्त करते हैं तो खंडों का सेट असंतोषजनक है, अन्यथा यह संतोषजनक है। यह है क्योंकि:

• रिज़ॉल्यूशन एक पूर्ण प्रस्तावक प्रूफ सिस्टम है (अर्थात यदि क्लॉज़ के सेट से कोई तार्किक रूप से निहित होता है तो यह केवल रिज़ॉल्यूशन नियम का उपयोग करके क्लॉज़ के सेट से व्युत्पन्न होता है)

• क्लॉज का एक सेट असंतोषजनक है अगर यह तार्किक रूप से खाली क्लॉज का अर्थ है।

$(x \lor B) \land (\overline{x} \lor C) \land \dots)$$(B \lor C) \land \dots$, जो संकल्प से पहले एक कम खंड है। इसके विपरीत, यदि आपने इसे 3SAT के फॉर्मूले पर लागू किया है, तो प्रत्येक शाब्दिक के दिखावे की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं है, तो रिज़ॉल्यूशन लागू करने से क्लॉस की संख्या में तेजी से वृद्धि हो सकती है।

Comments

$a\lor B$$\lnot a\lor C$$B\lor C$

संकल्प का उपयोग किए जाने के बाद भी अपरिवर्तनीय लागू करने के लिए एक को सुनिश्चित करने की आवश्यकता होती है। इस चरण के बाद, SAT उदाहरण (ध्यान दें, यह अब 3SAT नहीं है) उस संपत्ति को बरकरार रखता है जो हर शाब्दिक एक बार सकारात्मक और एक बार नकारात्मक रूप से होता है। इससे यह भी पता चलता है कि प्रश्न में 3SAT प्रतिबंध आवश्यक नहीं था; यूनिट रिज़ॉल्यूशन डिग्री -2 प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाले किसी भी सैट उदाहरण के लिए काम करता है। संक्षेप में: इकाई रिज़ॉल्यूशन रैखिक समय में डिग्री -2 सैट को हल करता है।

— आंद्र सलाम जूल

मैं पिछले भाग को नहीं समझता। खण्ड 3SAT में सामान्य रूप से तेजी से क्यों बढ़ेंगे?

— पार्थ तामने