K- क्लिक समस्या के लिए

Question

Clique समस्या एक अच्छी तरह से ज्ञात $NP$ -complete समस्या है जहाँ आवश्यक क्लिक्स का आकार इनपुट का हिस्सा है। हालाँकि, k-clique समस्या में एक तुच्छ बहुपद समय एल्गोरिथ्म ( $O(n^k)$ जब $k$ स्थिर है)। जब कश्मीर स्थिर रहता है तो मुझे सबसे अच्छी तरह से ज्ञात ऊपरी सीमा में दिलचस्पी होती है।

क्या रन टाइम साथ एक एल्गोरिथ्म है ? एक o ( n k ) -टाइम एल्गोरिथ्म भी स्वीकार्य है। इसके अलावा, क्या इस तरह के एल्गोरिदम के अस्तित्व के लिए कोई जटिलता-सिद्धांत-परिणाम है?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

Answer 1

एक 3-गुट एक में पाया जा सकता -vertex ग्राफ जी समय में हे ( एन ω ) , जहां ω < 2.376 आव्यूह गुणन प्रतिपादक है, और में हे ( एन 2 ) इटाई और Rodeh का एक परिणाम के द्वारा अंतरिक्ष [1] । मूल रूप से, वे बताते हैं कि जी में एक त्रिकोण होता है अगर और केवल अगर ( ए ( जी ) ) 3 में इसके मुख्य विकर्ण पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि है। क्योंकि एक त्रिभुज भी एक चक्र C $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$, एक सामान्य त्रिभुज का पता लगाने के लिए सामान्य चक्र खोजने के तरीकों का उपयोग कर सकता है। एलोन, यस्टर और ज़्विक दिखाते हैं कि कैसे ओ ( एम 2 ω / ( ω + 1 ) ) = ओ ( एम 1.41 ) समय [6] में एक ग्राफ ग्राफ पर त्रिकोणों का पता लगाया जा सकता है ।$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

लंबे समय तक, नेसेट्रिल और पोल्जाक [2] का परिणाम सबसे अच्छा ज्ञात था; वे आकार के क्लिक्स की संख्या से पता चला है समय में पाया जा सकता हे ( एन ω कश्मीर ) और हे ( एन 2 कश्मीर ) अंतरिक्ष। अंत में, Eisenbrand और Grandoni [3] एक के लिए Nesetril और Poljak के परिणाम पर सुधार ( 3 कश्मीर + 1 ) -clique और एक ( 3 कश्मीर + 2 ) के छोटे मूल्यों के लिए -clique कश्मीर । विशेष रूप से, वे समय में आकार 4, 5, और 7 की क्लिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिदम दिया $3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n 4.220 ) , और O ( n 5.714 ) क्रमशः।$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

जहां तक ​​मुझे पता है, सामान्य , बेहतर एल्गोरिदम डिजाइन करने की समस्या खुली है। संभावित परिणामों या जटिलता सैद्धांतिक विचारों, डाउनी और अध्येताओं के लिए (देखें उदाहरण के लिए [4]) से पता चला कश्मीर -clique साथ पैरामीटर कश्मीर है डब्ल्यू [ 1 ] -हार्ड। वर्ग W [ 1 ] श्रेणीबद्ध निर्णय की समस्याओं के वर्ग को निरूपित करता है जो कि मानकीकृत कटौती के साथ CLIQUE को पुनर्वितरित करता है। यह माना जाता है कि CLIQUE तय-पैरामीटर ट्रैक्टेबल नहीं है। मापदंडों में कटौती के तहत CLIQUE के समतुल्य ज्ञात सैकड़ों अन्य समस्याएं हैं। इसके अलावा, Feige और Kilian [, धारा 2] का परिणाम है कि जब $k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$इनपुट और का हिस्सा है , तो एक polytime एल्गोरिथ्म मौजूद होने की संभावना नहीं है।$k \approx \log n$

यदि आप कुछ प्रतिबंधित ग्राफ कक्षाओं पर विचार करते हैं, तो आप कोरल ग्राफ़ पर रैखिक समय में समस्या को हल कर सकते हैं। बस एक डोरी का ग्राफ के एक गुट पेड़ की गणना में हे ( n + मीटर ) समय, और उसके बाद जाँच लें कि किसी भी गुट आकार वास्तव में की है k । प्लानर रेखांकन पर, एक भी त्रिकोण पा सकते हे ( एन ) [6] के तरीकों का उपयोग कर समय।$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

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[१] इतै, अलोन और माइकल रोडे। "एक ग्राफ में एक न्यूनतम सर्किट ढूँढना।" SIAM जर्नल 7.4 कम्प्यूटिंग पर (1978): 413-423।

[२] नेसेटिल, जारोस्लाव और स्वैटोप्लुक पोलजक। "सबग्राफ समस्या की जटिलता पर।" टिप्पणी गणितज्ञ यूनिवर्सिटेटिस कैरोलिना 26.2 (1985): 415-419।

[३] ईसेनब्रांड, फ्रेडरिक और फैब्रीज़ियो ग्रैंडोनी। "तय पैरामीटर क्लिक् और डोमिनेटिंग सेट की जटिलता पर।" सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 326.1 (2004): 57-67।

[४] डाउनी, आरजी, और माइकल आर। फैलो। "परिमाणित जटिलता के मूल तत्व।" कंप्यूटर विज्ञान में अंडरग्रेजुएट ग्रंथ, स्प्रिंगर-वर्लग (2012)।

[५] फीज, उरीएल और किलियन, जो। "ऑन लिमिटेड बनाम पोलीनोमियल नोंदेर्मिनिस्म"। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के शिकागो जर्नल। (1997)

[६] अलोन, नोगा, राफेल यस्टर, और उरी ज़्विक। "लंबाई चक्र को देखते हुए और गिनकर।" एलगोरिदमिका 17.3 (1997): 209-223।