क्या एनपी की समस्याएं हैं, पी में नहीं और न ही एनपी पूरी हैं?

Question

क्या $\mathsf{NP}$ (और में नहीं $\mathsf{P}$) में कोई ज्ञात समस्या है जो $\mathsf{NP}$ पूर्ण नहीं है? मेरी समझ यह है कि वर्तमान में कोई ज्ञात समस्या नहीं है जहां यह मामला है, लेकिन इसे एक संभावना के रूप में खारिज नहीं किया गया है।

यदि कोई समस्या है जो $\mathsf{NP}$ (और ) नहीं है, लेकिन , तो क्या यह उस समस्या के उदाहरणों और बीच कोई मौजूदा समरूपता का परिणाम नहीं होगा सेट? यदि यह मामला है, तो हमें कैसे पता चलेगा कि समस्या 'कठिन' नहीं है, जो कि वर्तमान में हम सेट के रूप में ?एन पी - सी ओ एम पी एल ई टी ई एन पी - सी ओ एम पी एल ई टी ई एन पी एन पी - सी ओ एम पी एल ई टी $\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

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— राफेल

Answer 1

क्या एनपी (और पी में नहीं) में कोई ज्ञात समस्याएं हैं जो एनपी पूरी नहीं हैं? मेरी समझ यह है कि वर्तमान में कोई ज्ञात समस्या नहीं है जहां यह मामला है, लेकिन इसे एक संभावना के रूप में खारिज नहीं किया गया है।

नहीं, यह अज्ञात है (तुच्छ भाषाओं के अपवाद के साथ और Σ * , इन दो नहीं पूरा कई-एक में कटौती की परिभाषा की वजह से कर रहे हैं, आम तौर पर इन दोनों जब कई-एक में कटौती पर विचार अनदेखी कर रहे हैं)। एक के अस्तित्व एन पी समस्या है जिसके लिए पूरा नहीं हुआ है एन पी WRT कई-एक बहुपद समय में कटौती का मतलब यह होता है कि पी ≠ एन पी जो ज्ञात नहीं है (हालांकि व्यापक रूप से माना)। यदि दो वर्ग अलग-अलग हैं तो हम जानते हैं कि N P में समस्याएं हैं जो इसके लिए पूरी नहीं हैं, P में कोई समस्या लेते हैं ।$\emptyset$$\Sigma^*$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

यदि कोई समस्या है जो NP (और P नहीं) है, लेकिन NP Complete नहीं है, तो क्या यह उस समस्या और NP पूर्ण सेट के उदाहरणों के बीच कोई मौजूदा समरूपता का परिणाम नहीं होगा?

यदि दो जटिलता वर्ग अलग-अलग हैं, तो लडनेर के प्रमेय से ऐसी समस्याएं हैं जो इन्टरमीडिएट हैं, अर्थात वे पी और एन पी के बीच हैं - सी ओ एम पी एल एल ई टी ई ।$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

यदि यह मामला है, तो हम कैसे जानेंगे कि एनपी समस्या 'कठिन' नहीं है, जो कि वर्तमान में हम एनपी कम्प्लीट सेट के रूप में पहचानते हैं?

वे अभी भी करने के लिए बहुपद समय कम करने योग्य समस्याओं ताकि वे की तुलना में कठिन नहीं किया जा सकता एन पी - सी ओ एम पी एल ई टी ई समस्याओं।$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

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कुछ साल हो गए हैं, लेकिन मैं इस धारणा के तहत था कि एनपी-हार्ड की समस्याएं ओपी के विवरण में फिट हैं, वे कहां फिट होते हैं?

— केविन

@ केविन: नहीं, एनपी-हार्ड का मतलब है कि एक समस्या कम से कम एनपी में सबसे कठिन समस्याओं के रूप में कठिन है।

— हक बेनेट

पीडीडो-बहुपद के साथ समस्याओं के बारे में क्या है?

— जो

@ हाँ, मुझे यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है, अगर आपके पास एक प्रश्न है तो इसे एक नए प्रश्न के रूप में पोस्ट करें।

— केवह

ओह, निश्चित रूप से पी! = एनपी। ऐसी समस्या ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म होगी, है ना?

— लेवी

Answer 2

के रूप में @Kaveh कहा गया है, इस सवाल का केवल दिलचस्प अगर हम यह मान है ; मेरे जवाब के बाकी हिस्सों को एक धारणा के रूप में लिया जाता है, और ज्यादातर आपकी भूख को और गीला करने के लिए लिंक प्रदान करता है। कि इस धारणा के तहत, Ladner की प्रमेय द्वारा हम जानते हैं कि वहाँ समस्याओं में न तो कर रहे हैं कि पी है और न ही एन पी सी ; इन समस्याओं को N P -intermediate या N P I कहा जाता है । दिलचस्प रूप से पर्याप्त है, इसी तरह की मध्यवर्ती समस्याओं का उत्पादन करने के लिए लैडनर के प्रमेय को कई अन्य जटिलता वर्गों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके अलावा, प्रमेय का भी अर्थ है, एक अनंत पदानुक्रम है$P \neq NP$$P$$NPC$$NP$$NPI$मध्यवर्ती समस्याएं जो में एक-दूसरे के लिए पाली-टाइम रिड्यूस करने योग्य नहीं हैं ।$NPI$

दुर्भाग्य से, इस धारणा के साथ भी यह प्राकृतिक समस्याओं होगा provably को खोजने के लिए बहुत मुश्किल है एन पी मैं (बेशक आप कृत्रिम समस्याओं Ladner की प्रमेय के प्रमाण से आ रही है)। इस प्रकार, भले संभालने पी ≠ एन पी इस समय हम केवल विश्वास कर सकते हैं कुछ समस्याओं होने के लिए एन पी रहा है, लेकिन यह साबित नहीं। हम इस तरह के विश्वासों में आते हैं जब हमारे पास यह मानने के लिए उचित सबूत होते हैं कि एक N P समस्या N P C और / या P में नहीं है।$P \neq NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$$NP$$NPC$$P$; या बस जब यह लंबे समय से अध्ययन किया गया है और किसी भी कक्षा में फिटिंग से बचा जाता है। इस उत्तर में ऐसी समस्याओं की एक बहुत व्यापक सूची है । इसमें फैक्टरिंग, असतत लॉग और ग्राफ-आइसोमोर्फिज्म जैसे सभी समय पसंदीदा शामिल हैं।

दिलचस्प है, इनमें से कुछ समस्याएं (उल्लेखनीय: फैक्टरिंग और असतत लॉग) क्वांटम कंप्यूटरों पर बहुपद समय के समाधान हैं (अर्थात वे )। कुछ अन्य समस्याएं (जैसे ग्राफ-आइसोमॉर्फिज़्म) बी क्यू पी में होने के लिए ज्ञात नहीं हैं , और प्रश्न को हल करने के लिए अनुसंधान चल रहा है। दूसरी ओर, यह संदिग्ध है कि एन पी सी ⊈ बी क्यू पी , इस प्रकार लोग विश्वास नहीं करते हम सैट के लिए एक कुशल क्वांटम एल्गोरिथ्म होगा (हालांकि हम एक द्विघात गति को प्राप्त कर सकते हैं); यह एक दिलचस्प सवाल है कि बी में रहने के लिए किस तरह की संरचना एन पी I समस्याओं की आवश्यकता है$BQP$$BQP$$NPC \not\subseteq BQP$$NPI$$BQP$ ।

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बाबई द्वारा वास्तव में एक हालिया परिणाम (देखें jeremykun.com/2015/11/12/… ) ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के लिए एक क्वैसिपोलिनोमियल एल्गोरिथ्म देता है, मूल रूप से एनपीआई से इसे हटा देता है, अगर परिणाम होता है। दिलचस्प बात यह है कि यह समस्या थी जो BQP में नहीं जानी जाती थी

— Frédéric Grosshans

@ FrédéricGrosshans में एक quasipolynomial समय एल्गोरिथ्म होने से आप NPI से नहीं हटते (वास्तव में, यह आपको NPC से तब तक नहीं हटाएगा, जब तक कि आप सिर्फ P! = NP) से अधिक मजबूत धारणाएँ नहीं बनाते हैं! बाबई का परिणाम (यदि सही है, जो शायद यह है) केवल परिस्थितिजन्य साक्ष्य प्रदान करता है कि ग्राफआईएसओ पी में हो सकता है, क्योंकि अतीत में जब कठिन समस्याओं के लिए क्वासिपोलिनोमियल एल्गोरिदम पाए गए थे, तो वे अंततः पॉलीओनोमिअनियम का नेतृत्व किया।

— आर्टेम काज़नाचेव

@ FrédéricGrosshans बाबाई ने क्वासिपोलिनोमियल रनटाइम के दावे को वापस ले लिया । स्पष्ट रूप से विश्लेषण में एक त्रुटि थी।

— राफेल

@ मेरी पूर्व टिप्पणी के अनुसार, मुझे नहीं लगता कि बाबई ने क्विपिपोलिनोमियल को उपसंचालन के लिए आराम दिया है, विशेष रूप से हाथ पर चर्चा करने के लिए प्रासंगिक नहीं है।

— आर्टेम काज़नाचेव

चूँकि वह टिप्पणी अभी भी यहाँ है, मैं नहीं चाहता था कि यह बिना सोचे समझे खड़ा हो। (मूल रूप से, मैंने साइट पर "बाबई" की सभी घटनाओं को ट्रैक किया और उसी टिप्पणी को पोस्ट किया।) महसूस करने के लिए सभी टिप्पणियों को चिह्नित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें जैसे कि अप्रचलित हैं।

— राफेल

Answer 3

कोई भी एनपी- अधूरी समस्या पी में होने की जानकारी नहीं है । यदि किसी एनपी- अपूर्ण समस्या के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है, तो पी = एनपी , क्योंकि एनपी में किसी भी समस्या में प्रत्येक एनपी- अपूर्ण समस्या के लिए बहुपद-समय में कमी है। (यह वास्तव में है कि कैसे " एनपी -Complete" परिभाषित किया गया है।) और जाहिर है, अगर हर एनपी के बाहर -Complete समस्या झूठ पी , कि इस का मतलब पी ≠ एनपी । हमें वास्तव में यकीन नहीं है कि इसे एक या दूसरे तरीके से दिखाना मुश्किल क्यों है; अगर हमें उस प्रश्न का उत्तर पता था, तो हम शायद P और के बारे में बहुत कुछ जान पाएंगेएनपी । हमारे पास कुछ प्रूफ तकनीकें हैं जिन्हें हम जानते हैं कि काम नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए रिलेटिवेशन और नेचुरल प्रूफ़), लेकिन इस समस्या के कठिन होने के बारे में कोई स्पष्ट विवरण नहीं है।

यदि एनपी में समस्याएं हैं जो पी में नहीं हैं , तो वास्तव में एनपी में पी और उन लोगों के बीच समस्याओं का एक अनंत पदानुक्रम है और जो एनपी पूर्ण हैं: यह एक परिणाम है जिसे लाडर्स प्रमेय कहा जाता है ।

उम्मीद है की यह मदद करेगा!

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कृपया समझाएं: NP की कोई समस्या P में नहीं होने के लिए जानी जाती है? सभी P पहले से ही NP में नहीं हैं?

@ शिमैनो- ये दो अलग-अलग अवधारणाएं हैं: पी में सभी समस्याएं एनपी में जानी जाती हैं। हालाँकि, हम यह नहीं जानते हैं कि NP की कोई समस्या P. में नहीं है। हम जानते हैं कि P, NP का सबसेट है, लेकिन हम नहीं जानते कि क्या NP P का सबसेट है। क्या यह चीजों को स्पष्ट करता है?

— templatetypedef

चीजें अब साफ हो रही हैं। आपके त्वरित उत्तरों के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। एक और स्पष्टीकरण की जरूरत है। आपने कहा: "इसका कारण यह है कि एनपी में किसी भी समस्या का एक बहुपत्नी-समय में कमी से प्रत्येक एनपी-पूर्ण समस्या है।" यह साबित करता है कि एनपी में सभी समस्याएं स्वतः एनपी-पूर्ण हैं? मैं फिर से थोड़ा उलझन में हूँ

@ शिमैनो- बिलकुल नहीं। कमी की दिशा महत्वपूर्ण है। एक समस्या NP- पूर्ण होती है यदि NP की सभी समस्याएं उस समस्या को कम करती हैं। आप किसी समस्या को उस समस्या को ज्ञात NP- पूर्ण समस्या को कम करके NP-hard दिखा सकते हैं। हालाँकि, यह दर्शाता है कि एनपी में एक समस्या एक ज्ञात एनपी-पूर्ण समस्या को कम करती है, कुछ भी नया नहीं दिखाती है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार सभी एनपी समस्याएं सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं को कम करती हैं।

— templatetypedef

@ शिमैनो- लैडनर की प्रमेय कहती है कि यदि पी! = एनपी है, तो एनपी-मध्यवर्ती समस्याएं होनी चाहिए, इसलिए यदि एनपी-मध्यवर्ती समस्याएं नहीं हैं, तो पी = एनपी। और हाँ - अगर हम एनपी में एक समस्या पा सकते हैं जो कि पी में नहीं है, चाहे वह बीक्यूपी में हो, तो = = एनपी।

— templatetypedef

Answer 4

$P$

$P$$P$

$P$

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¹ इसी तरह की समस्या: उप ग्राफ आइसोमोर्फिज्म एनपी-कंप्लीट है।

Comments

3 साल बाद, ग्राफ-आइसोमॉर्फिज्म वास्तव में पी के करीब लगता है (बाबई द्वारा एक क्वैसिपोलिनियल टाइम एल्गोरिदम प्रस्तावित किया गया है) jeremykun.com/2015/11/12/…

— Frédéric Grosshann

Babai retracted the claim of quasipolynomial runtime. Apparently there was an error in the analysis.

— Raphael

बाबई के प्रमाण में त्रुटि कुछ दिनों बाद तय हो गई थी।

— डेविड बेवन