अनंत पुनरावर्ती सेट के सबसेट

एक हालिया परीक्षा का प्रश्न इस प्रकार है:

$A$ एक अनंत पुनरावर्ती सेट है। सिद्ध करो कि में एक अनंत पुनरावर्ती उपसमुच्चय है। $A$

चलो की एक अनंत पुनरावर्ती सबसेट हो । पास एक उपसमूह होना चाहिए जो पुनरावर्ती रूप से गणना करने योग्य नहीं है ? $C$ $A$ $C$

मैंने जवाब दिया 1. पहले से। 2. के बारे में, मैंने सकारात्मक रूप से उत्तर दिया और निम्नानुसार तर्क दिया।

मान लीजिए कि सभी उपसमूह पुनरावर्ती रूप से प्रवर्तनीय थे। चूंकि अनंत है, की शक्ति सेट अगणनीय है, इसलिए इस धारणा से वहाँ uncountably कई रिकर्सिवली इन्युमरेबल सेट होगा। लेकिन पुनरावर्ती गणना करने योग्य सेट ट्यूरिंग मशीनों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं जो उन्हें पहचानते हैं, और ट्यूरिंग मशीन असंख्य हैं। अंतर्विरोध। तो पास एक सबसेट होना चाहिए जो पुनरावृत्ति करने योग्य नहीं है। $C$ $C$ $C$ $C$

क्या ये सही है?

computability check-my-proof

— user1435
स्रोत

यह अंत में बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पुन: सेट असीम रूप से कई ट्यूरिंग मशीनों द्वारा गणना की जाती है, न कि केवल एक द्वारा। आप इसके आसपास काम कर सकते हैं, हालांकि।

— कार्ल मम्मर्ट

@ कार्ल: आह, ठीक है, धन्यवाद - मूर्खतापूर्ण गलती। लेकिन मुझे केवल टीएम में एक इंजेक्शन की आवश्यकता है, एक आक्षेप नहीं है, है ना? और ट्यूरिंग-कंप्यूटेबल की परिभाषा पर मेरी कक्षा ने काम किया, प्रत्येक टीएम एक और केवल एक फ़ंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है। इसलिए अलग-अलग सेट -> अलग-अलग पहचान कार्य -> अलग-अलग टीएम जो उन्हें गणना करते हैं।

— user1435

user1435: आप अंतिम वाक्य में चीजों को उलट रहे हैं। प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन एक एकल फ़ंक्शन की गणना करती है, लेकिन प्रत्येक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन को असीम रूप से कई ट्यूरिंग मशीनों से प्राप्त किया जाता है।

— कार्ल मम्मर्ट

लेकिन अगर मेरा कार्य f (r) = f (r) के माध्यम से {मान्यता कार्य r} से मैप करता है = असीम रूप से कई TMs में से कोई भी जो इसकी गणना करता है, मेरे पास एक इंजेक्शन है, है ना? या मुझे लगता है कि मैं बस {TMs} को एक समतुल्य संबंध द्वारा विभाजित कर सकता हूं ~ जो TMs की अनंतता की पहचान करता है जो समान फ़ंक्शन की गणना करता है, और फिर उचित समतुल्य वर्ग में आर मैप करता है।

— user1435

कार्ल सही हैं, वे एक-से-एक पत्राचार में नहीं हैं, प्रत्येक सीई सेट असीम रूप से कई टीएम से मेल खाता है। ऑब्जेक्ट के अन्य सेटों को ध्यान में रखते हुए जैसा कि आप अपनी टिप्पणी में करते हैं, कुछ भी नहीं बदलता है, वे टीएम का सेट नहीं हैं।

— केवह

यह सही है।

हर अनंत सेट एक अनिर्णनीय सबसेट है, तो आपको प्रमुखता तर्क का उपयोग कर सकते हैं: । वास्तव में इसके अधिकांश उप-भाग अनिर्दिष्ट हैं (और आप अनिर्दिष्ट को भाषाओं के किसी भी गणनीय वर्ग, उदाहरण के लिए,अंकगणितीय,विश्लेषणात्मक, ...) से बदल सकते हैं। $\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

इस तर्क के बारे में बुरी बात यह है कि यह इस बारे में कोई जानकारी नहीं देता कि उपसमुच्चय कितना कठिन है। हम आमतौर पर एक सबसेट चाहते हैं जो जितना आसान हो सके। इसे प्राप्त करने का एक तरीका यह है कि कार्डिनलिटी तर्क के समान एक विकर्ण का उपयोग करके इस तथ्य का उपयोग किया जाता है कि निर्णायक है: $C$

परिभाषित , जहां है वें ce सेट। जाहिर है । इसके अलावा के लिए एक दैवज्ञ के साथ हल किया जा सकता और । इसलिए यदि पर्णनीय है तो एक सह-भाषा है। $D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— कावेह
स्रोत

"हर अनंत सेट में एक अचूक उपसमुच्चय है।" यह उस दावे से कमजोर है जिसे मैंने साबित करने की कोशिश की थी। मैंने यह साबित करने की कोशिश की कि सी में गैर-आरईएस सबसेट होना चाहिए, नॉन-डिसाइडेबल सब्मिट नहीं। क्या मेरा दावा अब भी सही है?

— user1435

हाँ। "अविवेकी" शब्द थोड़ा अतिभारित है (विकिपीडिया की अच्छी चर्चा है )। तो इस जवाब का मतलब है कि आप क्या साबित करने की कोशिश कर रहे हैं।

— डेविड लुईस

@ user1435, हां, वही तर्क भाषाओं के किसी भी गणनीय वर्ग के लिए काम करता है, मैंने इसे स्पष्ट करने के लिए प्रश्न को अपडेट किया।

— केवह