दो पुनरावृत्ति कॉल वाले पुनरावृत्ति समीकरणों को हल करना

Question

मैं एक खोजने की कोशिश कर रहा हूँ निम्नलिखित पुनरावृत्ति समीकरण के लिए बाध्य:$\Theta$

$$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$$

मुझे लगता है कि मास्टर प्रमेय उपप्रवर्तियों और विभाजनों की भिन्न राशि के कारण अनुचित है। इसके अलावा पुनरावृत्ति के पेड़ काम नहीं करते हैं क्योंकि कोई या टी ( 0 ) नहीं है ।$T(1)$$T(0)$

Comments

यदि आपके पास उस फॉर्म की पुनरावृत्ति है, तो एक आधार मामला होना चाहिए, सभी n < 100 के लिए कहें । यदि नहीं, तो यह नहीं कहा जा रहा है कि पुनरावृत्ति क्या हल करेगी: शायद टी ( एन ) = 2 मीटर सभी एन < 100 के लिए , जहां एम मूल समस्या का आकार है! (एक पुनरावृत्ति की कल्पना करें जो मूल तत्वों के सभी सबसेट पर आप जो भी पुनरावृत्ति कर रहे हैं उसकी निरंतर संख्या की तुलना में समाप्त होता है) दूसरे शब्दों में: कोई भी आधार मामला पुनरावृत्ति को हल करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं देता है। $T(n) \leq 42$$n < 100$$T(n) = 2^m$$n < 100$$m$

— एलेक्स दस कगार

Answer 1

हाँ, पुनरावर्तन पेड़ अभी भी काम करते हैं! यह बिल्कुल भी मायने नहीं रखता है कि बेस केस या T ( 1 ) या T ( 2 ) या T ( 10 100 ) में होता है या नहीं । यह भी मायने नहीं रखता कि आधार मामले का वास्तविक मूल्य क्या है; जो कुछ भी मूल्य है, वह एक स्थिर है।$T(0)$$T(1)$$T(2)$$T(10^{100})$

बड़े-थेटा चश्मे के माध्यम से देखा गया, पुनरावृत्ति ।$T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$

• पुनरावर्ती वृक्ष की जड़ का मान ।$n^2$

• मूल के तीन बच्चे हैं, जिनमें मान , ( n / 2 ) 2 , और ( n / 3 ) 2 हैं । इस प्रकार, सभी बच्चों के कुल मूल्य है ( 11 / 18 ) एन 2 ।$(n/2)^2$$(n/2)^2$$(n/3)^2$$(11/18) n^2$

• सनिटी चेक: रूट में नौ पोते हैं: चार वैल्यू , चार वैल्यू ( एन / 6 ) 2 , और एक वैल्यू ( एन / 9 ) 2 । उन मूल्यों का योग है ( 11 / 18 ) 2 एन 2 ।$(n/4)^2$$(n/6)^2$$(n/9)^2$$(11/18)^2 n^2$

• एक आसान प्रेरण सबूत संकेत मिलता है कि किसी भी पूर्णांक के लिए , 3 ℓ स्तर पर नोड्स ℓ कुल मूल्य है ( 11 / 18 ) ℓ एन 2 ।$\ell\ge 0$$3^\ell$$\ell$$(11/18)^\ell n^2$

• स्तर रकम, एक अवरोही ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में तो केवल सबसे बड़ा अवधि मायने रखती है।$\ell=0$

• हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ।$T(n) = \Theta(n^2)$

Answer 2

आप अधिक सामान्य अकरा-बाज़ी पद्धति का उपयोग कर सकते हैं ।

आपके मामले में, हम पाते हैं की आवश्यकता होगी ऐसी है कि$p$

$$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$$

(जो देता है )$p \approx 1.364$

और हमारे पास है

$$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$$

ध्यान दें कि आपको वास्तव में लिए हल करने की आवश्यकता नहीं है । आपको बस यह जानना है कि 1 < p < 2 है ।$p$$1 \lt p \lt 2$

एक सरल विधि सेट करने के लिए होगी , और यह साबित करने की कोशिश करें कि जी ( एक्स ) बाध्य है।$T(x) = x^2 g(x)$$g(x)$

Answer 3

आज्ञा देना पुनरावृत्ति के दाईं ओर शॉर्टहैंड होना। हम T ( n / 3 ) n T ( n / 2 ) का उपयोग करके f के लिए एक निचला और ऊपरी बाउंड ढूंढते हैं :$f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$$f$$T(n/3) \leq T(n/2)$

$$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$$

अगर हम निचले सम्मान का उपयोग करते हैं। ऊपरी पुनरावृत्ति की दाएँ हाथ की ओर के रूप में बाध्य करने पर हम पाते मास्टर प्रमेय द्वारा दोनों ही मामलों में। इस प्रकार, टी ( एन ) द्वारा ऊपर से घिरा है हे ( एन 2 ) द्वारा नीचे से और Ω ( एन 2 ) या, समतुल्य रूप, टी ( एन ) ∈ Θ ( n 2 ) ।$T'(n) \in \Theta(n^2)$$T(n)$$O(n^2)$$\Omega(n^2)$$T(n) \in \Theta(n^2)$

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1. पूर्ण प्रमाण के लिए, आपको यह साबित करना चाहिए कि एक बढ़ता हुआ कार्य है।$T$

Comments

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— राफेल

यह ट्रिक समान पुनरावृत्ति के लिए काम नहीं करेगा, जैसे , जिसे पुनरावर्तन पेड़ों से हल किया जा सकता है। (लेकिन यहां तक ​​कि पुनरावर्तन पेड़ भी टी ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + 4 T ( n / 3 ) + n 2 के लिए काम नहीं करेंगे , जिन्हें अक्र-बज्ज़ी से हल किया जा सकता है।)$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— जेएफई