MIN-2-XOR-SAT और MAX-2-XOR-SAT: क्या वे एनपी-हार्ड हैं?

Question

और की जटिलता क्या है ? वे पी में हैं? क्या वे एनपी-हार्ड हैं?$\text{MIN-2-XOR-SAT}$$\text{MAX-2-XOR-SAT}$

इसे और अधिक सटीक रूप देने के लिए, आइए

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_{i}^{n}C_i,$$

जहां और प्रत्येक क्लॉज फॉर्म या ।$\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$$C_i$$(x_i \oplus x_j)$$(x_i \oplus \neg x_j)$

समस्या का एक काम मिल रहा है कि संतुष्ट । यह समस्या , क्योंकि यह रैखिक समीकरण mod सिस्टम से मेल खाती है ।$\text{2-XOR-SAT}$$\mathbf{x}$$\Phi$$P$$2$

समस्या का एक काम मिल रहा है कि खंड है कि संतुष्ट हैं की संख्या में वृद्धि। समस्या का एक काम मिल रहा है कि कम करता खंड की संख्या कि संतुष्ट हैं। इन समस्याओं की जटिलताएँ क्या हैं?$\text{MAX-2-XOR-SAT}$$\mathbf{x}$$\text{MIN-2-XOR-SAT}$$\mathbf{x}$

MIN या MAX-True-2-XOR-SAT NP- कठिन से प्रेरित है ?

Answer 1

एक पुरानी पोस्ट का जवाब देने के लिए क्षमा करें

यह तय करना एक लय-2-XOR-सैट (सभी खंड तरह का कर रहे हैं की समस्या ) उदाहरण तृप्तियोग्य निर्धारण अगर एक ग्राफ द्विपक्षीय है की समस्या को कम किया जा सकता है, को देखने के लिए इस ।$({x_i}\oplus x_j)$

ऐसा करने के लिए कि हम सूत्र के प्रत्येक शाब्दिक के लिए एक नोड के साथ एक ग्राफ बनाते हैं और हम प्रत्येक शाब्दिक को एक दूसरे के साथ जोड़ते हैं यदि वे एक ही खंड में होते हैं (किनारों का खंड होता है)$G$

उदाहरण के लिए:

हम एक unsatisfiable सूत्र है, तो यह है कि $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

हम इस तरह एक ग्राफ है:

वह द्विदलीय नहीं है

तीन खंड हैं जो संतोषजनक हैं और इसलिए हमें सिर्फ एक बढ़त को खत्म करना है

अब, हम निर्धारित करने की समस्या को कम कर सकते हम एक अधिकतम द्विपक्षीय subgraph के साथ मिल सकता है अगर हम संतुष्ट कर सकते हैं निर्धारित करने की समस्या के लिए शीर्ष कश्मीर एक लय-MAX-2XOR-सैट सूत्र में खंड, देखना यह । और अधिकतम द्विदलीय सबग्राफ समस्या अधिकतम कटौती के बराबर है$k$$k$

कमी करने के लिए हम बस प्रत्येक शीर्ष के लिए एक नया शाब्दिक बनाते हैं और हम दो शाब्दिक को जोड़ने वाले प्रत्येक किनारे के लिए एक खंड बनाते हैं

उदाहरण के लिए:

हमारे पास यह ग्राफ है,

$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

$k$$k$

Comments

आपको निहितार्थ स्पष्ट करना चाहिए: चूंकि MAX-CUT NP-Hard है, MAX-XORSAT में कमी का मतलब है कि यह NP-Hard भी है।

— एंटीमनी

Answer 2

$(x_i\oplus x_j)$$x_i$$x_i\oplus x_j$$x_i\neq x_j$$x_i\oplus x_j$ क्या सही है यदि तत्संबंधित रेखाचित्रों को ग्राफ में अलग-अलग रंग दिए गए हैं।

यदि ग्राफ़ के सभी कोने 2 रंगों का उपयोग करके रंगीन किए जा सकते हैं और सामान्य किनारे के हिस्से के साथ दो में से कोई भी एक ही रंग नहीं दिया जाता है तो समीकरण संतोषजनक है।

लेकिन एक ग्राफ 2-रंगीय है अगर यह एक द्विदलीय ग्राफ है। और यह निर्धारित करना कि क्या एक ग्राफ द्विपदीय है बहुपद समय में किया जा सकता है। इसलिए समस्या पी में है, क्योंकि अगर हम बहुपद समय में यह निर्धारित कर सकते हैं कि ग्राफ द्विदलीय ग्राफ है तो यह सॉल्व है, अन्यथा यह सॉल्व नहीं है।

Comments

$(x_i \oplus x_j)$$(x_k \oplus \neg x_l)$$k,l$$(x_k \oplus \neg x_l)$

यह मुझे आपके उत्तर के साथ और अधिक गंभीर समस्या में लाता है। समस्या यह निर्धारित करने के लिए नहीं है कि क्या सूत्र संतोषजनक है; समस्या एक असाइनमेंट की पहचान करने के लिए है जो अधिकतम / न्यूनतम संख्या को संतुष्ट करता है। आपका एल्गोरिथ्म केवल परीक्षण करता है कि क्या सूत्र संतोषजनक है। इस प्रकार, यह 2-XOR-SAT को हल करता है, लेकिन यह MIN-2-XOR-SAT या MAX-2-XOR-SAT को हल नहीं करता है - लेकिन मुझे पहले से ही पता था कि 2-XOR-SAT पी में है, जैसा कि समझाया गया है। प्रश्न। क्या मैंने कुछ गलत समझा है?

— DW

$x_i\oplus x_k$

लेकिन मैं अभी भी नहीं देखता कि यह मेरी दूसरी टिप्पणी को कैसे संबोधित करता है। आपने एक समस्या का एक विशेष मामला हल किया है जिसके बारे में मैं नहीं पूछ रहा था। संक्षेप में, यह उत्तर उस प्रश्न का उत्तर नहीं देता है जो मैंने पूछा था।

— DW