वर्गों के साथ एक ऑर्थोगोनल बहुभुज टाइलिंग

Question

एक ऑर्थोगोनल बहुभुज (एक बहुभुज, जिसकी भुजाएँ कुल्हाड़ियों के समानांतर होती हैं) को देखते हुए, मैं आंतरिक-डिस्गॉइंट वर्गों का सबसे छोटा सेट ढूंढना चाहता हूं, जिसका संघ बहुभुज के बराबर होता है।

मुझे कुछ भिन्न समस्याओं के संदर्भ मिले, जैसे:

• वर्गों के साथ एक ऑर्थोगोनल बहुभुज को कवर करना - मेरी समस्या के समान, लेकिन कवर करने वाले वर्गों को ओवरलैप करने की अनुमति है। इस समस्या का एक बहुपद समाधान है ( औपरले, कॉन, केइल और ओ'रूर्के, 1988 ; बार-येहुडा और बेन-हनॉच, 1996 )।
• आयतों के लिए एक ऑर्थोगोनल बहुभुज को टाइलिंग / डीकंपोज़ करना / विभाजन करना । इस समस्या का एक बहुपद समाधान है ( Keil, 2000 ; एप्पस्टीन, 2009 )।
• आयतों के साथ एक ऑर्थोगोनल बहुभुज को कवर करना - इस समस्या को एनपी-पूर्ण ( कुलबर्सन और रेकवो, 1988 ) के रूप में जाना जाता है ।

मैं वर्गों के साथ न्यूनतम टाइलिंग के लिए एक एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहा हूं ।

Comments

एमएमएम मैं यह कल्पना कर सकता हूं कि यह एनपी-हार्ड है। मैं कुछ बनाने की कोशिश करूँगा।

— Realz Slaw

अनुमत छेद वाले एनपी-हार्ड संस्करण एनपी-हार्ड है, लेकिन बस-जुड़े ऑर्थोगोनल पॉलीगॉन (यानी बिना छेद वाले) के लिए इसमें बहुपद एल्गोरिथ्म है। हालांकि, अगर आपकी समस्या में आकार पूर्णांक हैं और आप वास्तव में न्यूनतम कवर और न्यूनतम कवर नहीं चाहते हैं, तो इस मामले में एक बहुपद एल्गोरिथ्म संभव है।

— परम 11

मम्म, मुझे एक प्रमाण की आवश्यकता है कि न्यूनतम वर्ग तर्कसंगत रूप से तैनात होंगे और तर्कसंगत आकार होंगे; या इससे भी अधिक, कि यदि इनपुट पूर्णांक-आकार और पूर्णांक-स्थित है, तो न्यूनतम वर्ग समान होगा (इसे SAT तक कम करने के लिए)। सहज रूप से, मैं अनुमान लगाता हूं कि यह सच है, क्या आपके पास इसे साबित करने के लिए कोई विचार है?

— Realz Slaw

@ ममौदअलीमोहामदी: क्या आप कागज़ के शीर्षक / लेखक प्रदान कर सकते हैं जहाँ वर्गों के साथ आयताकार बहुभुज (छेद के साथ या बिना) टाइलिंग की समस्या का अध्ययन किया जाता है (और हल किया जाता है)।

— Vor

btw, मैं आप राग का मतलब ग्रहण उम राग के बजाय अल ।

— Realz Slaw

Answer 1

मैं इस समस्या को दिखाने की कोशिश करूंगा कि एनपी-हार्ड, से कम करके 3 -SAT है ।$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

---

प्लानर से $\text{Planar-}3\text{-SAT}$

कुछ बुनियादी गैजेट्स

गैजेट्स ज्यामिति के आंतरिक विन्यास हैं जो हमें एक सर्किट में उपयोग के लिए फाटकों का निर्माण करने की अनुमति देंगे, जिससे हम को कम कर देंगे- 3 -सैट ।$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

4x3-गैजेट

इस गैजेट में दो मान्य न्यूनतम वर्ग-विभाजन-राज्य हैं :

               

^{लेफ्ट ए 4X3-गैजेट । मध्य और दाएं: दो संभव न्यूनतम वर्ग-विभाजन-राज्य ।}

5x4-गैजेट

यह गैजेट, बिल्कुल 4X3-गैजेट की तरह है , सिर्फ बड़े आयामों के साथ।

               

^{5 ए 4 -गैजेट को छोड़ दिया । मध्य और दाएं: दो संभव न्यूनतम वर्ग-विभाजन-राज्य ।}

endpoint-गैजेट

एक endpoint-गैजेट है एक 5x4-गैजेट । यह अक्सर एक गेट के समापन बिंदु / पिन के रूप में उपयोग किया जाता है । एक समापन बिंदु के दो राज्यों में से एक को सच माना जा सकता है, और दूसरा गलत। एक समापन बिंदु दो सिरों को चिह्नित करता है, एक को और दूसरे को F के रूप में । बड़े वर्ग द्वारा कवर किया जाने वाला अंत समापन बिंदु का मान है।$T$$F$

^{वाम: समापन बिंदु-गैजेट के वायरफ्रेम । केंद्र: सही-मूल्यवान समापन बिंदु। सही: गलत-मूल्यवान समापन बिंदु।}

i- वायर गैजेट

निहितार्थ तार के लिए एक आई-वायर गैजेट छोटा है ।

नियम:

• एक मैं-तार गैजेट से अधिक की लंबाई का एक अजीब-लंबाई आयत के होते हैं और की चौड़ाई 2 ।$2$$2$
• एक आई-वायर गैजेट में न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-राज्य हो सकते हैं , एक तरफ से धकेल दिया जाता है, दूसरा, या न ही; इस तीसरे राज्य में एक i- तार को स्थानीय रूप से असंबद्ध कहा जाएगा ।$3$

उदाहरण:

^{चित्रा 7: लंबाई 7 और चौड़ाई 2 का एक आई-तार गैजेट ।$7$$2$}

यहाँ इसका उपयोग कैसे किया जाता है:

       

^{चित्र 8,9 , बायाँ: दो छोरों पर वायरफ्रेम आई-वायर । अधिकार: संघ।}

अब, यदि एक समापन बिंदु सही स्थिति में है, तो यह दूसरे समापन बिंदु को एक धक्का-स्थिति में मजबूर करता है । उदाहरण:

       

^{वाम: स्क्वायर विभाजन आरेख; बायाँ स्विच नीचे है, " तार " को i-wire से नीचे खींचता है और अंत में, दूसरे स्विच ( समापन बिंदु ) को धकेलता है । सही: स्क्वायर विभाजन आरेख; बायाँ समापन बिंदु पूर्ण है, " तार " को i-wire के नीचे "धकेलता है" , और बायीं तरफ समापन बिंदु को "ऊपर" होने के लिए मजबूर करता है ।}

$A \implies \neg B$$A \implies B$

हालाँकि, यह असंबंधित मामला छोड़ देता है:

यदि हम दो आई-तारों को जोड़ते हैं , तो हम दो तरह से निहितार्थ प्राप्त कर सकते हैं, अनिवार्य रूप से एक बूलियन (इन) समानता:

       

तो, दो आई-तारों ज्यादा एक सर्किट की तरह, एक पूर्ण समानता संबंध ले जा सकता है - वास्तव में, यह है एक सर्किट। हम इन जोड़ियों का उपयोग एक प्रयोग करने योग्य तार के निर्माण के लिए करेंगे ।

$\frac{l-1}{2}+2$

i- तारों को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

तार

एक तार में एक जोड़ी आई-तार होता है जो प्रत्येक समापन बिंदु पर एक ही द्वार से जुड़ा होता है ।

• I-तारों लाल और हरे रंग का है।
• $3$
• प्रत्येक गेट पिन में एक हरा और लाल संपर्क होगा; एक तार सही ढंग से कनेक्ट होना चाहिए।
• अपरिवर्तनीय नियम: एक आई-वायर को दूसरे आई-वायर के विपरीत दिशा में धकेला जाता है, प्रत्येक गेट इस बात को मानता है, और यह निश्चित करता है (जब तक कि अन्यथा नोट न किया गया हो)।
• चूंकि प्रत्येक तार में दो-तरफ़ा निहितार्थ होता है, यह सर्किट में तार की तरह गेट से गेट तक के मूल्यों को वहन करता है।
• हर तार को दोनों सिरों पर एक गेट से जोड़ा जाना चाहिए। । इसका असफल होना कुछ द्वारों की मान्यताओं को बर्बाद कर सकता है जिनका मैं वर्णन करता हूं, और उपरोक्त नियम; हालांकि, फाटकों है कि अंतिम बिंदु सुराग भर में सुरक्षित हैं - आप इन करने के लिए आवारा तारों कनेक्ट कर सकते हैं अंतिमबिंदुओं यह गेट को बर्बाद कर के बारे में चिंता किए बिना।
• तार विषम-लंबाई के होने चाहिए, जिसमें किसी भी सर्किट से जुड़ता है; हालाँकि, मैं नीचे एक विषम-छोड़ें-द्वार का वर्णन करूंगा जो एक समान-लंबाई वाले तार को विषम-लंबाई होने देता है।

चित्र :

^{ऊपर: एक तार ।}

       

^{बाएं और दाएं: एक तार के दो संभावित न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-राज्य । ध्यान दें कि यदि तार केवल यह लंबाई है, तो यह दाएं या बाएं से हटने में सक्षम नहीं होगा, और एक वर्ग को छोटे टुकड़ों में तोड़ना होगा।}

तारों को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

मोड़-गेट : एक तार झुकना

       

^{वाम: तार-फ्रेम दृश्य। राइट: यूनियन व्यू।}

4X3-गैजेट के उपयोग पर ध्यान दें । इसका उपयोग लाल सीसे को विषम लंबाई को ठीक करने के लिए किया जाता है।

निम्नलिखित मोड़ के दो संभावित न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-अवस्थाएं हैं :

       

^{बाएं और दाएं: एक झुकने वाले तार के दो संभावित न्यूनतम-वर्ग-वर्ग-विभाजन-राज्य ।}

गेट को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है। जाहिर है, दूसरी दिशा के लिए काम करने के लिए इस द्वार को प्रतिबिंबित किया जा सकता है।

एक तार को तिरछा करना

वायर ओवर शिफ्ट करना आसान है। वायरफ्रेम चित्रण:

नामित-मान-गेट

एक नाम-मूल्य-गेट अनिवार्य रूप से एक तार संपर्क के साथ एक गेट के रूप में एक समापन बिंदु है:

विषम-स्किप-गेट : विषम एक तार लंघन

कभी-कभी यह केवल विषम-लंबाई वाले तारों के लिए असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कि थोड़ा सा विस्तार थोड़ा कष्टप्रद है। यहां 4X3-गेट का उपयोग करते हुए एक समान समाधान है :

इसलिए, इसे एक गेट में बदलकर, हमें ऑड-स्किप-गेट (वायरफ्रेम में) मिलता है:

गेट को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

ट्विस्ट-गेट : ट्विस्टिंग ए वायर

एक गेट के साथ उपयोग के लिए गलत पक्षों पर आपको लाल और काले आई-तार मिलते हैं । इस मामले में, विपरीत पक्षों को लाल और काले आई-तारों को मोड़ने के लिए एक ट्विस्ट-गेट प्रदान किया जाता है ।

वायरफ्रेम चित्रण:

यह काम करता है अपने आप को समझाने:

       

^$A$

गेट को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

स्प्लिट-गेट : एक तार को विभाजित करना

एक तार को विभाजित करना, वायरफ्रेम:

अपने आप को समझाएं कि यह काम करता है:

^$A$

^$A$

नोट: फाड़नेवाला के अंदर और बाहर आने वाले प्रत्येक तार को एक अंत बिंदु से कहीं न कहीं जुड़ा होना चाहिए , ताकि वह अनियंत्रित बना रहे। वैकल्पिक रूप से, आप स्प्लिटर के लीड के प्रत्येक जोड़े में एंडपॉइंट जोड़ सकते हैं।

गेट को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

नहीं-गेट

नहीं गेट एक तार लेता है और एक तार को आउटपुट करता है जिसमें रिवर्स निहितार्थ होता है। यह मूल रूप से एक ट्विस्ट-गेट है , सिवाय इसके कि यह तारों के रंग को रिले करता है। इस तरह नहीं दिखता गेट :

और दो संभावित राज्यों का एक दृश्य:

       

गेट को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

खंड-गेट

के लिए खंड-गेट , हम पहले परिचय खंड-गैजेट :

^$3$

यह गेट जैसा दिखता है:

$3$

स्पष्टीकरण:

2. क्लॉज-गैजेट पर प्रारंभ करें और तीर का पालन करें।
3. गैर-तीर-पंक्तियों का मतलब है कि यह एक सर्किट का हिस्सा है, लेकिन इसे गेट द्वारा एक राज्य में मजबूर नहीं किया जाता है।
4. क्लॉज़-गैजेट की स्थिति किसी समापन बिंदु के मान को सही मानने के लिए बाध्य करती है ।

$3\text{-CNF}$

गेट को आवश्यकतानुसार उन्मुख किया जा सकता है।

कमी

$\Phi(\mathbf x)$$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_i^n C_i,\\ C=\left\{(x_j \vee x_k \vee x_l)\right\}$$

एक दृश्य सहायता (मूल स्रोत: टेरेन गार्डिंग एनपी-हार्ड (पीडीएफ) है , जिसे टिक्ज़ में पुन: प्रस्तुत किया गया है):

फिर:

1. $x_i\in\mathbf x$$x_i$$\neg x_i$
2. गेट्स को एक-दूसरे के साथ एक -गेट से कनेक्ट करें , ताकि वे तार्किक रूप से एक-दूसरे के मूल्यों को नकार दें।
3. प्लेबर्स-एम्बेडिंग में उनके स्थानों पर चर 'गेट्स' बहुभुज रखें।
4. प्रत्येक क्लॉज के लिए, प्लानर-एम्बेडिंग में क्लॉज के स्थान पर एक क्लॉज-गेट रखें ।
5. ऊपर वर्णित फाटकों का उपयोग करते हुए, सभी चर को उनके खंड से कनेक्ट करें।
6. गेट के पॉलीगॉन (पूरे सर्किट) के परिणामस्वरूप संघ पर एक न्यूनतम-वर्ग-पैरेन्मेंटिंग-एल्गोरिथ्म चलाएं ।
7. यदि एल्गोरिथ्म सभी गेट के न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-राज्य आकार (साझा-कोनों के लिए घटाना) का योग लौटाता है तो यह संतोषजनक है। यदि यह संतोषजनक नहीं है, तो यह विवश गैजेट को छोटे वर्गों में विभाजित करने के लिए मजबूर करेगा, इस प्रकार सर्किट को विभाजित करने के लिए आवश्यक वर्गों की संख्या में वृद्धि होगी।

यह काम क्यों करता है

• प्रत्येक गैजेट में एक न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-राज्य आकार होता है; उस गैजेट का न्यूनतम वर्ग-विभाजन एक निश्चित आकार है।
• कुछ गैजेट में इस आकार के कई राज्य होते हैं; इनमें से प्रत्येक राज्य वैध न्यूनतम-वर्ग-विभाजन हैं ।
• जब गैजेट्स को केवल कोनों में संयोजित किया जाता है, तो गैजेट्स के न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-राज्यों का योग होता है * फिर भी उनमें से यूनियन का न्यूनतम-वर्ग-विभाजन-राज्य ; आप इसे सहजता से देख सकते हैं: कोने में शामिल होने से एक वर्ग के लिए पर्याप्त जगह नहीं मिलती है कि वह दूसरे गैजेट से एक वर्ग के साथ विस्तार / जुड़ सके।
• जबकि कोने में गैजेट्स को संयोजित करने से कुल न्यूनतम-वर्ग-विभाजन आकार में कमी नहीं होती है , यह गैजेट को एक-दूसरे के साथ संबंधित और विवश करता है ।
• ऊपर दिखाए गए फाटकों के साथ, आप राज्यों को पर्याप्त रूप से विवश कर सकते हैं, ताकि यदि तार्किक सूत्र असंतोषजनक हो, तो एक या अधिक गैजेट को और भी छोटे वर्गों में तोड़ना होगा, और न्यूनतम वर्ग-विभाजन आकार में वृद्धि होगी ।

ग्राफ के स्रोत

• squaretilings1.tex ( रिटेलटेक्स )
• squaretilings2.tex ( रिटेलटेक्स )
• clausegate.tex ( रिटेलटेक्स )

आप "s", "m", "l" को हटाकर बड़ी छवियां भी देख सकते हैं, जो imgur urls के प्रत्यय हैं। : उदाहरण के लिए, आप की यह एक बड़ी छवि देख सकते हैं http://i.stack.imgur.com/6CKlGs.jpg पर जाकर http://i.stack.imgur.com/6CKlG.jpg । पहले "लापता" को नोटिस करें .jpg।

Comments

वाह, यह बिल्कुल प्रभावशाली है। दुर्भाग्य से, मैं कमी की जांच करने के लिए पर्याप्त स्मार्ट नहीं हूं, लेकिन मैं इसके लिए आपका शब्द लेता हूं :) धन्यवाद!

— ईगल सहगल-हलेवी

इसलिए, टाइलिंग में स्थिति कवर करने की स्थिति के विपरीत है: कवरिंग में, स्क्वायर-कवरिंग बहुपद है और आयत-आवरण एनपी-हार्ड है, जबकि टाइलिंग में, स्क्वायर-कवरिंग एनपी-हार्ड है और आयताकार कवर बहुपद है।

— ईगल सहगल-हलेवी

कुछ फॉलोअप सवालों के जवाब देने और यह साबित करने के लिए कि मेरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले गैजेट वास्तव में न्यूनतम वर्ग हैं: यह कैसे साबित करें कि 3X2 आयत के न्यूनतम वर्ग विभाजन में 3 वर्ग हैं । लगभग-वर्ग आयत का न्यूनतम वर्ग विभाजन क्या है? | 4x3 और 5x4 आयतों के लिए न्यूनतम वर्ग विभाजन ।

— Realz Slaw

Answer 2

$N$$O(N^{3/2})$

"वर्गों के साथ ऑर्थोगोनल बहुभुज को कवर करना।" एलजे औपरले और एचई कोन और जेएम कील और जोसेफ ओ'रोरके। प्रोक। 26 वें एलर्टन कॉन्फिडेंट। Commun। कम्पूटर पर नियंत्रण करें। , पीपी 97-106, 1988. ( पीडीएफ स्कैन डाउनलोड करने के लिए लिंक )

हालाँकि, परिणामी आवरण में ओवरलैप करने वाले वर्ग शामिल हो सकते हैं। आप एक टाइलिंग की तलाश कर रहे हैं, जहां वर्गों को ओवरलैप करने की अनुमति नहीं है, इसलिए आपकी समस्या काफी समान नहीं है।

Comments

lol मैं एक सूत्रीकरण के माध्यम से आधा था :(; हालांकि बहुत दिलचस्प है। आपका स्वागत है cs.SE पर।

— Realz Slaw

अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो यह पेपर चौकों को ओवरलैप करने की अनुमति देता है (यानी यह एक कवरिंग समस्या है)। मुझे उस मामले में दिलचस्पी है जहां वर्गों को ओवरलैप करने की अनुमति नहीं है (यानी यह विभाजन / टाइलिंग समस्या है)।

— एरेल सेगल-हलेवी

@ErelSegalHalevi: ओह, मुझे खेद है, मैंने आपके प्रश्न को ध्यान से नहीं पढ़ा।

— जोसेफ ओ'रूर्के ने

ओह फिर मैं जारी रखूंगा: D

— Realz Slaw