क्या सह-पूर्णता एनपी-कठोरता का अर्थ है?

Question

क्या सह-पूर्णता एनपी-कठोरता का अर्थ है? विशेष रूप से, मुझे एक समस्या है जो मैंने सह-पूर्ण होने के लिए दिखाई है। क्या मैं यह दावा कर सकता हूं कि यह एनपी-हार्ड है? मुझे एहसास है कि मैं coNP- कठोरता का दावा कर सकता हूं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह शब्दावली मानक है।

मैं इस दावे के साथ सहज हूं कि यदि एक NP- पूर्ण समस्या coNP की है, तो NP = coNP की है। हालांकि, इन व्याख्यान में कहा गया है कि अगर एक NP- हार्ड समस्या coNP की है, तो NP = coNP की है। यह तब सुझाव देगा कि मैं यह दावा नहीं कर सकता कि मेरी समस्या एनपी-हार्ड (या कि मैंने coNP = NP सिद्ध की है, जिसे मुझे अत्यधिक संदेह है)।

शायद, मेरी सोच में कुछ गड़बड़ है। मेरा विचार है कि एक coNP- पूर्ण समस्या NP- कठिन है क्योंकि:

1. एनपी में हर समस्या को इसके पूरक के लिए कम किया जा सकता है, जो कोएनपी से संबंधित होगा।
2. coNP में पूरक समस्या मेरी coNP- पूर्ण समस्या को कम करती है।
3. इस प्रकार हमारे पास NP की हर समस्या से लेकर मेरे coNP- पूर्ण तक की कमी है, इसलिए मेरी समस्या NP- हार्ड है।

Comments

एक शब्द में, नहीं! कम से कम वर्तमान ज्ञान पर आधारित है। प्रश्न P = से निकटता से जुड़ा है? NP (या अधिक सख्ती से coNP =? NP जो खुला भी है)। ध्यान दें कि यदि coNP is NP सिद्ध है तो P also NP भी सिद्ध है क्योंकि P पूरक के तहत बंद है।

— vzn

Answer 1

आप दावा करते हैं कि एनपी में हर समस्या को इसके पूरक के लिए कम किया जा सकता है , और यह ट्यूरिंग कटौती के लिए सही है, लेकिन (शायद) कई-एक कटौती के लिए नहीं। एक कई-एक से कमी के लिए एल 2 एक polytime समारोह है च ऐसा है कि सभी के लिए एक्स , एक्स ∈ एल 1 iff च ( एक्स ) ∈ एल 2 ।$L_1$$L_2$$f$$x$$x \in L_1$$f(x) \in L_2$

अगर कुछ समस्या coNP में एनपी कठिन थे, तो किसी भी भाषा के लिए एम ∈ एन पी वहाँ एक polytime समारोह होगा च ऐसा है कि सभी के लिए एक्स , एक्स ∈ एम iff च ( एक्स ) ∈ एल । के बाद से एल coNP में है, इस के लिए एक coNP एल्गोरिथ्म देता एम , दिखा रहा है कि एनपी ⊆ coNP, और इसलिए एनपी = coNP। अधिकांश शोधकर्ता इस मामले की उम्मीद नहीं करते हैं, और इसलिए कोएनपी में समस्याएं शायद एनपी-हार्ड नहीं हैं।$L$$M \in NP$$f$$x$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$$=$

ट्यूरिंग कटौती के बजाय हम कार्प कटौती का उपयोग करते हैं ताकि हम एनपी-हार्ड और कोएनपी-हार्ड समस्याओं के बीच अंतर कर सकें। देखें इस जवाब (ट्यूरिंग कटौती है कि जवाब में कुक कटौती कहा जाता है) अधिक जानकारी के लिए।

अंत में, coNP- हार्ड और coNP- दोनों मानक शब्दावली हैं, और आप उनका उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

Comments

"लेकिन कई-एक कटौती के लिए नहीं" - क्या तय करने की समस्या नहीं है ? = coNP वास्तव में कि हम नहीं जानते कि क्या कर रहे हैं ( सह ) NP -language से इसके पूरक करने के लिए कर-कटौती ? $\text{NP} \overset{?}{=} \text{coNP}$$\text{co}$$\text{NP}$

— जी। बैच

यह सही है, और यह भी कि मैं उत्तर में क्या दिखाता हूं। जब मैंने कहा कि यह कई-एक कटौती के लिए सही नहीं है, तो मेरा मतलब यह कड़ाई से तार्किक अर्थों में नहीं था, बल्कि इस अर्थ में था कि "आप जिस कमी के बारे में सोच रहे हैं वह ट्यूरिंग में कमी है, लेकिन कई-एक कमी नहीं है" ।

— युवल फिल्मस

ओह ठीक है, हाँ शायद यही समस्या है।

— जी। बैच

धन्यवाद। इसके लिए एक अच्छा संदर्भ क्या है? कुक कटौती के तहत "NP = coNP" के लिए विशेष रूप से, लेकिन यह माना जाता है कि वे अलग-अलग wrt Karp कटौती हैं "?

— ऑस्टिन बुकानन

यह विश्वास है कि एनपी coNP से अलग है, बल्कि व्यापक है। कभी-कभी इसका श्रेय स्टीफन कुक को दिया जाता है। यह एनपी-कठोरता कुक की कटौती के तहत coNP- कठोरता के समान है जो परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

— युवल फिल्मस

Answer 2

तर्क की उस रेखा के साथ समस्या पहला कदम है। नियतात्मक मामले में, आप तय कर सकते हैं एक टीएम के साथ एम आप तय कर सकते iff एक्स ∉ ¯ एल इसके साथ, क्योंकि जिस तरह से यह करने के लिए बस के उत्पादन में थोड़ा फ्लिप है एम इसके उत्पादन के बाद से ही पर निर्भर करता है एक्स (यदि हम एन पी की सत्यापनकर्ता परिभाषा के साथ तुलना करें )।$x \in L$$\text{M}$$x \notin \overline{L}$$\text{M}$$x$$NP$

सत्यापनकर्ता परिभाषा का उपयोग करते हुए nondeterministic मामले में, यह ज्ञात नहीं है कि क्या आप coNP -verifier या इसके विपरीत से -verifier का निर्माण कर सकते हैं, और समस्या यह है कि वे परिभाषाओं में विभिन्न क्वांटिफायर हैं जिन्हें सत्यापनकर्ता मशीनों को पूरा करना होगा। चलो एल ∈ coNP , तो हम एक सत्यापनकर्ता DTM एम ऐसी है कि:$\text{NP}$$\text{coNP}$$L \in \text{coNP}$$\text{M}$

$$x \in L \iff \forall z \in \{0,1\}^{p(|x|)}:\text{M}(x,z) = 1$$

के लिए , सत्यापनकर्ता एम ' पूरा करना होगा$\overline{L}$$\text{M'}$

$$x \in \overline{L} \iff \exists z \in \{0,1\}^{q(|x|)}:\text{M'}(x,z) = 1$$

क्यों हम तो बस उपयोग नहीं कर सकते -verifier एम ' भाषा की कश्मीर एक निर्माण करने के लिए coNP -verifier एम के लिए कश्मीर ? समस्या यह है ∀ -quantifier एक करने के लिए आवश्यक coNP -verifier। एनपी -verifier एम ' आप दे सकते हैं 0 के लिए कुछ के लिए भी (गलत) प्रमाण पत्र एक्स ∈ कश्मीर ताकि आप से नहीं जा सकते, ∃ को ∀ ।$\text{NP}$$\text{M'}$$\text{K}$$\text{coNP}$$\text{M}$$\text{K}$$\forall$$\text{coNP}$$\text{NP}$$\text{M'}$$0$$x \in \text{K}$$\exists$$\forall$

शायद अधिक अमूर्त: यह स्पष्ट नहीं है कि (बहुपदीय समय में) एक मशीन का निर्माण कैसे किया जाता है जो किसी भाषा के तत्वों को ठीक से पहचानती है, फिर चाहे कोई भी प्रमाण पत्र उनके साथ आए, एक मशीन से जो किसी भाषा के तत्वों को पहचानती है जिसके लिए कुछ प्रमाणपत्र है यह, लेकिन जिसके लिए भी कुछ प्रमाण पत्र काम नहीं करते हैं।

Comments

हैरानी की बात है, हालांकि, यह ज्ञात है कि एनएल = coNL, NPSPACE = coNPSPACE, और सामान्य रूप से अंतरिक्ष बाधाओं द्वारा परिभाषित गैर-निर्धारक वर्ग पूरक के तहत बंद हैं। यह Immerman-Szelepcsényi प्रमेय है।

— युवल फिल्मस

दिलचस्प है, मुझे नहीं पता था कि - लेकिन इसके पीछे का अंतर्ज्ञान संभवतः वह है जो हमेशा अंतरिक्ष कक्षाओं के साथ होता है: हम केवल अंतरिक्ष का पुन: उपयोग कर सकते हैं।

— जी। बैच

@ जी.बच वास्तव में नहीं, नहीं। NL = सह NL कि दिखा द्वारा स्थापित है - टी -गैर-कनेक्टिविटी NL में है। बड़े अंतरिक्ष वर्गों के लिए (प्रमेय केवल कम से कम लॉग एन के लिए स्थान के लिए लागू होता है ), आप प्रासंगिक ट्यूरिंग मशीन के कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ पर s - t - (गैर) -नेक्टिविटी का उपयोग करते हैं। $s$$t$$\log n$$s$$t$

— डेविड रिक्टरबी