ILP से SAT में पॉली-टाइम की कमी?

Question

इसलिए, जैसा कि ज्ञात है, ILP की 0-1 निर्णय समस्या NP- पूर्ण है। यह एनपी में दिखाना आसान है, और मूल कमी सैट से थी; तब से, कई अन्य एनपी-पूर्ण समस्याओं में ILP फॉर्मूलेशन (जो उन समस्याओं से ILP में कटौती के रूप में कार्य करता है) को दिखाया गया है, क्योंकि ILP बहुत ही सामान्य रूप से उपयोगी है।

कटौती से आईएलपी ज्यादा या तो अपने आप कर सकते हैं या नीचे ट्रैक करने के लिए कठिन लग रहे हैं।

इस प्रकार, मेरा सवाल यह है कि क्या किसी को ILP से SAT में पॉली-टाइम की कमी का पता चलता है, यानी यह दर्शाता है कि SAT का उपयोग करके किसी भी 0-1 ILP निर्णय समस्या को कैसे हल किया जाए?

Answer 1

0-1 ILP के रूप में तैयार:

क्या कोई सदिश , बाधाओं के अधीन:$\mathbf{x}$

$$\left.\begin{array}{rrrrr|rr} a_{11} x_1 & + &a_{12} x_2 & ... + & a_{1n} x_n\le b_1 \\ a_{21} x_1 & + &a_{22} x_2 & ... + & a_{2n} x_n\le b_2 \\ ...\\ a_{m1} x_1 & + &a_{m2} x_2 & ... + & a_{mn} x_n\le b_m \\ \end{array}\right.$$

X का डोमेन:$\forall_{x_j \in \mathbf{x}} x_j\in \{0,1\}$

K-sat में कमी:

पहले सर्किट में कमी को पूरा करें:

पहली पंक्ति से शुरू करें, में प्रत्येक बिट का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक बूलियन वैरिएबल बनाएं और लिए एक बूलियन वैरिएबल । फिर लिए परिवर्तनशील । पंक्ति जोड़कर एक अतिरिक्त सर्किट बनाएं (अपना पसंदीदा चुनें)।$a_{1j}$$x_j$$b_1$

फिर एक तुलना सर्किट जो से कम होने की ।$b_1$

इन दोनों सर्किटों को CNF में बदलें, चर और बाद से वे दिए गए हैं।$a_{1j}$$b_1$

सभी पंक्तियों के लिए दोहराएं, लेकिन उनके बीच चर का पुन: उपयोग करें।$x_j$

अंतिम CNF में सभी बाधाएँ होंगी।

Comments

आह, मैं अब देख रहा हूं ... मैं किसी तरह सर्किट के माध्यम से जाने के विकल्प के बारे में भूल गया था .... आपकी मदद के लिए बहुत बहुत धन्यवाद।

— कोडेटाकु

Answer 2

यह पहले से ही उत्तर और स्वीकृत प्रश्न के लिए कुछ प्रकार का नेक्रो-उत्तर है, लेकिन मैं ध्यान देना चाहता हूं, कि वास्तव में आसान तरीका है।

इस तरह की असमानताओं पर विचार करें:

$5*x_1 + 2*x_2 + 3*x_3 \leq 6$

आप इस असमानता के लिए सभी नो-वैक्टर का आसानी से परीक्षण कर सकते हैं: , और अन्य ठीक हैं।$(1, 1, 1)$$(1, 1, 0)$$(1, 0, 1)$

पहला वेक्टर अर्थ है कि तीनों सत्य नहीं हो सकते हैं: और हम इसे एक असंबद्ध के रूप में फिर से लिख सकते हैं ।$(1, 1, 1)$$\neg(x_1 \land x_2 \land x_3)$$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor \neg x_3)$

इस तरह से आप नो-वैक्टर से 3 क्लॉज़ बन सकते हैं: , और$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor \neg x_3)$$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor x_3)$$(\neg x_1 \lor x_2 \lor \neg x_3)$

सभी असमानताओं का पता लगाने और खंड एकत्र करने से आपको अंत में cff मिलेगा। अक्सर यह cnf WAY ​​SIMPLER होगा, फिर एक, जो स्वीकृत उत्तर से प्राप्त होता है। लागत हालांकि, पूर्व-प्रसंस्करण कठिन है।