से प्रत्यक्ष कमी

हम जानते हैं कि $st\text{-}non\text{-}connectivity$ में है $\mathsf{NL}$ द्वारा Immerman-Szelepcsényi प्रमेय प्रमेय और के बाद से $st\text{-}connectivity$ है इसलिए है कई-एक लॉग-स्पेस reducible से $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $st\text{-}non\text{-}connectivity$ $st\text{-}connectivity$ । लेकिन क्या कोई प्रत्यक्ष / कमी है जो ट्यूरिंग मशीनों के कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ के माध्यम से ? $\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (उर्फ ): $stPATH$

निर्देशित ग्राफ और कोने और को देखते हुए , $G$ $s$ $t$

वहाँ शीर्ष से एक निर्देशित पथ है को शिखर ? $s$ $t$

स्पष्टीकरण:

आप मान सकते हैं कि एक ग्राफ इसके आसन्न मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है (हालांकि यह आवश्यक नहीं है क्योंकि ग्राफ़ के मानक प्रतिनिधित्व एक-दूसरे के लिए लॉग-स्पेस परिवर्तनीय हैं।)

यह ness of के सबूत को अनपैक करना संभव है और इसे सबूत में स्थानांतरित करें ताकि सबूत इसे एक प्रमेय के रूप में उपयोग न करे। हालांकि यह अभी भी अनिवार्य रूप से एक ही निर्माण है। मैं जो देख रहा हूं वह यह नहीं है , मैं एक वैचारिक रूप से प्रत्यक्ष कमी चाहता हूं। मुझे केस के साथ एक सादृश्य दें । हम विभिन्न समस्याओं को एक-दूसरे की समस्याओं को कम करके इस तथ्य का उपयोग करके कर सकते हैं कि वे इसलिए और कमी करें $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $st\text{-}connectivity$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$ $SAT$ $SAT$ दूसरी समस्या को कम करता है। और हम प्रत्यक्ष कमी प्राप्त करने के लिए इन दोनों कटौती को अनपैक और संयोजित कर सकते हैं। हालाँकि यह अक्सर एक वैचारिक रूप से बहुत सरल कमी देना संभव है जो इस मध्यवर्ती चरण से नहीं जाता है (आप इसका उल्लेख कर सकते हैं, लेकिन यह अभी भी वैचारिक है)। उदाहरण के लिए, या या को कम करने के लिए $HamPath$ $VertexCover$ को कि हम यह नहीं कह में है और इसलिए करने के लिए कम कर देता है $3\text{-}Coloring$ $SAT$ $HamPath$ $\mathsf{NP}$ $SA$ के बाद से है । हम एक सरल सहज सूत्र दे सकते हैं जो संतोषजनक है यदि ग्राफ में हैमिल्टन मार्ग है। एक अन्य उदाहरण है, हम में अन्य समस्याओं से कटौती की है को जो नहीं है पर भरोसा करते हैं की सत्ता $SAT$ $\mathsf{NP\text{-}hard}$ $\mathsf{NL}$ $st\text{-}Connectivity$ $\mathsf{NL\text{-}complete}$ , जैसे , , आदि, वे इनपुट ग्राफ पर संशोधन शामिल हैं (और कर किसी भी ट्यूरिंग मशीनों का संदर्भ नहीं है जो उन्हें हल कर रहा है)। $st\text{-}Connectivity$ $Cycle$ $StronglyConnected$

मुझे अभी भी ऐसा कोई कारण नहीं दिख रहा है कि ऐसा क्यों नहीं किया जा सकता है। मैं इस तरह की कमी की तलाश कर रहा हूं।

यह मामला है कि यह संभव नहीं है और किसी भी कमी धारणात्मक के माध्यम से जाना होगा हो सकता है सत्ता परिणाम। हालाँकि मैं यह नहीं देखता कि ऐसा क्यों होना चाहिए, क्यों स्थिति मामले से अलग होगी । स्पष्ट रूप से मेरे प्रश्न का नकारात्मक उत्तर देने के लिए हमें इस बारे में और अधिक औपचारिक होने की आवश्यकता होगी कि कोई प्रमाण वैचारिक रूप से कब होता है $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $\mathsf{NP}$ एक और प्रमाण शामिल करें (जो प्रमाण सिद्धांत प्रश्न है कि AFAIK संतोषजनक तरीके से नहीं बसा है)। हालांकि ध्यान दें कि सकारात्मक उत्तर के लिए किसी को इस तरह की औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता नहीं है और मैं उम्मीद कर रहा हूं कि ऐसा ही हो। (मैं इस बारे में सोचूंगा कि जब मैं अधिक खाली समय पाता हूं, तो मैं विश्वासयोग्य तरीके से कैसे औपचारिक रूप से पूछ रहा हूं। अनिवार्य रूप से मैं एक कमी चाहता हूं जो काम करेगा भले ही हमें पता नहीं था कि समस्या लिए पूरी है ।) $\mathsf{NL}$

Immerman-Szelepcsényi का सबूत प्रमेय ठीक है, का उपयोग कर का उपयोग करते हुए की सत्ता और एक के विन्यास ग्राफ मशीन है कि मैं क्या करने से बचना चाहते है। $\mathsf{NL\text{-}complete}$ $stPATH$ $\mathsf{NL}$

complexity-theory reductions space-complexity

— कावेह
स्रोत

@ राफेल, मैं गणितीय अवधारणाओं के नाम के लिए एक अलग फ़ॉन्ट का उपयोग करना पसंद करता हूं जैसे कि जटिलता वर्ग साहित्य में सामान्य अभ्यास है। कृपया उन्हें न निकालें।

— केवह

क्षमा करें, लेकिन यह भयानक लग रहा है । यदि आपको एक अलग फ़ॉन्ट का उपयोग करना चाहिए, लेकिन तब लगातार करें: आप mathsfमानक गणित फ़ॉन्ट के साथ मिश्रण करते हैं, और यहां तक कि एक शब्द में विभिन्न फ़ॉन्ट का उपयोग करते हैं!

— राफेल

@ राफेल, मैं उन्हें एक सुसंगत तरीके से उपयोग कर रहा हूं। मैथ्सफ का उपयोग जटिलता वर्गों को अलग करने के लिए किया जाता है। मैं "पूर्ण" और "कठिन" को पाठ भाग में ले जाने के बारे में सोचूंगा (इसके साथ समस्या यह है कि यह उन्हें अलग-अलग फोंट का उपयोग करने के लिए टाइप करेगा।)

— केवह

"सुसंगत" "टाइपोग्राफिक रूप से मनभावन" के बराबर नहीं है। (इसके अलावा, भेद की वास्तव में यहाँ ज़रूरत नहीं है, विशेष रूप से जटिलता वर्गों और समस्याओं के बीच एक नहीं है (जो, दर्द को जोड़कर, कच्चे गणित फ़ॉन्ट में भयानक दिखता है)।

— राफेल

@ राफेल, निश्चित रूप से, मैंने ऐसा दावा नहीं किया। जिस तरह से मैं उनका उपयोग करता हूं, उसके बारे में आपने "असंगतता" पर आपत्ति जताई, मैं सिर्फ यह बताना चाहता था कि ऐसा नहीं है। मेरी शैली गणित की अवधारणा के नामों को अलग करने के लिए है जैसे कि

गणित / पाठ के बाकी हिस्सों से और मैं इसे सुसंगत तरीके से करना चाहूंगा। वैसे भी, मैं इस बारे में सोचूंगा कि शैली को संरक्षित करते हुए इसे टाइपोग्राफिक रूप से अच्छा कैसे बनाया जाए। P $\mathsf{P}$

— केवह

यह संभव है, अगर गन्दा है, तो आप जिस कमी को चाहते हैं, उसके लिए इमरमैन-सेज़ल पीसीसैनी प्रमेय के प्रमाण को रूपांतरित करें। सेंट-कनेक्टिविटी की एनएल-पूर्णता का उपयोग करने की बिल्कुल आवश्यकता नहीं है।

एक उदाहरण को देखते हुए , हम एक नया ग्राफ का निर्माण । की "प्रमुख कोने" रिकॉर्ड निम्न जानकारी: वर्तमान दूरी से , अधिक से अधिक दूरी के कोने की संख्या , दूरी के कोने की संख्या $G=(V,E),s,t$ $G'=(V',E'),s',t'$ $V'$ $d$ $s$ $d-1$ $d-1$ वर्तमान शिखर हम अनुमान लगा रहे हैं अब तक की गिनती, अगर यह ज्यादा से ज्यादा दूरी है , अधिक से अधिक दूरी के कोने की संख्या $d-1$ $d$ गिना अब तक, वर्तमान शिखर हम निर्धारित करने कर रहे हैं कि क्या यह अधिक से अधिक दूरी है । मामूली कोने उस हिस्से को संभालते हैं जहां हम लंबाई का रास्ता लेकर एक शीर्ष तक का अनुमान लगाते हैं, जिसका अनुमान हम सबसे पर दूरी से लगाते हैं । वे धारें जिनमें शीर्ष दिखाना शामिल है, $d$ $d-1$ $d-1$ $t$ $s$ गिरा दिया जाता है। प्रत्येक वर्टेक्स के लिए जिसे हम वर्तमान दूरी पर परीक्षण कर रहे हैं, हम केवल अगले वर्टेक्स के लिए आगे बढ़ते हैं यदि हमने छोटी दूरी के सभी कोने के लिए जिम्मेदार है। दूरी से दूरी , हम अपेक्षित जानकारी की प्रतिलिपि बनाते हैं। शुरू करने शिखर तथ्य यह है कि के लिए खातों दूरी शून्य से केवल शीर्ष है। न खत्म होने वाली शिखर पर उठाया गया है, सभी कोने तथ्य यह है कि इस प्रक्रिया को करने के लिए समाप्त हो गया है का प्रतिनिधित्व करने के लिए (और सहित) दूरी के अनुसार , जहां । $d$ $d+1$ $s'$ $s$ $t'$ $n-1$ $n=|V|$

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ पूर्ण और सही तरीके से लिखना काफी गड़बड़ होगा, लेकिन निश्चित रूप से संभव है। एनएल-पूर्णता का कोई ओवरट उपयोग नहीं किया गया था, इसमें हम किसी भी एनएल मशीन के कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ का उपयोग नहीं करते हैं। इसकी जरूरत नहीं है, क्योंकि हमारे पास कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ से बेहतर कुछ है - इनपुट उदाहरण ही।

— युवल फिल्मस
स्रोत