एक पुनरावृत्ति संबंध का असममित सन्निकटन (अकरा-बाज़ी लागू नहीं होता है)

Question

मान लीजिए कि एक एल्गोरिथ्म में एक रनटाइम पुनरावृत्ति संबंध है:

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

कुछ निरंतर । मान लें कि में बहुपद है , शायद द्विघात। सबसे अधिक संभावना है, में घातीय होगा ।जी एन एफ $0 < \delta < 1$$g$$n$$f$$n$

रनटाइम ( उत्कृष्ट होगा) के विश्लेषण के बारे में कोई कैसे ? मास्टर प्रमेय और अधिक सामान्य अकरा-बाज़ी पद्धति लागू नहीं होती है।$\Theta$

Comments

अच्छी निचली सीमा को खोजना आसान है लेकिन अच्छी ऊपरी सीमा को खोजना कठिन है, लेकिन मोटे तौर पर बोलना करीब लगता है । $T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

यदि आप अभी भी एक उत्तर की तलाश में हैं, तो आपको ग्राहम, नुथ और पटशनिक को "कंक्रीट गणित" की जांच करनी चाहिए।

— केवह

यह मानते हुए कि स्थिर है, हमें या हमें किसी भी धारणा की आवश्यकता नहीं है ? $n_0$$f$

— राफेल

पैरामीटर उदाहरण-विशिष्ट हो सकता है। यह देखना अच्छा होगा कि रनटाइम पर कैसे निर्भर करता है । एन $n_0$$n_0$

— ऑस्टिन बुकानन

मैंने एक संबंधित प्रश्न पूछा , जो अब तक, इस तरह के पुनरावृत्ति के लिए किसी भी सामान्य प्रमेय को सामने नहीं लाया है।

— राफेल

Answer 1

एक संभव दृष्टिकोण सादृश्य द्वारा अंतर समीकरणों के लिए हो सकता है। चलो । यहाँ टी ' ( एन ) के पहले व्युत्पन्न के एक असतत अनुरूप है टी ( एन ) । हम निम्नलिखित संबंध मिलती है: टी ' ( एन ) = टी ( ⌊ δ n ⌋ ) + जी ( एन ) $T'(n) = T(n)-T(n-1)$$T'(n)$$T(n)$

$$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$$ इस का निरंतर एनालॉग है अंतर समीकरण या, यदि आप देखते इसे दूसरे तरीके से लिखा पसंद करते हैं: $$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$$ वह एक अंतर समीकरण है। $${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$$

$t(x)$

मैं उन सभी चीजों को भूल गया हूं जो एक बार मैं अंतर समीकरणों के बारे में जानता था, इसलिए मुझे उस समीकरण का समाधान नहीं पता है, लेकिन शायद आप अंतर समीकरणों को हल करने के लिए सभी तकनीकों की समीक्षा करके इसे हल करने में सक्षम होंगे।

Comments

लगता है कि डोनाल्ड जे न्यूमैन ने इस तकनीक का इस्तेमाल अक्सर किया है, महान परिणामों के साथ।

— आर्यभट्ट

$t(x)$