क्या 'शून्य-एक' पहेली एनपी-पहेली हैं?

Question

मैं खपरैल का छत के एक मामूली संस्करण में रुचि रही है, 'पहेली' पहेली: एक (वर्ग) टाइल में से प्रत्येक के किनारे से एक प्रतीक के साथ लेबल है , और दो टाइल्स आसन्न रखा जा सकता है एक दूसरे के लिए यदि एक टाइल के सामने के किनारे पर प्रतीक और दूसरे टाइल के सामने वाले किनारे पर प्रतीक , तो कुछ । फिर, टाइलों का एक सेट दिया गया , क्या उन्हें सही ढंग से मेल खाते सभी किनारों के साथ वर्ग (घुमाते हुए लेकिन टाइलों को न फहराते हुए) में रखा जा सकता है? (इस समस्या का भी एक प्रकार है जिसमें चार$\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$$1\times m$ 'फ्रेमिंग' किनारों को प्रदान किया गया है और टुकड़ों को उस फ्रेम में सही ढंग से फिट होना चाहिए)।

मुझे पता है कि यह समस्या पर्याप्त रूप से बड़े लिए एनपी-पूर्ण है , लेकिन मैंने जो सीमाएं पर देखी हैं वे काफी बड़ी प्रतीत होती हैं; मैं n के छोटे मानों के लिए और विशेष रूप से n = 1 के लिए समस्या में दिलचस्पी लेता हूं , 'शून्य-एक' मामला (जहां हर किनारे को 0 या 1 के रूप में लेबल किया गया है और 0 के साथ किनारों को 1 के साथ किनारों से मेल खाना चाहिए$n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$)। यहाँ (घूर्णी समरूपता के साथ) सिर्फ छह टाइल प्रकार (ऑल-ज़ीरो टाइल, ऑल-वन टाइल, तीन ज़ीरो के साथ टाइल और एक, तीन लोगों के साथ टाइल और एक शून्य और दो अलग-अलग टाइलें हैं) और दो लोग, '0011' और '0101'), इसलिए एक समस्या उदाहरण मात्र का एक विनिर्देश है और पाँच संख्याओं T 0000 , T 0001 , T 0011 , T 0101 , T 0111 और T 1111 का एक सेट (गिनती का प्रतिनिधित्व करता है) प्रत्येक प्रकार की टाइल) T 0000 + T 0001 + T 0011 + $m$$T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$ । समस्या स्पष्ट रूप से NP में है (unary में दिए गएm केसाथ) क्योंकि किसी समाधान को बस प्रदर्शित किया जा सकता है और फिर बहुपद में (m) समयमें जाँच की जा सकती है, लेकिन क्या यह NP-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है, या क्या कोई गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म है यहां लागू किया जाए? 'फंसाए गए' मामले के बारे में क्या है जहां समस्या विनिर्देश में वर्ग के चार किनारों को भी शामिल किया जाना है जो मिलान किए जाने हैं? (जाहिर है कि अगर अपरिचित मामला एनपी-पूरा फंसा हुआ मामला है तो लगभग निश्चित ही है)$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$

Comments

यह एनपी पूरा नहीं हो सकता है, के बाद से वहाँ केवल हैं संभव आदानों, और Mahaney की प्रमेय द्वारा आप उससे अधिक की आवश्यकता एक समस्या एनपी पूरा करने के लिए (जब तक कि पी = एनपी)। लेकिन अगर आप एक फ्रेम का उपयोग करते हैं, तो यह बाधा गायब हो जाती है। तो यह एक फ्रेम के साथ एनपी-पूर्ण हो सकता है। $\theta(m^{10})$

— पीटर शोर

एक मध्यवर्ती कदम यह साबित करना होगा कि यदि आंशिक रूप से भरी हुई 6-टाइल वाली पहेली (अर्थात कुछ टुकड़े पहले से बोर्ड पर हैं और स्थानांतरित नहीं किए जा सकते हैं) को सही ढंग से पूरा करने की समस्या एनपी-पूर्ण है।

— वोर

Answer 1

जब से तुम उल्लेख के छोटे मूल्यों के लिए इस समस्या को हल कर रहे हैं में रुचि , मेरा सुझाव है कि आप एक सैट solver में या रैखिक कार्यक्रम (आईएलपी) एक पूर्णांक के रूप में इस को लागू करने का प्रयास करें। या तो बाधाओं का सामना करने में सक्षम हो जाएगा, लेकिन थोड़ा अलग तरीके से:$n$

• सैट के लिए, प्रत्येक वर्ग में टाइल किस विकल्प में जाती है, इसकी पसंद का एक बहुत अच्छा एन्कोडिंग है, और प्रत्येक प्रकार की टाइल की संख्या (बिट अंकगणित का उपयोग करके) के बारे में बाधा का थोड़ा कम स्वच्छ एन्कोडिंग है।

• ILP के लिए, उपलब्ध प्रकार की प्रत्येक टाइल की संख्या के बारे में बाधा का एक बहुत ही साफ एन्कोडिंग है, और बाधाओं की थोड़ी कम स्वच्छ एन्कोडिंग है जिस पर टाइल एक दूसरे से सटे हो सकते हैं (लेकिन यह अभी भी स्पष्ट है, क्योंकि आप आईएलपी में मनमाने ढंग से बूलियन फार्मूले व्यक्त करें)।

मुझे उम्मीद है कि छोटे या मध्यम आकार के , यह दृष्टिकोण कुशलता से काम कर सकता है।$n$

Comments

मैं मानता हूं कि यह समस्या को हल करने के एक उचित साधन की तरह लगता है, लेकिन मैं विशेष रूप से इस समस्या को सुलझाने में कम दिलचस्पी लेता हूं, क्योंकि मैं इसकी जटिलता को समझता हूं। (उदाहरण के लिए, यदि यह P में है, तो लगभग निश्चित रूप से इसमें कुछ प्रकार की डायनामिक-प्रोग्रामिंग एप्रोच है, जो कि समस्या पर ठोस रूप से SAT / रैखिक प्रोग्रामिंग सॉल्वर्स को आगे

— बढ़ाएगी

@StevenStadnicki, ठीक है, काफी उचित है। हालांकि, मैं सामंजस्य करने के लिए ~ "मैं अपने (asymptotic) जटिलता को समझने में दिलचस्पी रहा हूँ (जैसे, चाहे वह एनपी पूरा हो गया है)" ~ ~ के साथ "मैं के छोटे मूल्यों के लिए समस्या में दिलचस्पी रहा हूँ संघर्ष कर रहा हूँ " ~ । $n$

— DW

क्षमा करें, समस्या विनिर्देशन में कुछ भ्रम हो सकता है; मैं किनारे के आकार की संख्या (मूल रूप से) को निरूपित करने के लिए का उपयोग कर रहा हूं और मुझे उस मामले में विशेष रूप से दिलचस्पी है जहां मैच करने के लिए केवल एक किनारे का आकार है (सोचें 'इंजी' या 'आउटी'); मैं की जटिलता के बारे में सोच रहा हूँ कि के एक समारोह के रूप में समस्या मीटर , ग्रिड आकार। $n$$m$

— स्टीवन स्टडनिक

@StevenStadnicki, आह, मेरी गलती! क्षमा करें, मैंने ध्यान से नहीं पढ़ा। यह समझ में आता है - धन्यवाद।

— DW

कोई चिंता नहीं - मुझे इस पर विचार करना चाहिए; जब मैं घर पहुंचता हूं, तो मैं एक और 'पारंपरिक' पैराट्रिजेशन का उपयोग करने के लिए प्रश्न को संपादित करूंगा।

— स्टीवन स्टैडनिक