एफपीटीएएस में सभी समस्याएं एफपीटी में भी क्यों हैं?

Question

बहुपद-समय सन्निकटन योजनाओं पर विकिपीडिया लेख के अनुसार :

एफपीटीएएस में सभी समस्याएं निर्धारित-पैरामीटर ट्रैक्टेबल हैं।

इस परिणाम ने मुझे चौंका दिया - ये कक्षाएं एक दूसरे से बिल्कुल अलग लगती हैं। एफपीटीएएस समस्याओं का वर्णन करता है कि वे अनुमानित रूप से कितने आसान हैं, जबकि एफपीटी कुछ मापदंडों के सापेक्ष उनकी कठिनाई से समस्याओं की विशेषता है। दुर्भाग्य से, विकिपीडिया (जब तक मैं यह प्रश्न पूछ रहा हूँ) इसके लिए प्रशस्ति पत्र प्रदान नहीं करता है।

क्या इस परिणाम का एक मानक प्रमाण है? या क्या कोई ऐसा स्रोत है जिससे मैं इस संबंध के बारे में अधिक जानने के लिए परामर्श कर सकता हूं?

Comments

यह कै और चेन (JCSS97) का एक प्रमेय है, जिसमें कहा गया है, " अगर एक एनपी ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या में एक पूरी तरह से बहुपद-काल सन्निकटन योजना है, तो यह निश्चित पैरामीटर पैरामीटर योग्य है। " पेपर को फिक्स्ड-पैरामीटर व्यास और एनपी ऑप्टिमाइज़ेशन की अनुमानितता पर देखें । समस्याएं ।

— Pål GD

और, निश्चित रूप से, एक कोरोलारी के रूप में आपको " एनपी अनुकूलन समस्याएं जो यूनिफॉर्म में कमी के तहत कोई पूरी तरह से बहुपद-समय सन्निकटन योजना नहीं है जब तक कि$W[1]$$W[1] = FPT$ ।"

— Pål GD

@ PålGD- हालांकि ऐसा लगता है कि पैरामीटराइजेशन का विकल्प कुछ हद तक मनमाना है; वे समस्या इनपुट के लिए इष्टतम समाधान का मान रखने के लिए पैरामीटर का चयन करते हैं। मुझे लगता है कि तकनीकी रूप से काम करता है, हालांकि यह बौद्धिक रूप से बहुत पूरा नहीं है।

— templatetypedef

ल्यूक मैथिसन ने नीचे एक बहुत अच्छा जवाब दिया, और मुझे लगता है कि आपके सवाल का जवाब देने के लिए पर्याप्त है।

— Pål GD

Answer 1

वास्तव में एक मजबूत परिणाम है; एक समस्या वर्ग यदि इसमें ¹ fptas है : a -approximation, जो समयबद्ध _ varepsonon घिरा है। (यानी आकार और सन्निकटन कारक दोनों में बहुपद)। एक अधिक सामान्य वर्ग जो को बाध्य करता है - अनिवार्य रूप से एक सन्निकटन कारक के संबंध में समय के साथ चल रहा है।$\mathrm{FPTAS}$$\varepsilon$$(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{EPTAS}$$f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{FPT}$

जाहिर है के एक सबसेट है , और यह पता चला है कि के एक सबसेट है निम्नलिखित अर्थ में:$\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

प्रमेय एक एनपीओ समस्या तो एक है$\Pi$ eptas, तो समाधान है तय पैरामीटर विनयशील की लागत से parameterized।$\Pi$

प्रमेय और प्रमाण फ्लम और ग्रोह [1] में प्रमेय 1.32 (पीपी। 23-24) के रूप में दिए गए हैं, और वे इसे बज़गन [2] के लिए विशेषता देते हैं, जो इसे काई और चेन के कमजोर परिणाम (लेकिन एक फ्रेंच में) से दो साल पहले लगाता है। तकनीकी प्रतिवेदन)।

मैं सबूत का एक स्केच दूंगा, क्योंकि मुझे लगता है कि यह प्रमेय का एक अच्छा सबूत है। सरलता के लिए, मैं न्यूनतमकरण संस्करण करूँगा, बस मानसिक रूप से अधिकतम करने के लिए उचित व्युत्क्रम करूँगा।

प्रमाण। को लिए एप्टास होने दें , फिर हम समाधान लागत द्वारा मानकीकृत एल्गोरिथ्म for निर्माण कर सकते हैं जो निम्नानुसार है: इनपुट , हम को इनपुट पर चलाते हैं, जहां हम सेट करते हैं। (अर्थात हम अनुमानित अनुपात ) का चयन करते हैं। चलो समाधान, हो की लागत और की वास्तविक सन्निकटन अनुपात होना के लिए$A$$\Pi$$A'$$\Pi$$k$$(x,k)$$A$$x$$\varepsilon := \frac{1}{k+1}$$1+\frac{1}{k+1}$$y$$\text{cost}(x,y)$$y$$r(x,y)$$y$$\text{opt}(x)$ , यानी ।$\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

यदि , तो स्पष्ट रूप से रूप में स्वीकार करें । यदि , रूप में अस्वीकार करें क्योंकि एक ईप्टास है और$\text{cost}(x,y) \leq k$$\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$$\text{cost}(x,y) > k$$r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$$A$

$$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$$

बेशक आप चला समय के लिए बाध्य कर पाने बस से एक जा रहा है eptas । $A'$$A$$\Box$

जब तक पीएएल बताता है, तब तक मानकीकृत कठोरता परिणाम किसी भी ईप्टास के गैर-अस्तित्व का मतलब है जब तक कि कुछ पतन नहीं होता है, लेकिन बिना किसी एप्टास (या यहां तक ​​कि पीटीएएस ) के साथ मैथ्रम में समस्याएं हैं , इसलिए है (प्रमेय के अर्थ में) का एक सख्त सबसेट ।$\mathrm{FPT}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

फुटनोट:

1. एक fptas (समान रूप से eptas या ptas ) एक अनुमानित योजना है जो ऊपर वर्णित समय के साथ चल रही है। वर्ग (समतुल्य। , ) में समस्याओं का सेट है इस तरह के एक योजना है।$\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{PTAS}$$\mathrm{NPO}$

[१]: जे। फ्लम और एम। ग्रोह, पेरीमेटाइज़्ड कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी , स्प्रिंगर, २००६।
[२]: सी। झागन। Schémas d'approximation et complexité paramétrée , Rapport de DEA, Université Paris Sud, 1995।