सार्वभौमिक एनालॉग संगणना के लिए क्या आवश्यक है?

Question

किसी भी मनमाने ढंग से अनुरूप संगणना करने के लिए किन कार्यों को करने की आवश्यकता है ? इसके अलावा, घटाव, गुणा और भाग पर्याप्त होगा?

इसके अलावा, क्या किसी को पता है कि एनालॉग संगणना के उपयोग से क्या समस्याएं ठीक होती हैं, लेकिन डिजिटल के साथ नहीं?

Comments

आपको ट्यूरिंग पूर्णता की धारणा में रुचि हो सकती है: en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— एलेक्स दस ब्रिंक

एनालॉग संगणना से आपका क्या अभिप्राय है? कृपया या तो पोस्ट में परिभाषा बताएं या परिभाषा से लिंक करें।

— केवह

@Kaveh, डिजिटल कंप्यूटर के आविष्कार से पहले, वैज्ञानिक ऑपरेशनल एम्पलीफायरों से बने एनालॉग कंप्यूटरों का उपयोग करके कम्प्यूटेशन का प्रदर्शन करते थे।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

@ मोहम्मद, मुझे पता है कि, मैं इतिहास के लिए नहीं पूछ रहा हूँ, मैं एक परिभाषा के लिए पूछ रहा हूँ। ओपी को या तो एक विशेष मॉडल को निर्दिष्ट करना चाहिए या अधिक सामान्यतः परिभाषित करना चाहिए कि एनालॉग संगणना मॉडल क्या है।

— केवह

"सार्वभौमिकता" केवल है definable एक विशिष्ट, औपचारिक, अच्छी तरह से परिभाषित गणना के मॉडल के संबंध में। इस तरह के एक मॉडल के बिना, यह सवाल बस अचूक है।

— जेफ ईई

Answer 1

दुर्भाग्य से, एनालॉग कंप्यूटिंग में सार्वभौमिकता की कोई "सार्वभौमिक" अवधारणा नहीं है। हालांकि, डेलवेन द्वारा इस पत्र में असततता (जैसे ट्यूरिंग मशीन) और निरंतर (जैसे अंतर समीकरण) गतिशील प्रणालियों में सार्वभौमिकता के लिए एक औपचारिकता का प्रस्ताव है और साहित्य में अध्ययन किए गए कुछ सार्वभौमिक प्रणालियों की समीक्षा करता है। यहाँ कागज से एक अंश है जो अनौपचारिक रूप से एक गतिशील प्रणाली की सार्वभौमिकता साबित करने की प्रक्रिया का वर्णन करता है:

लेकिन गणित और भौतिकी में अध्ययन किए गए अधिकांश गतिशील प्रणालियों में एक गैर-गणनीय राज्य स्थान होता है, उदाहरण के लिए, सेलुलर ऑटोमेटा, अंतर समीकरण, टुकड़े-टुकड़े रैखिक नक्शे, आदि। उन प्रणालियों के उदाहरण सार्वभौमिक साबित हुए हैं। उनकी रुकने की समस्या निम्नलिखित तरीके से ट्यूरिंग मशीन से नकल की जाती है। हम प्रारंभिक राज्यों का एक विशेष गणनीय परिवार चुनते हैं, और अंतिम राज्यों, या राज्यों के अंतिम सेटों की गिनती करने योग्य परिवार। तब रुकने की समस्या को एक प्रारंभिक अवस्था और एक अंतिम स्थिति / राज्यों का सेट दिया जाता है, चाहे प्रारंभिक राज्य से शुरू होने वाला प्रक्षेपवक्र अंतिम स्थिति / राज्यों के सेट तक पहुंच जाएगा या नहीं। अधिक विशिष्ट उदाहरण धारा 7 में दिए गए हैं।

जीन-चार्ल्स डेलवेन, एक सार्वभौमिक कंप्यूटिंग मशीन क्या है ?, एप्लाइड गणित और संगणना, वॉल्यूम 215, अंक 4, 15 अक्टूबर 2009, पृष्ठ 1368-1374

Answer 2

मुझे नहीं लगता कि इस सवाल का जवाब तब तक दिया जा सकता है जब तक हमारे पास इस बात की परिभाषा न हो कि हम किस तरह की संगणना कर रहे हैं।

एक मशीन मॉडल की सार्वभौमिकता एक वर्ग की गणना करती है, जिसका अर्थ है कि उस कक्षा में किसी भी गणना को एक मशीन द्वारा गणना की जा सकती है। जब तक आप "मनमाने ढंग से एनालॉग संगणनाओं" के वर्ग को परिभाषित नहीं करते हैं, हम जवाब नहीं दे सकते कि उनके लिए सार्वभौमिकता क्या है।

अब, कार्यों आप सूचीबद्ध किया है सिर्फ तुम बहुआयामी पद और उनके भागफल जो वास्तविक कार्यों में से एक नहीं बल्कि छोटे वर्ग है, दे देंगे आप कर सकते हैं नहीं की तरह भी गणना सरल कार्यों , ⌊ एक्स ⌋ , $2^x$$\lfloor x \rfloor$ , ... उनका उपयोग करना।$\sqrt x$

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यदि आपका प्रश्न यह है कि क्या भौतिक प्रणालियाँ हैं जो प्रारंभिक अवस्था से शुरू होकर कुछ समय में दूसरे राज्य में पहुँच जाएँगी और यदि यह हमेशा गणना योग्य होती है, तो इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि हम किस प्रकार की भौतिकी के बारे में बात कर रहे हैं, और इसे स्थापित करने का क्या अर्थ है एक प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन और परिणाम का अवलोकन करना, आदि।

अगर हम शास्त्रीय भौतिकी के बारे में गणितीय रूप से बात कर रहे हैं (हम किसी भी प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन को अनंत सटीकता तक सेट कर सकते हैं और बिना कॉन्फ़िगरेशन के सेट करने के लिए आवश्यक ऊर्जा जैसी चीज़ों के बारे में विचार कर सकते हैं और परिणाम का अवलोकन गणितीय दृष्टिकोण से समान है) तो यह पता चला है लंबे समय से कि कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शंस के बारे में विभेदक समीकरण हैं, उनका समाधान संगणक योग्य नहीं है, मारियन बी। पोर-एल, और जे। इयान रिचर्ड्स, " विश्लेषण और भौतिकी में संगणना " देखें, 1989।

एक दिलचस्प मामला यह है कि अगर एन-बॉडी की समस्या कम्प्यूटेबल है (और अगर मुझे सही ढंग से याद है कि उत्तर नहीं है, तो कम से कम )।$n>4$

आम तौर पर, अगर हम सिर्फ दो वास्तविक संख्याओं की समानता की जांच कर सकते हैं जो एक फ़ंक्शन देता है जो वास्तविक संख्याओं के बारे में जानकारी के निरंतर wrt ठेठ टाइपोलॉजी नहीं है और इसलिए किसी भी फ़ंक्शन (उच्च प्रकार के कार्यों सहित) से एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना नहीं की जा सकती है कि एक ट्यूरिंग मशीन गणना कर सकते हैं निरंतर है (सूचना की टोपोलॉजी)।

Answer 3

टीएल; डीआर: यदि "एनालॉग कंप्यूटर" द्वारा, आप अंतर एनालाइजर का मतलब है , तो उत्तर योजक, निरंतर इकाइयां और इंटीग्रेटर हैं। Bournez, Campagnolo, Graça and Hainry ने 2006 ( paywalled / free reprint ) में दिखाया है कि इसका एक आदर्श मॉडल कम्प्यूटेशनल विश्लेषण के ढांचे में सभी कम्प्यूटेशनल कार्यों की गणना करने की अनुमति देता है , और इस मॉडल को केवल इन 3 प्रकार की इकाइयों की आवश्यकता होती है।

पारलौकिक कार्य

$\sin$$\exp$$\log$ । हालांकि, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, कुछ एनालॉग कंप्यूटर मॉडल ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस की गणना करने की अनुमति देते हैं और, मूल रूप से एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा सभी वास्तविक कार्यों की गणना की जाती है।

एनालॉग कंप्यूटिंग मॉडल

जैसा कि दूसरों द्वारा जोर दिया गया है, "सार्वभौमिक संगणना" की अवधारणा मानक कंप्यूटर की तुलना में एनालॉग कंप्यूटरों के लिए कम स्पष्ट है, जहां विभिन्न कंप्यूटिंग मॉडल में कम्प्यूटेबिलिटी की अलग-अलग प्राकृतिक धारणा जहां 1930 के दशक के बराबर पाई गई थी ( विवरण के लिए चर्च ट्यूरिंग थीसिस पर विकिपीडिया पृष्ठ देखें ) ।

इस तरह की सार्वभौमिकता को परिभाषित करने के लिए, किसी को पहले एनालॉग गणना के लिए एक अच्छे मॉडल को परिभाषित करना चाहिए, और यह एक कठिन काम है, क्योंकि मॉडल को आदर्श और पर्याप्त होना चाहिए और उपयोगी होना चाहिए, लेकिन इसके आदर्शीकरण को अवास्तविक शक्ति नहीं देनी चाहिए नमूना। इस तरह के एक अच्छे आदर्श का उदाहरण ट्यूरिंग मशीनों का अनंत टेप है। एनालॉग कंप्यूटर के साथ समस्या वास्तविक संख्याओं के साथ आती है जो ज़ेनो मशीन की तरह अनुचित सामान बनाने की अनुमति दे सकती है । हालांकि, कई ऐसे मॉडल प्रस्तावित किए गए हैं और साहित्य में उपयोग किए गए हैं (जीपीएसी इस उत्तर का मुख्य विषय है, लेकिन मैं बिना किसी हाइपर कंप्यूटर के नीचे दी गई सूची में पूरा होने की कोशिश करता हूं ):

• सामान्य प्रयोजन एनालॉग कंप्यूटर (GPAC), द्वारा परिभाषित क्लाउड E.Shannon 1941 (में paywalled पीडीएफ ) मॉडल करने के लिए अंतर विश्लेषक । GPAC की परिभाषा को हाल ही में परिष्कृत किया गया है और इसकी कंप्यूटिंग शक्ति को ऊपर की ओर संशोधित किया गया है;
• ब्लम-Shub-Smale मशीन है, जो वास्तविक संख्या पर असतत समय पर कार्य करता है। यह कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में अक्सर उपयोग किए जाने वाले रियल रैम मॉडल से निकटता से संबंधित है;
• $\mathbb R$-सक्रिय कार्य ;
• तंत्रिका नेटवर्क ;
• कम्प्यूटिंग विश्लेषण , जो एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना योग्य वास्तविक संख्याओं को देखता है।

GPAC मॉडल की शक्ति

में अपने 1941 कागज , Shanon मॉडल के लिए GPAC शुरू की अंतर विश्लेषक है इस मॉडल केवल परस्पर इकाइयों के 3 प्रकार की जरूरत है (निरंतर इकाइयों, एडर और integrators। मल्टीप्लायरों integrators और एडर से बनाया जा सकता है।) उन्होंने दिखाया कि कार्यों का सेट जो इसे जेनरेट बीजीय अंतर कार्यों का समूह है, लेकिन हाइपरट्रानसेंटरेंटल फ़ंक्शंस को शामिल नहीं करता है । इसका मतलब है कि$\Gamma$ तथा $\zeta$, जो ट्यूरिंग-कम्प्यूटेबल उत्पन्न नहीं किए जा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, कोई भी अंतर विश्लेषक का कभी आउटपुट नहीं होगा$y(t)=\Gamma(t)$, यह एक लंबे समय के लिए लग रहा था कि ऐसा एनालॉग कंप्यूटर "सार्वभौमिक" नहीं है, क्योंकि यह गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले कुछ उचित कम्प्यूटेशनल कार्यों को उत्पन्न नहीं कर सकता है।

हालांकि, 2004 में, डैनियल सिल्वा ग्रेका ने दिखाया कि तात्कालिक गणना पर आधारित पिछला मॉडल बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है। यदि कोई फ़ंक्शन की संगणना को परिभाषित करता है$f$ अलग तरह से, अनुमति $y(t)$ की ओर अभिसार करना $f(x)$एक इनपुट के लिए $x$, फिर $\gamma$ तथा $\zeta$GPAC द्वारा कार्य की गणना की जाती है। Bournez, Campagnolo, Graça और Hainry ने इसके बाद 2006 ( paywalled / free reprint ) में दिखाया कि इसका एक आदर्श मॉडल कम्प्यूटेशनल विश्लेषण के ढांचे में सभी कम्प्यूटेशनल कार्यों की गणना करने की अनुमति देता है ।

Bournez, Graça और Pouly ने 2013 में दिखाया कि ये एनालॉग कंप्यूटर कुशलतापूर्वक ट्यूरिंग मशीन ( एक बड़ी pdf के p.181) का अनुकरण कर सकते हैं और 2014 में, इस मॉडल में P और NP जटिलता वर्ग समान हैं।

Answer 4

क्या यह प्रस्तावित करना उपयोगी होगा कि एक सार्वभौमिक एनालॉग सिस्टम को एक अनंत तंत्रिका जाल द्वारा तैयार किया जा सकता है अर्थात किसी भी अन्य एनालॉग सिस्टम इनपुट / आउटपुट मानों को किसी दिए गए ऑपरेशन के लिए मिलान किए गए तंत्रिका नेटवर्क को दोहराया जा सकता है, और संचालन को आवश्यक रूप से जंजीर बनाया जा सकता है?

जब मैंने इस विचार को अपने दम पर तैयार किया था, एक बाद की खोज ने एक समान प्रस्ताव दिखाया है:

जो उभरता है वह एक चर्च-ट्यूरिंग जैसी थीसिस है, जिसे एनालॉग कम्प्यूटेशन के क्षेत्र पर लागू किया जाता है, जो डिजिटल ट्यूरिंग मशीन ( यहां देखें ) के स्थान पर तंत्रिका नेटवर्क मॉडल की सुविधा देता है ।

संभवतः तब आपको एक नोड से दूसरे में मूल्य स्थानांतरित करने के लिए आदिम संचालन की आवश्यकता होगी। कफ कि प्लस, माइनस हो सकता है और कनेक्शन के बीच अनुपात प्राप्त करने के लिए विभाजित करें।

अब अचूक समस्याओं के रूप में, तंत्रिका नेटवर्क को सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जहां पर देखो, या आ असतत कंप्यूटर पर लागू होने के कारण प्रदर्शन कर रहे हैं।

(और माफी अगर इस विषय पर मेरे लगभग बिछाने वाले व्यक्ति को स्पष्ट रूप से स्पष्ट है)