सापेक्षता एक अवरोध क्यों है?

Question

जब मैं बेकर-गिल-सोलोवै सबूत को समझा रहा था कि एक ऐसा नक्षत्र मौजूद है जिसके साथ हम हो सकते हैं, , और एक ऐसा जिसके साथ हम एक दोस्त के लिए, एक सवाल यह आया कि इस तरह की तकनीकें समस्या को साबित करने के लिए बीमार क्यों हैं , और मैं संतोषजनक जवाब नहीं दे सका।$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

इसे और अधिक लिए, अगर मेरे पास को साबित करने के लिए एक दृष्टिकोण है और अगर मैं ऊपर जैसी स्थिति बनाने के लिए निर्माण कर सकता हूं, तो यह मेरे तरीके को अमान्य क्यों बनाता है?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

इस विषय पर कोई प्रदर्शनी / विचार?

Answer 1

इसे और अधिक ध्यान से रखने के लिए, अगर मेरे पास P if NP को साबित करने के लिए एक दृष्टिकोण है और अगर मैं ऊपर जैसी स्थिति बनाने के लिए oracles का निर्माण कर सकता हूं, तो यह मेरे तरीके को अमान्य क्यों बनाता है?

ध्यान दें कि उत्तरार्द्ध "यदि" एक स्थिति नहीं है, क्योंकि बेकर, गिल और सोलोव ने पहले से ही इस तरह के एक दाना का निर्माण किया था। यह सिर्फ एक गणितीय सत्य है कि (1) वहाँ एक ओरेकल मौजूद है, जो पी = एनपी के सापेक्ष है, और यह (2) पी ओ एनपी के सापेक्ष एक ऑरेकल मौजूद है।

इसका मतलब यह है कि यदि आपके पास पी the एनपी साबित करने के लिए एक दृष्टिकोण है और समान प्रमाण समान रूप से एक मजबूत परिणाम साबित करेगा "पी ^ए all एनपी ^ए सभी ऑर्कल्स ए के लिए ," तो आपका दृष्टिकोण विफल हो जाएगा क्योंकि यह विरोधाभास (1) होगा।

दूसरे शब्दों में, पी prov एनपी को साबित करने और उदाहरण के लिए समय पदानुक्रम प्रमेय साबित करने के बीच कुछ बुनियादी अंतर है, क्योंकि उत्तरार्द्ध का प्रमाण सिर्फ विकर्ण का उपयोग करता है और किसी भी संबंधित दुनिया के लिए समान रूप से लागू होता है।

बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि पी this एनपी के लिए कोई सबूत नहीं है। इस तरह के एक प्रमाण (यदि कोई मौजूद है) ऊपर वर्णित मजबूत परिणाम को साबित करने में विफल होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, सबूत के कुछ हिस्से को गैर-सापेक्ष दुनिया को मनमाने ढंग से संबंधित दुनिया से अलग करना होगा।

Answer 2

पहले से ही अच्छे उत्तर हैं, लेकिन मैं कुछ छोटे बिंदु जोड़ना चाहूंगा।

मान लें कि हमारे पास समस्याओं को हल करने की एक तकनीक है, जैसे कि विकर्ण । मान लें कि हम पता चलता है कि तकनीक एक विशिष्ट समस्या जैसे हल नहीं कर सकते हैं बनाम एन $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$ । इसे कैसे दिखाया जा सकता है?

आगे जाने से पहले, ध्यान दें कि विकर्ण जैसी तकनीक यहाँ एक औपचारिक अवधारणा नहीं है (हालाँकि हम इसे ऐसा कर सकते हैं)। इस तथ्य के अलावा कि तकनीक समस्या को अपने आप हल नहीं कर सकती है, इसका मतलब यह नहीं है कि यह समस्या को हल करने में उपयोगी नहीं है, हम इसे संशोधित करने और / या इसे समस्या को हल करने के लिए अन्य तकनीकों के साथ संयोजन करने में सक्षम हो सकते हैं।

अब, हम प्रश्न पर वापस आते हैं। यह दिखाने का एक तरीका है कि एक तकनीक एक विशिष्ट समस्या को हल नहीं कर सकती है, यह दिखाने के लिए कि यदि यह किसी अन्य प्रश्न को हल करने के लिए एक अलग ढांचे में काम करेगा, और उस मामले में हमें जो उत्तर मिलेगा वह गलत होगा। यहां ऐसा ही होता है। विकर्णन अलग कर सकता है, तो से पी तो वही तर्क अलग करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता एन पी ए से पी ए सभी के लिए एक । लेकिन हम जानते हैं कि एक अलंकरण है, जो कि यह गलत है (किसी भी P S p a c e -complete समस्या को ओरेकल के रूप में लें)। तो विकर्णकरण N को अलग नहीं कर सकता है$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$ से पी ।$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

इस तर्क में आवश्यक बिंदु एक तरह का स्थानांतरण सिद्धांत है :

हम टीआरएस के लिए तिरछे तर्क को ओरेकल के साथ टीएम के बिना स्थानांतरित कर सकते हैं।

यह यहां संभव है क्योंकि विकर्ण तर्क मशीन के सिमुलेशन पर आधारित होते हैं , इसके अलावा सिमुलेशन मशीनों के आंतरिक पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल इन सिमुलेशन से अंतिम उत्तरों पर। इस तरह के विकर्ण को सरल विकर्ण के रूप में जाना जाता है । एक सिमुलेशन में यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि मशीन कैसे काम करती है, हम मशीन के केवल अंतिम उत्तर की परवाह करते हैं। एक ओरेकल जोड़ने से यह नहीं बदलेगा, इसलिए सिमुलेशन और तर्क उस फ्रेमवर्क में भी काम करेगा, जहां हमारे पास ओर्कल्स हैं।

औपचारिक रूप से, हम एक विकर्ण तर्क को मशीनों के एक वर्ग से एक फ़ंक्शन के रूप में कह सकते हैं ( ) को ऐसे उदाहरणों से दिखाते हैं कि मशीन एक समस्या को हल नहीं कर सकती ( एस ए टी कहती है )। यह प्रतिपक्ष कार्य विकर्णीकरण क्रिया है। एक विकर्णण सरल है यदि काउंटरटेम्पल्स देता है जो मशीनों के इंटर्नल पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात यदि दो बहुपद समय DTMs में एक ही भाषा है तो यह दर्शाती है कि वे विकर्णकरण फ़ंक्शन द्वारा दिए गए S A T को हल नहीं कर सकते हैं ।$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

आप सोच सकते हैं कि क्या यह एक बड़ा प्रतिबंध है? मशीन की आंतरिक संरचना पर निर्भर करने के लिए प्रतिसाद की आवश्यकता क्यों होगी? क्या हम विकर्णकरण का उपयोग करते हुए अलगाव साबित कर सकते हैं जो सरल विकर्ण का उपयोग करके साबित नहीं किया जा सकता है? इसका जवाब है हाँ। वास्तव में कोजेन ने अपने 1978 के पेपर "सबसर्क्टिव क्लासेस की अनुक्रमणिका" (बीजीएस परिणाम के 3 साल बाद) में दिखाया है कि यदि को P से अलग किया जा सकता है तो इसके लिए एक सामान्य विकर्ण तर्क है। और व्यवहार में ऐसे तर्क पाए गए हैं। उदाहरण के लिए, Fortnow और वैन Melkebeek के समय अंतरिक्ष SAT के लिए कम सीमा (2000) नामक तकनीक का उपयोग अप्रत्यक्ष विकर्णन कि एक गैर सरल विकर्णन देता है।$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

तो क्या यह दावा है कि विकर्णीकरण बनाम N P गलत को हल नहीं कर सकता है? खैर, आम तौर पर यहाँ विकर्णकरण के विशेषज्ञों का मतलब है साधारण विकर्ण और इसके लिए एक अच्छा कारण है।$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

सामान्य विकर्ण तर्क इतने सामान्य हैं कि उन्हें वास्तव में तकनीक कहने का कोई मतलब नहीं है, आप आसानी से किसी भी पृथक्करण तर्क को बहुत अधिक अंतर्दृष्टि के बिना विकर्ण तर्क में बदल सकते हैं: यदि हमारे पास पहले से ही दो जटिलता वर्गों को अलग करने का कोई तरीका है, तो हम बड़े वर्ग में एक समारोह लेने के लिए छोटे में नहीं कर सकते हैं। छोटी कक्षा में मशीनों की किसी भी गणना करें। चलो गणन में किसी भी मशीनों हो। हमें M के लिए प्रतिसाद को परिभाषित करना होगा । लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि एम समस्या को हल नहीं कर सकता है, इसलिए यह दिखाने वाले उदाहरण मौजूद हैं , एम पर विकर्ण समारोह के मूल्य को परिभाषित करें$M$$M$$M$$M$उस उदाहरण के लिए। यह बड़ी तस्वीर वाला दृश्य है, यदि आप विवरण कोजेन के कागज को देखना चाहते हैं।

Summery:

• जब विशेषज्ञों का कहना है कि "विकर्णकरण बनाम N P को हल नहीं कर सकता है " तो उनका मतलब है " साधारण विकर्णीकरण P बनाम N P को हल नहीं कर सकता है " सामान्य नहीं।$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• वजह साफ विकर्णन अलग नहीं कर सकते से पी है कि यह देववाणी साथ ढांचे को हस्तांतरित कर देता है (साहित्य में इसे "विकर्णन relativized" कहा गया है) और जुदाई वहाँ पकड़ नहीं करता है।$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• कारण यह है कि ऑरेकल-कम फ्रेमवर्क से ऑरेकल वर्क्स के साथ फ्रेमवर्क में यह स्थानांतरण है कि सरल विकर्ण टीएम के ब्लैक-बॉक्स सिमुलेशन पर आधारित है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मशीनें कैसे काम करती हैं, चाहे वह एक ऑरेकल हो या नहीं।

विकर्ण के बारे में अधिक जानने के लिए दो अच्छे कागजात हैं

• लांस फोर्टवे का सर्वेक्षण पत्र "विकर्णकरण", 2001, और
• रसेल इम्पेग्लियाज़ो, वेलेंटाइन कबनेट्स और एंटोनिना कोलोकोलोवा के पेपर "एन एज़ियोमैटिक अप्रोच टू अलजेब्रीज़ेशन", 2009। (ध्यान दें कि बीजगणित सरल विकर्ण का एक विस्तार है ।)

Comments

मैंने इसका उत्तर अभी देखा - लेकिन बहुत दिलचस्प लगता है! धन्यवाद केव!

— निखिल

Answer 3

$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

यह समस्या क्यों है? जब यह प्रमाण सामने आया, तो अधिकांश तकनीकें और चालें हमें जटिलता वर्गों को 'सापेक्षता' से अलग करने या ध्वस्त करने के लिए जानती थीं, जिसमें वे किसी भी प्रकार के संबंध में काम करते हैं। उदाहरण के लिए, समय पदानुक्रम प्रमेय (साथ ही अंतरिक्ष और इसके बारे में nondeterministic संस्करण) 'relativize': वे उन वर्गों के लिए अलगाव साबित करते हैं जिनके लिए यह पृथक्करण सापेक्ष होता है, और वास्तव में, वे मजबूत परिणाम साबित करते हैं कि पृथक्करण सम्मान के साथ होता है। कोई भी दैवज्ञ।

$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$