स्वैप की न्यूनतम संख्या का उपयोग करें ताकि प्रत्येक बिन में एक ही रंग की गेंदें हों

हैं डिब्बे, वें बिन शामिल गेंदों। गेंदों है रंग, देखते हैं रंग की गेंदों । चलो । $n$ $i$ $a_i$ $n$ $a_i$ $i$ $m=\sum_{i=1}^n a_i$

एक स्वैप एक बिन से एक गेंद लेता है और दूसरे बिन से एक गेंद के साथ स्वैप करता है। हम स्वैप की न्यूनतम संख्या चाहते हैं जैसे कि प्रत्येक बिन में केवल एक ही रंग के साथ गेंदें हों।

मैं एक आसान विशेष मामलों पता सभी के लिए । (यदि सभी के लिए , तो आप भी इसे एक बार अधिक से अधिक प्रत्येक गेंद को स्वैप करके कर सकते हैं।) $a_i\leq 2$ $i$ $a_i=2$ $i$

संपादित करें : यह गलत है क्योंकि को खोजना एनपी-हार्ड है। $c(D)$

~~अगर हमें पता है कि कौन सा रंग किस बिन पर जाता है, तो समस्या आसान है।~~

एक बहु संयुक्ताक्षर पर विचार , । हम रंग पता है बिन को जाता है , तो देखते हैं समानांतर आर्क्स में बिन iff शामिल रंग की गेंदों $D=(V,A)$ $V=\{v_1,\ldots,v_n\}$ $i$ $b(i)$ $k$ $(j,b(i))$ $A$ $j$ $k$ $i$ । ग्राफ का प्रत्येक घटक ईयूलियन है। आवश्यक स्वैप की न्यूनतम संख्या है , जहां चाप शिथिल चक्रों कि शामिल किया गया है की संख्या है । हम एक यूलरियन सर्किट का "अनुसरण" करके स्वैप कर सकते हैं। (एक न्यूनतम चक्र के चाप का उपयोग करके एक स्वैप इसे एक छोटे से न्यूनतम चक्र और एक आत्म पाश में बदल सकता है)। एक बार जब पूरा ग्राफ सेल्फ लूप्स पर सेट हो जाता है, तो हमने सभी आवश्यक स्वैप बना लिए हैं। $m-c(D)$ $c(D)$ $A$

यह समस्या सामान्य रूप से कितनी कठिन है?

algorithms complexity-theory balls-and-bins

— चाओ जू
स्रोत

एज डिसऑर्डर साइकिल में एक यूलरियन निर्देशित ग्राफ का मैक्सिमम अपघटन एनपी-हार्ड है, कम से कम इस पुस्तक के अनुसार: एल्गोरिदम और अनुप्रयोग: निबंध अपने 60 वें जन्मदिन के अवसर पर एस्को उकोकोन को समर्पित ।

btw, यहां एक लेख है जो उस समस्या के लिए प्रासंगिक है जिसे आप हल करने की कोशिश कर रहे हैं: डच नेशनल फ्लैग एल्गोरिथ्म के लिए असममित रूप से इष्टतम एल्गोरिथ्म ।

$n \le 6$

— आर्यभट्ट
स्रोत

मैंने गलत तरीके से मान लिया कि हम एक चक्र को हिट करने तक, और फिर से शुरू होने तक केवल ग्राफ़ पर चलने से एक अधिकतम विघटन पा सकते हैं। तो वास्तव में यह समस्या सामान्य तौर पर एनपी-हार्ड है।

— चाओ जू