एक सेट के एक समारोह की गणना के निचले सीमा

Question

एक सेट करने के बाद की तत्वों, मान लीजिए कि मैं एक समारोह की गणना करना चाहते हैं कि इनपुट के सभी भागों के प्रति संवेदनशील है, यानी की बहुत सदस्य पर निर्भर करता है (यानी यह संभव है के किसी भी सदस्य को बदलने के लिए कुछ करने के लिए एक नया इनपुट प्राप्त करने के लिए किसी और के सेंट मूल्य पर और अलग हैं)।$A$$n$$f(A)$$A$$A$$A'$$f$$A$$A'$

उदाहरण के लिए, योग या औसत हो सकता है।$f$

वहाँ एक परिणाम है कि है कि गणना करने के लिए साबित होता है, कुछ शर्तों के तहत, एक नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन के समय आवश्यक है हो जाएगा ?$f$$\Omega(n)$

Comments

ध्यान दें कि यदि यादृच्छिक अभिगम के साथ एक अनुक्रम है, और संवेदनशीलता धारणा कमजोर है, तो यह हमेशा पकड़ नहीं रखता है। उदाहरण के लिए, को दो प्रश्नों के साथ गणना की जा सकती है, भले ही यह एक जंटा न हो। $A$$(i,x_1,\dots,x_n) \to x_i$

— sdcvvc

@ sdcvvc आपका उदाहरण मुझे C भाषा निर्देश याद दिलाता है V[i]। जुंटा की परिभाषा क्या है ?

— Виталий Олегович

एक -junta एक बूलियन समारोह है कि पर केवल निर्भर करता है तर्क, यानी वहाँ एक सेट है आकार की ऐसी है कि किसी के लिए , , अगर और केवल बाहर के पदों पर अंतर करें , फिर । मैंने इस शब्द को एक ऐसे फ़ंक्शन के लिए दुरुपयोग किया है जो सभी तर्कों पर निर्भर नहीं करता है। $k$$k$$A\subset\{1,2,\dots,n\}$$k$$x$$y$$x$$y$$A$$f(x)=f(y)$

— sdcvvc

यदि आप math.se पर औसत दूरी की समस्या के लिए अपने उत्तर के लिए समर्थन खोजने की कोशिश कर रहे हैं, तो दुर्भाग्य से, यह नहीं होगा।

— आर्यभट्ट

@ आर्यभट्ट का पहला इरादा इस सवाल के मेरे जवाब के लिए समर्थन खोजना था: math.stackexchange.com/questions/129969/… , लेकिन केवल एक चीज जो इस परिणाम को कहेगी कि अगर ग्राफ में कोने हैं , तो एल्गोरिथ्म औसत दूरी की गणना करने पर वे , जो कि काफी सामान्य है। मैंने वहां अपना उत्तर हटा दिया है, क्योंकि जैसा आपने लिखा था मैंने कुछ भी साबित नहीं किया। $n$$\Omega(n)$

— Виталий Олегович

Answer 1

आपको गणना के मॉडल और गुणों को निर्दिष्ट करना होगा । निम्नलिखित तर्क में मैं उन मान्यताओं को बताऊंगा जिनकी मुझे आवश्यकता है। इसे थोड़ा और सामान्य किया जा सकता है लेकिन मुझे लगता है कि यह आपको विचार देने के लिए पर्याप्त होना चाहिए।$f$

मान लें कि मशीन कभी भी के सदस्यों में से (एक निश्चित सेट, और को एक सूची के रूप में दिया गया है) का मूल्य नहीं पढ़ता है । आगे मान लें कि एक इनपुट है जो अपने वें सदस्य के मान को बदलने से का उत्तर नहीं बदलता है । आगे मान लें कि इनपुट के सभी भागों के प्रति संवेदनशील है, यानी की बहुत सदस्य पर निर्भर करता है (यानी यह संभव है के किसी भी सदस्य को बदलने के लिए एक नया इनपुट प्राप्त करने के लिए कुछ और करने के लिए की सेंट मूल्य पर और अलग है)।$M$$A$$A$$A$$i$$M$$f$$A$$A$$A'$$f$$A$$A'$

हम यह दर्शाने के लिए एक प्रतिकूल तर्क का उपयोग कर सकते हैं कि मशीन के उस सदस्य के मान को बदलकर सही उत्तर की गणना नहीं कर सकती है, क्योंकि को प्राप्त करने के लिए का मान भिन्न है। इन दो सेटों पर का मान समान है, इसलिए उनमें से एक को गलत होना चाहिए और इसलिए सही ढंग से गणना नहीं कर सकता है।$A$$A'$$f$$M$$M$$f$

इसलिए कोई भी मशीन जो गणना करती उसे उन सभी इनपुट को पढ़ने की आवश्यकता होगी, जो कदम उठाते हैं।$M$$f$$\Omega(n)$

(दूसरी ओर, मान लें कि हमारे पास एक nondeterministic रैंडम एक्सेस मशीन है, और हम इनपुट में या बिट्स की गणना करना चाहते हैं। हम nondeterministicly थोड़ा सा अनुमान लगा सकते हैं और जांच सकते हैं कि 1 है, अगर यह 1 है, तो हम आउटपुट 1 करते हैं। । यह मशीन चरणों में केवल एक बिट इनपुट पढ़ती है और समस्या का सही उत्तर देती है। इसलिए और पर मान्यताओं के बिना परिणाम पकड़ में नहीं आता है।)$O(\lg n)$$M$$f$

Comments

क्षमा करें मैं लिखना भूल गया कि मेरी गणना का मॉडल नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन था।

— Виталий Олегович

विरोधी तर्क के लिए +1, जो निचली सीमा को समझने का एक शानदार तरीका है।

— जो