HALF CLIQUE - एनपी पूरी समस्या

Question

मुझे ध्यान दें कि यह एक होमवर्क समस्या है, कृपया केवल सलाह और संबंधित अवलोकन प्रदान करें, कोई निर्देश नहीं । उस ने कहा, यहाँ मैं देख रहा हूँ समस्या है:

HALF-CLIQUE = { | एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जिसमें कम से कम नोड्स के साथ एक पूर्ण उपसमूह होता है , जहां } में नोड्स की संख्या होती है । दिखाएँ कि HALF-CLIQUE NP-complete है।$\langle G \rangle$एन / 2 $G$$n/2$$G$

इसके अलावा, मैं निम्नलिखित जानता हूं:

• इस समस्या के संदर्भ में , एक क्‍लिक को इनपुट ग्राफ के अप्रत्‍यक्ष सबग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें हर दो नोड एक किनारे से जुड़े होते हैं। एक -clique$k$ एक क्लिक है जिसमें नोड होते हैं।$k$
• हमारे पाठ्यपुस्तक, माइकल सिप्सर के "के अनुसार परिचय संगणना के सिद्धांत के लिए ", स्नातकोत्तर 268, कि समस्या गुट = { | G एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जिसमें k -clique} एनपी में है$\langle G,k\rangle$$G$$k$
• इसके अलावा, एक ही स्रोत (पृष्ठ 283 पर) के अनुसार नोट कि क्लीप एनपी-शिकायत में है (इस प्रकार स्पष्ट रूप से एनपी में भी)।

मुझे लगता है कि मेरे पास यहां एक उत्तर की कर्नेल है, हालांकि मैं कुछ संकेत का उपयोग कर सकता हूं कि इसमें क्या गलत है या किसी भी संबंधित बिंदु जो उत्तर के लिए प्रासंगिक हो सकता है । यह मेरे पास अब तक का सामान्य विचार है,

ठीक है, मैं पहले ध्यान दें कि एक प्रमाण पत्र केवल एक आधा QLIQUE होगा चाहते । अब यह प्रतीत होता है कि मुझे क्या करने की आवश्यकता है एक सत्यापनकर्ता बनाने के लिए है जो कि CLIQUE (जिसे हम एनपी-पूर्ण जानते हैं) से HALF-CLIQUE तक एक बहुपद समय में कमी है। मेरा विचार यह होगा कि यह एक ट्यूरिंग मशीन बनाकर किया जाएगा जो कि HALF-CLIQUE के लिए अतिरिक्त बाधा के साथ CLIQUE के लिए पुस्तक में ट्यूरिंग मशीन सत्यापनकर्ता चलाती है।$\text{size} \geq n/2$

यह मेरे लिए सही लगता है, लेकिन मैं वास्तव में इस विषय में अभी तक खुद पर भरोसा नहीं करता हूं। एक बार फिर, मैं सभी को यह याद दिलाना चाहूंगा कि यह एक घर का काम है इसलिए कृपया सवाल का जवाब देने से बचने की कोशिश करें। किसी भी मार्गदर्शन जो इस से कम हो जाता है सबसे स्वागत होगा!

Answer 1

आपके विवरण और टिप्पणियों को देखते हुए, एनपी-पूर्णता साबित करने के लिए कैसे कटौती का उपयोग किया जा सकता है, इस पर सटीक विवरण द्वारा आपकी सबसे अच्छी मदद की जा सकती है:

एक समस्या NP- पूर्ण iff है यदि यह NP में है और यह NP-hard है। इसका मतलब यह है कि एनपी-पूर्णता के किसी भी प्रमाण के दो भाग हैं: एक प्रमाण जो समस्या एनपी में निहित है और एक प्रमाण है कि यह एनपी-हार्ड है।

पहले भाग के लिए, आपको यह दिखाना होगा कि कुछ उपयुक्त प्रमाण पत्र का उपयोग करके YES- उदाहरणों को बहुपद समय में सत्यापित किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, आप दिखा सकते हैं कि समस्या को गैर-नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन द्वारा बहुपद समय में हल किया जा सकता है, लेकिन यह आमतौर पर नहीं किया जाता है क्योंकि गलतियों को आसानी से किया जाता है।

आपके मामले में, यह साबित करने के लिए नीचे आता है कि प्रत्येक ग्राफ के लिए -clique के साथ, आप कुछ प्रमाण पा सकते हैं कि वास्तव में ऐसा कोई क्लिक है, जैसे कि, इस तरह के प्रमाण के साथ सशस्त्र, आप बहुपदीय समय में जांच कर सकते हैं कि वहाँ वास्तव में इस तरह के एक गुट है।$n/2$

दूसरे भाग के लिए, आपको यह दिखाना होगा कि समस्या एनपी-हार्ड है। यह लगभग सभी मामलों में यह साबित करके दिखाया गया है कि आपकी समस्या कम से कम कुछ अन्य एनपी-कठिन समस्या जितनी कठिन है। यदि HALF-CLIQUE CLIQUE की तरह कम से कम कठिन है, तो यह NP- हार्ड भी होना चाहिए।

आप इसे CLIQUE, TO HALF-CLIQUE से कमी साबित करके करते हैं । आप समस्या को 'कम' करते हैं, जिससे यह 'आसान' हो जाता है। आप कहते हैं कि "CLIQUE को हल करना कठिन है, लेकिन मैंने यह साबित कर दिया है कि आपको केवल CLIQUE को हल करने के लिए HALF-CLIQUE को हल करने की आवश्यकता है"। (कई लोग, यहां तक ​​कि विशेषज्ञ भी, कभी-कभी इसे गलत तरीके से कहते हैं :))

कटौती के विभिन्न प्रकार हैं: सबसे अधिक उपयोग होने वाली कटौती वह है जहां आप इस मामले में उदाहरणों को मैप करते हैं, इस तरह के उदाहरणों को HALF-CLIQUE के उदाहरणों के लिए जिनका आकार बहुपद में बहुपद में होता है, बहुपद समय में। इसका अर्थ है कि यदि हम HALF-CLIQUE को हल कर सकते हैं, तो हम एल्गोरिथ्म और कमी का पीछा करके भी CLIQUE को हल कर सकते हैं।

दूसरे शब्दों में, हमें यह दिखाना होगा कि हम हल को हल कर सकते हैं यदि हम हल-CLIQUE को हल कर सकते हैं। हम यह दिखाते हैं कि CLIQUE के लिए हर उदाहरण के लिए, हम HALF-CLIQUE का एक उदाहरण डिज़ाइन कर सकते हैं जैसे कि CLIQUE का उदाहरण 'हाँ' उदाहरण है यदि HALF-CLIQUE का उदाहरण 'हाँ' उदाहरण है।

प्रमाण इस तरह से शुरू होता है: एक ग्राफ , मैं कुछ ग्राफ H = बना सकता हूं$G=(V, E)$$H=(V', E')$$G$$k$$H$$n/2$

Comments

उत्कृष्ट सेट अप, मुझे लगता है कि आपने बिना उत्तर दिए मार्गदर्शन करने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान करने के लिए एक बहुत अच्छा काम किया और एक शानदार तरीके से ऐसा किया। धन्यवाद।

— भाईजैक

कुछ इस तरह से भविष्य के संदर्भ के लिए एनपी-पूर्ण की टैग विकी में डाल दिया जाना चाहिए । क्या आप?

— राफेल

Answer 2

$\ge$

तो, मूल रूप से, कार्य एक ग्राफ जी लेना है$G$$k$$H$$H$$G$$k$

नीचे दिए गए स्पॉइलर में इस कमी को पूरा करने के संकेत दिए गए हैं:

$H$$G$

Comments

मैं समझ नहीं रहा हूँ कि आप क्या कह रहे हैं। मैंने जो करने की कोशिश की, वह यह साबित करने के लिए कि पुस्तक में इस्तेमाल किए गए वैरिफायर को संशोधित करके CLIQUE से HALF-CLIQUE को कम किया गया है, यह साबित करने के लिए कि CLIQUE NP था, क्या यह इनपुट ग्राफ G पर चलता है, और अगर यह देखने के लिए CLLQUE की जाँच करता है कि क्या CLIQUE समाहित है। कम से कम n / 2 नोड्स, जहां n। में नोड्स की संख्या है HALF-CLIQUE का ऐसा सत्यापनकर्ता नहीं दिखाएगा कि CLIQUE का सत्यापनकर्ता इसका कम रूप है (HALF-CLIQUE को हल करने की एक उप समस्या के रूप में) )?

— भाईजैक

या आप कह रहे हैं कि मेरे पास यह पीछे की ओर है और यह साबित करने की जरूरत है कि क्लीक्वे को कम करने की जरूरत है? मैं भी पूरी तरह से आपका बिगाड़ नहीं पा रहा हूँ। क्या इसका कोई उपाय है कि बिना जवाब दिए ही उसे समझा दिया जाए?

— ब्रदरजैक

हां, एक समस्या एनपी-पूर्ण दिखाने के लिए, आपको (ए) यह दिखाने की जरूरत है कि यह एनपी में है और (बी) इसके लिए कुछ ज्ञात एनपी-हार्ड समस्या को कम करता है। कमी के लिए सही दिशा को याद रखने के लिए, एक ज्ञात एनपी-सी समस्या को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए बिंदु को "ब्लैक बॉक्स" के रूप में नई समस्या का उपयोग करना है।

— लुईस

ठीक है, मुझे लगता है कि मैं अब समझ गया हूं। आपकी सहायताके लिए धन्यवाद!

— ब्रदरजैक

+1 मुझे लगता है कि मुझे मिल गया। आपका इशारा बहुत ही शिक्षाप्रद था कि एक बार मैं समझ गया कि मैं क्या गलत कर रहा हूँ। एक बार फिर धन्यवाद!

— भाईजैक

Answer 3

आप शीर्ष कवर समस्या से कम कर सकते हैं। यदि दिए गए ग्राफ के पूरक ग्राफ में n / 2 नोड्स से कम का एक शीर्ष कवर है तो इस ग्राफ में n / 2 नोड्स से अधिक का एक क्‍लिक होगा, जो कि एक आधा क्‍लिक होगा। केवल यह बताएं कि वर्टेक्स कवर समस्या को हल करना मुश्किल है इसलिए यह है।

Comments

चूंकि आप किसी भी एनपी-पूर्ण समस्या से कम कर सकते हैं , यह बहुत उपयोगी नहीं है। कमी के बारे में विवरण अपेक्षित हैं।

— राफेल

$n/2$