एनपी-पूर्णता को मोनोटोन बूलियन फार्मूले की संतोषजनकता तय करने के लिए साबित करें

Question

मैं इस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं और मैं वास्तव में संघर्ष कर रहा हूं।

एक मोनोटोन बूलियन फॉर्मूला प्रपोजल लॉजिक में एक फॉर्मूला है जहां सभी शाब्दिक सकारात्मक हैं। उदाहरण के लिए,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

एक मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन है। दूसरी ओर, कुछ पसंद है

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

एक मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन नहीं है।

मैं इस समस्या के लिए एनपी-पूर्णता कैसे साबित कर सकता हूं:

निर्धारित करें कि क्या एक मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन संतोषजनक है यदि चर या कम सेट हैं ?$k$$1$

स्पष्ट रूप से, सभी चर केवल सकारात्मक होने के लिए सेट किए जा सकते हैं, और यह तुच्छ है, इसलिए यही कारण है कि सकारात्मक सेट चर का संयम है ।$k$

मैंने सैट से मोनोटोन बूलियन फॉर्मूला को कम करने की कोशिश की है। मैंने एक कोशिश की है कि हर नकारात्मक शाब्दिक के लिए एक डमी चर को प्रतिस्थापित किया जाए। उदाहरण के लिए, मैंने साथ को करने का , और फिर मैंने और को अलग-अलग मानों के लिए मजबूर करने का प्रयास किया। मैं हालांकि यह काम करने के लिए प्राप्त करने में सक्षम नहीं है।z 1 एक्स 1 z $\neg x_1$$z_1$$x_1$$z_1$

Comments

स्वागत हे! कृपया भाषा और प्रारूपण के साथ अधिक ध्यान रखें।

— राफेल

Answer 1

जिस समस्या को आप देख रहे हैं, उसके "जनक" को कभी-कभी भारित संतुष्टि कहा जाता है (WSAT, विशेष रूप से मानकीकृत जटिलता में) या मिन-ऑन (हालांकि यह सामान्य रूप से अनुकूलन संस्करण है, लेकिन पर्याप्त के पास)। इन समस्याओं में "सबसे अधिक चर पर सेट सत्य" प्रतिबंध उनकी विशेषता के रूप में है।$k$

मोनोटोन फ़ार्मुलों के लिए प्रतिबंध वास्तव में आश्चर्यजनक रूप से आसान है कठोरता के लिए दिखाने के लिए, आपको बस एक पल के लिए संतोषजनक समस्याओं के बाहर बात करने की आवश्यकता है। SAT उदाहरण को संशोधित करने का प्रयास करने के बजाय, हम इसके बजाय DOMinating सेट (DS) से शुरू करते हैं।

देखें कि क्या आप इसे वहां से प्राप्त कर सकते हैं। अधिक बिगाड़ने में है, बिट्स में टूट गया है, लेकिन यदि आप कर सकते हैं तो उनसे बचें। मैं एनपी में सदस्यता नहीं दिखाऊंगा, आपको इससे कोई समस्या नहीं होनी चाहिए।

डीएस के उदाहरण को देखते हुए (अर्थात हम लिए सबसे पर आकार का एक हावी सेट चाहते हैं ), हम WSAT का एक उदाहरण बना सकते हैं जहाँ सूत्र एक मोनोटोन CNF सूत्र है:कश्मीर जी ( φ , कश्मीर ) $(G, k)$$k$$G$$(\phi,k)$$\phi$

बुनियादी निर्माण:

प्रत्येक हमारे पास एक चर , प्रत्येक हमारे पास एक खंड ।वी ' ∈ वर ( φ ) वी ∈ वी ( जी ) सी वी = ⋁ यू ∈ एन ( v ) यू $v\in V(G)$$v' \in \text{var}(\phi)$$v \in V(G)$$c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

सबूत का एक स्केच:

प्रत्येक शीर्ष को या तो डोमिनेटिंग सेट में होना चाहिए, या उसका पड़ोसी होना चाहिए, इसलिए यदि हम वर्मिनेशन सेट के रूप में कोने खोज सकते हैं , तो संबंधित वेरिएबल्स को में सही पर सेट किया जा सकता है , और प्रत्येक क्लॉज़ में होना चाहिए उनमें से कम से कम एक। इसी तरह अगर कोई वेट संतोषजनक कार्य है, तो सत्य चर हम वर्चस्व सेट में स्थान के अनुरूप होते हैं - प्रत्येक खंड में कम से कम एक होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक का प्रभुत्व है (स्वयं या अन्यथा)।k ϕ k c v$k$$k$$\phi$$k$$c_{v}$$v$

Comments

वाह यह बहुत अधिक समझ में आता है, धन्यवाद! मुझे लगता है कि मैं निश्चित रूप से मोनोटोन बूलियन फार्मूला के नीचे सैट को कम करने की कोशिश में पकड़ा गया था।

— नट

मैं यह भी देख रहा हूं कि हम मोनोटोन बूलियन फॉर्मूला के नीचे के कवर को भी कम कर सकते हैं।

— नट

@ वास्तव में, शीर्ष कवर से जाना भी अच्छा है क्योंकि यह आपको 2CNF में एक सूत्र देता है, जो कि 2-SAT के रूप में दिलचस्प है, लेकिन 2CNF सूत्रों के साथ मोनोटोन WSAT NP- पूर्ण है। संयोगवश, आप क्लिंट / इंडिपेंडेंट सेट से एंटीमोनोटोन परिणाम भी प्राप्त कर सकते हैं (जहां हर चर को नकारा जाता है, लेकिन आप कम से कम सत्य चर चाहते हैं)। यदि आप विशेष रूप से उत्सुक हैं, तो आप पेरीमीटराइज़्ड कॉम्प्लेक्सिटी में देखना चाहते हैं, जहाँ इस तरह की संतोषजनक समस्याएँ केंद्रीय भूमिका निभाती हैं। $k$

— ल्यूक मैथिसन

मुझे लगता है कि बिल्कुल वही दृष्टिकोण वर्टिकल कवरेज के साथ काम करता है।

— हास्केल फन

@ हास्केलफुन, मैंने इस बारे में भी सोचा। वर्टेक्स कवर मोनोटोन मिन-डब्ल्यू 2 एसएटी के समान है।

— rus9384

Answer 2

सैट से एक सरल कमी है। एक नया वैरिएबल करें, जो का प्रतिनिधित्व करता है । एक सूत्र को देखते हुए , हम साथ की प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करके और प्रत्येक चर के लिए खंड जोड़कर एक नया सूत्र बनाते हैं । हम सेट मूल चर की संख्या होने के लिए। नया सूत्र मोनोटोन है, और अधिकांश k वैरिएबल के साथ संतोषजनक है, यदि सही और केवल if संतोषजनक है। (इसका कारण यह है है संबंध तोड़ना खंड का कारण बनता है किसी भी संतोषजनक असाइनमेंट के लिए ¬ एक्स मैं φ φ ' ¬ एक्स मैं जेड मैं एक्स मैं ∨ z मैं कश्मीर φ ' φ कश्मीर एक्स मैं ∨ z मैं φ ' कश्मीर $z_i$$\neg x_i$$\phi$$\phi'$$\neg x_i$$z_i$$x_i \vee z_i$$k$$\phi'$$\phi$$k$$x_i \vee z_i$$\phi'$ट्रू करने के लिए कम से कम चर; लेकिन फिर एक ही रास्ता अधिक से अधिक है करने के लिए वास्तव में उनमें से एक प्रत्येक जोड़ी {x_i, z_i} के लिए सही पर सेट किया है।)$k$$k$