कंप्यूटिंग मैट्रिक्स शक्तियों की जटिलता

मुझे मैट्रिक्स की $n$ 'वें शक्ति की गणना करने में रुचि है । मान लीजिए कि हमारे पास मैट्रिक्स गुणा के लिए एक एल्गोरिथ्म है जो समय में चलता है । फिर, एक आसानी से गणना कर सकते हैं में समय। क्या कम समय की जटिलता में इस समस्या को हल करना संभव है? $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ, सामान्य रूप से, एक संगोष्ठी से हो सकती हैं लेकिन आप अतिरिक्त संरचना मान सकते हैं यदि यह मदद करता है।

नोट: मैं समझता हूं कि सामान्य कंप्यूटिंग में $A^m$ इन $o(M(n)\log(m))$ समय एक $o(\log m)$ एल्गोरिदम को एक्सप्रेशन के लिए देगा। लेकिन, कई दिलचस्प समस्याएं मैट्रिक्स एक्सपेंशनशिप के विशेष मामले को कम करती हैं जहां m = , और मैं इस सरल समस्या के बारे में भी साबित नहीं कर पा रहा था। $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
स्रोत

मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ क्या हैं? पूर्णांकों?

— केवह

प्रविष्टियाँ, सामान्य रूप से, एक संगोष्ठी से हो सकती हैं लेकिन आप अतिरिक्त संरचना मान सकते हैं यदि यह मदद करता है।

— शितिकांत

मैं उपरोक्त प्रस्तावित विधि (यानी ) से गुणा करने के लिए गुणा से कमी प्राप्त नहीं कर सका । हालाँकि, काम करता है। हालाँकि, यह केवल कंप्यूटिंग पर एक देता है ।

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— शितिकांत १३'१२ को १२:२५

जवाबों:

यदि मैट्रिक्स विकर्ण है तो वें शक्ति को लेने से जहाँ को विकर्ण करने का समय होता है । $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

केवल विवरणों को पूरा करने के लिए, यदि एक विकर्ण साथ है , तो $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

और को केवल वें तत्व के प्रत्येक तत्व को विकर्ण ( प्रत्येक eigenvalue ) से वें शक्ति में ले जाकर गणना की जा सकती है । $D^n$ $A$ $n$

— रान जी।
स्रोत

यहां तक कि अगर मैट्रिक्स विकर्ण है, तो ईगेंडेकोम्पोजिशन के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिदम

समय लेते हैं । ताम्रकार-Winograd एल्गोरिथ्म का उपयोग करना, हम पहले से ही एक है

की गणना के लिए एल्गोरिथ्म

।

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— शितिकांत

(१) आप जिस समय का हवाला देते हैं, वह कोपरस्मिथ-विनोग्राद (जैसा कि आप शायद जानते हैं) नहीं है। (२) उस फॉर्म के सभी एल्गोरिदम केवल छल्ले के लिए काम करते हैं; वे सामान्य सेमेरींग के लिए काम नहीं करते हैं (जैसा कि आप अपने प्रश्न में अनुमति देते हैं)।

— रयान विलियम्स

एक अच्छा तरीका है विलक्षण मूल्य अपघटन SVD । एक को देखते हुए असली मैट्रिक्स की पूर्ण रैंक , SVD यह के रूप में अलग विभाजन जहां एक विकर्ण मैट्रिक्स है, कुछ ही समय में । SVD, के गुणों से , इसलिए केवल विकर्ण मैट्रिक्स exponentiated करने की आवश्यकता है, और इस में किया जा सकता $n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ समय। अंतिम गुणन से , इसलिए हमारे पास पूरी तरह से संचालन है। $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
स्रोत

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

यह आपके प्रश्न से स्पष्ट नहीं था, जैसा कि कहा गया है।

— PKG