एक निरंतर अनुकूलन समस्या जो टीएसपी को कम करती है

मान लीजिए कि मुझे विमान में का एक परिमित सेट दिया गया है, और माध्यम से दो बार विभेदित वक्र खींचने के लिए कहा गया है , जैसे कि इसकी परिधि यथासंभव छोटी है। और मानकर , मैं इस समस्या को औपचारिक रूप दे सकता हूं: $p_1,p_2,..p_n$ $C(P)$ $p_i$ $p_i=(x_i,y_i)$ $x_i<x_{i+1}$

समस्या 1 (सुरेश की टिप्पणियों के जवाब में संपादित) निर्धारित करें फ़ंक्शंस एक पैरामीटर ऐसी कि arclength को कम किया गया है, और सभी , हमारे पास । $C^2$ $x(t),y(t)$ $t$ $L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$ $x(0) = x_1, x(1) = x_n$ $t_i: x(t_i) = x_i$ $y(t_i)=y_i)$

मैं कैसे साबित (या शायद खंडन) कर सकता हूं कि समस्या 1 एनपी-हार्ड है?

मुझे संदेह है कि एनपी-कठोरता मान लीजिए कि $C^2$ धारणा में ढील है। जाहिर है, कम से कम arclength के समारोह की यात्रा विक्रेता दौरे है $p_i$ की। शायद $C^2$ बाधा केवल समस्या बहुत कठिन बना देता है?

संदर्भ इस समस्या का एक प्रकार MSE पर पोस्ट किया गया था । यह वहाँ और मो दोनों पर एक जवाब नहीं मिला । यह देखते हुए कि समस्या को हल करने के लिए यह गैर-जरूरी है, मैं यह स्थापित करना चाहता हूं कि यह कितना कठिन है।

— PKG
स्रोत

बाधा है कि

समस्या को बहुत आसान बनाता है। विशेष रूप से, यदि आप अब

बाधा को छोड़ देते हैं, तो यह समस्या तुच्छ रूप से हल नहीं होती है क्योंकि आप बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ते हैं?

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

C_{2}

$C_2$

— सुरेश

यह एक फ़ंक्शन नहीं है। यदि आप

में बाधा के तहत,

से

तक "लूप" करते हैं, तो आपका वक्र एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दो बार पार करेगा।

p_{3}

$p_3$

p_{2}

$p_2$

x_{1} < x_{2} < x_{3}

$x_1 < x_2 < x_3$

— सुरेश

यह स्पष्ट नहीं है, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आपके यहां "निर्धारित" से क्या मतलब है। यह एक मानक शब्दावली नहीं है। यह एक निर्णय समस्या भी नहीं है, इसलिए एनपी-हार्ड शब्द का उपयोग करने का कोई मतलब नहीं है।

— केवह

@ सुरेश, क्या आप आउटपुट भाग पर विस्तार कर सकते हैं? मैं अनुमान लगा रहा हूं कि आप का मतलब शाप के नाम को घटता के एक समुच्चय से उत्पन्न करना है। ध्यान दें कि उस स्थिति में, यह स्पष्ट नहीं है कि इष्टतम वक्र हमेशा उस वर्ग से होगा। दूसरी ओर, अगर हमारा मतलब उन लोगों के बीच सबसे अच्छा या एक अच्छा खोजने का है (या इष्टतम वक्र पर कुछ दिए गए पैरामीटर तक सन्निकटन) तो पैरामीट्रिक घटता की कक्षा को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, अन्यथा प्रश्न अपूर्ण है और नहीं हो सकता है जवाब दे दिया।

— केवह

इनपुट / आउटपुट अब एक परिमित वस्तु नहीं है, उदाहरण के लिए यदि आप वास्तव में वास्तविक संख्या / कार्यों से निपट रहे हैं तो आपकी समस्या उच्च प्रकार की है। प्रत्येक अनंत वस्तुओं को अनुमानित वस्तु को अनुमानों की एक अनंत श्रृंखला द्वारा दिया जाता है। यदि आप रुचि रखते हैं तो CCA नेटवर्क के पेज में अधिक लिंक हैं।

— केवह

Differentiability आवश्यकता समस्या की प्रकृति में परिवर्तन नहीं होता: की आवश्यकता होती है (निरंतरता) या (अनंत differentiability) एक ही कम लंबाई और अंक की एक ही आदेश के लिए बाध्य कर देता है, और यात्रा विक्रेता की समस्या को हल करने के बराबर है । $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^{\infty}$

यदि आपके पास TSP का हल है, तो आपके पास वक्र है जो सभी बिंदुओं से गुजरता है। इसके विपरीत, यदि आप एक है लगता परिमित लंबाई की वक्र है कि सभी बिंदुओं के माध्यम से चला जाता है, और जिस क्रम में यह अंक और पार करता हो संबंधित पैरामीटर (यदि वक्र एक बार से अधिक बिंदु को पार करता है, तो किसी भी संभावित मान को चुनें )। फिर खंडों से निर्मित वक्र $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^0$ $p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$ $t_1,\ldots,t_n$ $t$ $n$ $[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ कम है, क्योंकि प्रत्येक खंड के लिए सीधी रेखा बिंदु को जोड़ने वाले किसी भी वक्र से कम होती है। इस प्रकार अंकों के प्रत्येक क्रम के लिए, सबसे अच्छा वक्र टीएसपी समाधान है, और टीएसपी समाधान बिंदुओं का सबसे अच्छा क्रम प्रदान करता है।

चलो अब पता चलता है कि वक्र की आवश्यकता होती है होना करने के लिए करते हैं (या से किसी के लिए ) अंक का सबसे अच्छा आदेश नहीं बदलता है। कुल लंबाई में से किसी TSP समाधान के लिए और किसी भी , हम हर कोने, यानी एक का निर्माण कर सकते हैं दौर वक्र कि उसी क्रम में अंक को पार करता है और अधिक से अधिक की लंबाई है (स्पष्ट निर्माण पर निर्भर करता है बीजीय कार्य करता है और परिभाषित करने के लिए कार्य करता है टक्कर और जैसे वक्र क्षेत्रों के बीच उन चिकनी कनेक्शन से $\mathcal{C}^{\infty}$ $\mathcal{C}^k$ $k$ $\ell$ $\epsilon > 0$ $\mathcal{C}^{\infty}$ $\ell + \epsilon$ $e^{-1/t^2}$ जो साथ और पर साथ जोड़ता है; यह स्पष्ट करने के लिए थकाऊ है, लेकिन वे कम्प्यूटेशनल हैं); इसलिए, एक के लिए बाध्य निचले वक्र क्षेत्रों का एक संग्रह है (ध्यान दें कि लोअर बाउंड सामान्य रूप में पूरा नहीं हुआ है) के लिए के रूप में ही है। $e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ $y=0$ $x=0$ $y=x$ $x=1$ $\mathcal{C}^{\infty}$

— गिल्स 'SO- बुराई होना बंद करो'
स्रोत

यह बिल्कुल वही तर्क है जिसकी मैं लंबे समय से तलाश कर रहा था! क्या आप थकाऊ निर्माण के लिए एक संदर्भ दे सकते हैं?

— PKG

यह पूरी तरह से कठोर नहीं है, खासकर जब से विमान में आप बहुपक्षीय समय में टीएसपी के लिए मनमाने ढंग से अच्छा सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं।

— सुरेश

मैंने सोचा कि आप केवल पाली समय में 2 के कारक के भीतर TSP का अनुमान लगा सकते हैं?

— पीकेजी

@PKG कंस्ट्रक्शन का शायद नाम है, लेकिन मुझे डर है कि मेरे कैलकुलस क्लासेस बहुत पहले से मेरे लिए इसे याद कर रहे थे। मुझे अभी याद आया है कि मूल कनेक्शन को एक बंप फ़ंक्शन कहा जाता है।

— गिलेस एसओ- बुराई को रोकना '

यह प्रति से एक गलती नहीं है। आपका कमी अनुमानित है - कुछ त्रुटि अवधि तक

। इस मामले, क्योंकि कमी महंगा हो सकता है (यानी घातीय में

)। इसलिए कमी सटीक नहीं है। @PKG आप सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान में कारक 3/2 के लिए TSP अनुमानित और मनमाने ढंग से पास कर सकते हैं (के भीतर करने के लिए

विमान या किसी इयूक्लिडियन स्थान में)।

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— सुरेश