क्या ट्यूरिंग कटौती द्वारा एनपी-कठोरता दिखा सकता है?

रामिरेज़-अल्फोंसिन द्वारा फ्रोबेनियस समस्या के पेपर जटिलता में , ट्यूरिंग कटौती का उपयोग करते हुए एक समस्या एनपी-पूर्ण साबित हुई थी। क्या यह संभव है? बिल्कुल कैसे? मैंने सोचा था कि यह केवल एक बहुपद के समय में बहुत से कमी से संभव था। क्या इस बारे में कोई संदर्भ हैं?

क्या एनपी-कठोरता की दो अलग-अलग धारणाएं हैं, यहां तक कि एनपी-पूर्णता भी? लेकिन फिर मैं उलझन में हूं, क्योंकि एक व्यावहारिक दृष्टिकोण से, अगर मैं यह दिखाना चाहता हूं कि मेरी समस्या एनपी-हार्ड है, जो मैं उपयोग करता हूं?

उन्होंने विवरण निम्नानुसार शुरू किया:

एक समस्या से एक बहुपद समय ट्यूरिंग कमी $P_1$ एक और समस्या को $P_2$ एक एल्गोरिथ्म एक जो हल करती है $P_1$ एक काल्पनिक सबरूटीन एक का उपयोग करके 'को सुलझाने के लिए $P_2$ ऐसी है कि, अगर ए' के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म थे $P_2$ तो एक लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म होगा $P_1$ । हम कहते हैं कि $P_1$ को ट्यूरिंग तक कम किया जा सकता है $P_2$ ।

एक समस्या $P_1$ कहा जाता है (ट्यूरिंग) NP-hard अगर कोई NP-पूर्ण निर्णय समस्या $P_2$ है तो $P_2$ को T से घटाकर किया जा सकता है $P_1$ ।

और फिर वे एनपी-पूर्ण समस्या से ऐसी ट्यूरिंग कमी का उपयोग करते हैं जो किसी अन्य समस्या की एनपी-पूर्णता दिखाते हैं।

— user2145167
स्रोत

जवाबों:

एनपी-कठोरता की दो अलग-अलग धारणाएं हैं (कम से कम)। सामान्य धारणा है, जो कार्प कटौती का उपयोग करता है, कहा गया है कि एक भाषा एनपी कठिन अगर एनपी में हर भाषा के लिए कार्प-कम कर देता है । यदि हम कुक रिडक्शन को बदल कर Karp कम कर देते हैं, तो हमें एक अलग धारणा मिलती है। हर भाषा जो कि कार्प-एनपी-हार्ड है, कुक-एनपी-हार्ड भी है, लेकिन इसका अंदाजा शायद गलत है। मान लीजिए कि एनपी कोएनपी से अलग है, और अपनी पसंदीदा एनपी-पूर्ण भाषा । फिर का पूरक कुक-एनपी-हार्ड है लेकिन कार्प-एनपी-हार्ड नहीं। $L$ $L$ $L$ $L$

कारण यह है कि कुक-एनपी कठिन है वह इस प्रकार है: किसी भी भाषा लेने एन पी में। के बाद से एनपी कठिन है, वहाँ एक polytime समारोह है ऐसी है कि iff iff । से एक कुक कमी को लेता , computes , जाँच करता है कि $\overline{L}$ $M$ $L$ $f$ $x \in M$ $f(x) \in L$ $f(x) \notin \overline{L}$ $M$ $\overline{L}$ $x$ $f(x)$ , और कॉनसेप्ट को आउटपुट करता है। $f(x) \in \overline{L}$

कारण यह है कि एनपी कठिन नहीं है (यह मानते हुए एनपी coNP से अलग है) इस प्रकार है। मान लीजिए एनपी-हार्ड थे। तब हर भाषा के लिए coNP में, वहाँ एक polytime कमी है ऐसी है कि iff , या दूसरे शब्दों में, iff । के बाद से एन पी, यह दिखाता है कि में है एन पी में है, और इसलिए coNP $\overline{L}$ $\overline{L}$ $M$ $f$ $x \in \overline{M}$ $f(x) \in \overline{L}$ $x \in M$ $f(x) \in L$ $L$ $M$ $\subseteq$ एन पी। यह तुरंत संकेत मिलता है कि एनपी coNP, और इसलिए एनपी = coNP। $\subseteq$

यदि कुछ कुक-एनपी-हार्ड भाषा पी में है, तो पी = एनपी: एनपी में किसी भी भाषा लिए, लिए एक पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म देने के लिए में कुक कमी का उपयोग करें । तो इस मायने में, कुक-एनपी-पूर्ण भाषाएं "एनपी में सबसे कठिन" भी हैं। के लिए एक कुक कमी: दूसरी ओर, यह देखने के लिए कि कुक-एनपी कठिन = कुक-coNP मुश्किल आसान है के लिए एक कुक कमी में बदला जा सकता । तो हम कुक कटौती का उपयोग करके कुछ सटीक खो देते हैं। $L$ $M$ $L$ $M$ $L$ $\overline{L}$

कुक कटौती का उपयोग करने के लिए शायद अन्य कमियां हैं, लेकिन मैं अन्य उत्तरदाताओं को छोड़ दूंगा।

— युवल फिल्मस
स्रोत

मुझे अभी तक पूरी तरह से समझ नहीं आया है कि मुझे यह कहना चाहिए। लेकिन मेरे पास एक और सवाल है, शायद आप इसका जवाब दे सकते हैं (क्योंकि इतने अधिक जवाब नहीं हैं): क्या होगा अगर मेरे पास ट्यूरिंग रेड है। एनपी-पूर्ण समस्या ए से कुछ समस्या बी और एक कार्प लाल। समस्या B से प्रोबल्म सी तक। क्या समस्या C की NP-पूर्णता स्थापित करता है (सदस्यता कोई समस्या नहीं है)? और सामान्य तौर पर, क्या मैं समस्या को बी एनपी-कठिन या बल्कि (ट्यूरिंग) एनपी-हार्ड कह सकता हूं? धन्यवाद!

— user2145167

दो Karp कटौती एक Karp कमी के लिए रचना करते हैं, और दो Cook Reduces एक कटौती में कमी की रचना करते हैं। चूँकि एक कार्प कमी भी एक कुक कमी है, अगर आप एक कार्प कटौती और कुक कमी की रचना करते हैं तो आपको कुक कमी मिलती है। लेकिन सामान्य तौर पर आपको करप में कमी नहीं आती है।

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus, आप विस्तृत कृपया सकता है तुम क्या मतलब करने के लिए द्वारा चाहता था

iff

x \in M

$x \in M$

f (x) \in L

$f(x) \in L$

f (x) \notin \bar{L}

$f(x) \notin \overline{L}$

— उमर शहाब

एक से कार्प-कमी

के

एक समारोह है

(इस मामले में polytime) ऐसी है कि

iff

। के लिए हर

यह हमेशा कि रखती है

iff

, जहां

के पूरक है

(की सीमा के संबंध में

)।

M

$M$

L

$L$

f

$f$

x \in M

$x \in M$

f (x) \in L

$f(x) \in L$

f, x

$f,x$

f (x) \in L

$f(x) \in L$

f (x) \notin \bar{L}

$f(x) \notin \overline{L}$

\bar{L}

$\overline{L}$

L

$L$

f

$f$

— युवल फिल्मस

कोई बात नहीं। एक बहुपद-काल ट्यूरिंग कटौती एक कुक कमी है (कुक-लेविन प्रमेय के रूप में) और नई समस्या के लिए एक एनपी-पूर्ण समस्या को कम करने से एनपी-कठोरता मिलती है (जैसा कि बहुपद-तीम कई-एक कमी, एकेए कार्प कमी)। वास्तव में, कार्प की कटौती वैसे भी ट्यूरिंग कटौती प्रतिबंधित है।

जहां वे भिन्न हैं (इस प्रश्न के संबंध में) सदस्यता दिखाने में है। एनपी में एक समस्या से एक कार्प की कमी से पता चलता है कि एनपी में पहला है। एक ही दिशा में एक कुक कमी नहीं करता है।

— ल्यूक मैथिसन
स्रोत

धन्यवाद। मुझे यह भी पता नहीं था कि कोई व्यक्ति कार्प में कमी का उपयोग करके सदस्यता दिखाता है। लेकिन यह समझ में आता है। लेकिन दोनों दिशाओं में एक ट्यूरिंग कटौती का उपयोग करके एनपी-सदस्यता दिखा सकते हैं, है ना?

— user2145167

@ user2145167 नहीं, युवल का जवाब यहां पूरी कहानी देता है, लेकिन संक्षेप में, कुक रिडक्शन कमजोर हैं, इसलिए और अधिक की अनुमति दें - जैसे आप किसी भी एनपी-पूर्ण समस्या के लिए कुक की कमी के माध्यम से किसी भी सह-एनपी समस्या से जा सकते हैं, जो नहीं है Karp कटौती के लिए सच है।

— ल्यूक मैथिसन