एक आसन्न मैट्रिक्स के eigenvalues ​​के पीछे अंतर्ज्ञान

Question

मैं वर्तमान में Cheeger बाध्य और Cheeger की असमानता के उपयोग, और वर्णक्रमीय विभाजन, चालन, विस्तार आदि के लिए उनके उपयोग को समझने के लिए काम कर रहा हूं , लेकिन मैं अभी भी आसन्न मैट्रिक्स के दूसरे स्वदेशी के बारे में एक अंतर्ज्ञान की शुरुआत करने के लिए संघर्ष करता हूं।
आमतौर पर, ग्राफ थ्योरी में, हम जो भी कॉन्सेप्ट करते हैं, उनमें से ज्यादातर इंटुइट करने के लिए काफी सरल होते हैं, लेकिन इस मामले में, मैं यह भी नहीं बता सकता कि किस तरह के ग्राफ में एक दूसरे का ईजेंवल्यू बहुत कम या बहुत अधिक होगा।
मैं एसई नेटवर्क पर यहां और वहां पूछे गए समान प्रश्नों को पढ़ रहा हूं, लेकिन वे आमतौर पर अलग-अलग क्षेत्रों ( बहुभिन्नरूपी विश्लेषण , यूक्लिडियन दूरी के मैट्रिसेस , सहसंबंध मैट्रिसेस ...) में आइजनवेल्यूज का उल्लेख करते हैं ।
लेकिन वर्णक्रमीय विभाजन और ग्राफ सिद्धांत के बारे में कुछ भी नहीं।

क्या रेखांकन और निकटवर्ती मैट्रिसेस के मामले में कोई व्यक्ति इस दूसरे प्रतिध्वनि के अपने अंतर्ज्ञान / अनुभव को साझा कर सकता है?

Comments

क्या आप आसन्न मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम और ग्राफ पर यादृच्छिक चलने के अभिसरण के बीच संबंध से परिचित हैं?

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus वास्तव में यादृच्छिक चलता है, और किसी भी तरह आसन्न मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम से परिचित होने के बावजूद बिल्कुल भी नहीं। इसलिए मैं वास्तव में आपके विचार में दिलचस्पी रखता हूं :)

— m.raynal

Answer 1

दूसरा (परिमाण में) आइगेनवेल्यू ग्राफ पर यादृच्छिक चलने के अभिसरण की दर को नियंत्रित करता है। यह कई व्याख्यान नोटों में समझाया गया है, उदाहरण के लिए लुका ट्रेविसन के व्याख्यान नोट्स । मोटे तौर पर, चरणों के बाद एकरूपता के लिए एल 2 दूरी द्वारा बाध्य किया जा सकता ।$t$$\lambda_2^t$

एक और जगह जहां दूसरा ईजेंवल्यू शो होता है वह प्लांटेड क्लिक् समस्या है । प्रारंभिक बिंदु अवलोकन है कि एक यादृच्छिक 1/2 ग्राफ में आकार का एक समूह होता है , लेकिन लालची एल्गोरिथ्म केवल आकार का पाता है , और कोई बेहतर कुशल एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है। (लालची एल्गोरिथ्म बस एक यादृच्छिक नोड चुनता है, सभी गैर-पड़ोसियों को दूर फेंकता है, और दोहराता है।)$G(n,1/2)$$2\log_2 n$$\log_2 n$

यह पता चलता है रोपण के शीर्ष पर एक बड़े गुट । सवाल यह है: क्लिक् कितना बड़ा होना चाहिए, ताकि हम इसे कुशलता से पा सकें। यदि हम आकार का एक पंजा , तो हम केवल उनकी डिग्री द्वारा क्लिक के कोने की पहचान कर सकते हैं; लेकिन यह विधि केवल आकार के । हम वर्णक्रमीय तकनीकों का उपयोग करके इसमें सुधार कर सकते हैं: यदि हम आकार का एक क्लस्टर लगाते हैं , तो दूसरा eigenvector क्लिक को एन्कोड करता है, जैसा कि Alon, Krivelevich और Sudakov ने एक क्लासिक पेपर में दिखाया था।$G(n,1/2)$$C\sqrt{n\log n}$$\Omega(\sqrt{n\log n})$$C\sqrt{n}$

अधिक आम तौर पर, कुछ छोटे समूहों में ग्राफ को विभाजित करने के लिए पहले कुछ eigenvectors उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए देखें लुका ट्रेविसन के लेक्चर नोट्स के अध्याय 3 में , जो उच्च-क्रम के चीगर असमानताओं का वर्णन करता है।

Answer 2

(डिस्क्लेमर: यह उत्तर सामान्य रूप से रेखांकन के eigenvalues ​​के बारे में है, विशेष रूप से दूसरा eigenvalue नहीं। मुझे आशा है कि यह फिर भी मददगार है।)

एक ग्राफ के आइगेनवैल्यूज़ के बारे में सोचने का एक दिलचस्प तरीका है वेक्टर स्पेस जहाँऔर प्रत्येक वेक्टर को एक फ़ंक्शन (यानी, एक शीर्ष लेबलिंग) के साथ पहचानना । आसन्न मैट्रिक्स का एक आइजनवेक्टर, फिर, का एक तत्व है, ऐसा है कि (यानी, एक eigenvalue) में । की निकटता मैट्रिक्स जा रहा है । ध्यान दें कि मानचित्र के साथ जुड़ा हुआ वेक्टर है जो में प्रत्येक शीर्ष को भेजता है$G = (V, E)$$\mathbb{R}^n$$n = |V|$$f\colon V \to \mathbb{R}$$f \in \mathbb{R}^n$$\lambda \in \mathbb{R}$$A f = \lambda f$$A$$G$$A f$$v \in V$$\sum_{u \in N(v)} f(u)$, पड़ोसियों का सेट (यानी, समीपस्थ कोने) । इसलिए, इस सेटिंग में, की eigenvector संपत्ति उस संपत्ति से मेल खाती है जो किसी वर्टेक्स के पड़ोसियों के फ़ंक्शन मान (अंडर ) से अधिक होती है, निरंतर साथ वर्टेक्स के फ़ंक्शन मान को गुणा करने के समान परिणाम देता है ।$N(v)$$u$$f$$f$$\lambda$

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद, मैंने कभी नहीं देखा था कि आइजेनवीक्टर गुणा \ lambda पड़ोसियों के फ़ंक्शन मानों के योग का मूल्य था (भले ही यह परिभाषा से सीधे आता हो)।

— m.raynal

मुझे न तो :) मुझे यह ग्राफ़ के आइगेनवेल्यूज़ के पाठ्यक्रम में संयोग से मिला ।

— डेकाए

Answer 3

मुझे लगता है कि ज्यादातर चीजें ग्राफ के लाप्लासियन को देखने के लिए अधिक उत्पादक हैं $G$, जो निकटवर्ती मैट्रिक्स से निकटता से संबंधित है। यहां आप इसका उपयोग ग्राफ के एक "स्थानीय बनाम वैश्विक" संपत्ति के दूसरे आइगेनवेल्यू से संबंधित करने के लिए कर सकते हैं।

सादगी के लिए, मान लीजिए कि $G$ है $d$नियमित। फिर सामान्यीकृत लाप्लासियन$G$ है $L= I - \frac1d A$, कहाँ पे $I$ है $n\times n$ पहचान, और $A$आसन्न मैट्रिक्स है। लाप्लासियन के बारे में अच्छी बात यह है कि, वैक्टर को कार्यों के रूप में लिखना$f: V\to \mathbb{R}$ @dkaeae की तरह, और उपयोग करना $\langle \cdot, \cdot \rangle$ सामान्य आंतरिक उत्पाद के लिए, हमारे पास दिए गए द्विघात रूप के लिए यह बहुत अच्छी अभिव्यक्ति है $L$:

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

का सबसे बड़ा स्वदेशी $A$ है $d$, और सबसे छोटे eigenvalue से मेल खाती है $L$, जो है $0$; दूसरा सबसे बड़ा eigenvalue$\lambda_2$ का $A$ के दूसरे सबसे छोटे eigenvalue से मेल खाती है $L$, जो है $1 - \frac{\lambda_2}{d}$। द्वारा न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत , हमारे पास है

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

नोटिस जो $\langle f, Lf\rangle$ जब हम शिफ्ट होते हैं तो नहीं बदलता है $f$प्रत्येक शीर्ष के लिए समान स्थिरांक द्वारा। तो, समकक्ष, आप किसी भी के लिए परिभाषित कर सकते हैं$f:V \to \mathbb{R}$, "केंद्रित" फ़ंक्शन $f_0$ द्वारा $f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$, और लिखा

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

अब गणना का एक सा पता चलता है कि , और उपर्युक्त को प्रतिस्थापित करना और अंश और भाजक को विभाजित करना , हमारे पास है$\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$$\frac{n}{2}$

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

इसका मतलब यह है कि, अगर हम बिंदु पर वास्तविक रेखा पर प्रत्येक शीर्ष को जगह देते हैं , तो ग्राफ़ में दो स्वतंत्र यादृच्छिक कोने (भाजक) के बीच की औसत दूरी अधिकांश ग्राफ (अंश) में एक यादृच्छिक किनारे के समापन बिंदु के बीच की औसत दूरी। तो इस अर्थ में, एक बड़े वर्णक्रमीय अंतराल का अर्थ है कि (स्थानीय व्यवहार) के एक यादृच्छिक किनारे पर जो होता है, वह एक अच्छा पूर्वसूचक होता है जो यादृच्छिक यादृच्छिक असंबद्ध जोड़े (वैश्विक व्यवहार) में होता है।$u$$G$$f(u)$$\frac{d}{d - \lambda_2}$$G$