अड़चन समस्या के साथ नौकरी का समय निर्धारण

Question

यह देखते हुए $n$ नौकरियों $J_1,J_2,...,J_n$ , हर काम की आवश्यकता है $T_i > 0, T_i \in N$ समय पूरा करने के लिए।

प्रत्येक कार्य को एक मशीन एम द्वारा पूर्व-संसाधित और पोस्ट-प्रोसेस किया जाना चाहिए जो एक समय में केवल 1 कार्य को संभाल सकता है और दोनों चरणों को 1 यूनिट समय की आवश्यकता होती है। पूर्व-संसाधित होने के बाद, नौकरी $J_i$ को असीमित शक्ति के साथ एक मशीन पर भेजा जाता है (जो कि असीमित संख्या में नौकरियों को संभाल सकता है) और यह समय में तैयार हो जाएगा I $T_i$ , फिर इसे मशीन एम को भेजा जाना चाहिए ( तुरंत ) फिर से प्रसंस्करण के लिए।

संबंधित निर्णय समस्या है:

इनपुट: प्रसंस्करण बार $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$ के $N$ रोजगार, पूर्णांक एक $K\geq 2N$
प्रश्न: हम समय में सभी नौकरियों को संसाधित कर सकते $\leq K$ के ऊपर "टोंटी" मॉडल का उपयोग?

क्या इस समस्या का कोई नाम है?
इसकी जटिलता क्या है? (यह $\sf{P}$ या यह $\sf{NP}$ अपूर्ण है?)

अद्यतन 29 मार्च:
के रूप में सही ढंग से अपने जवाब में M.Cafaro द्वारा देखा, समस्या के समान है स्वैच्छिक न्यूनतम समापन समय समस्या (UMFT) (देखें के अध्याय 17 निर्धारण एल्गोरिदम की पुस्तिका ), जो है (डब्ल्यू में साबित कर दिया -हार्ड कर्न और डब्ल्यू। न्वाइजन, "टाइमिंग विथ सिंगल मशीन पर शेड्यूलिंग मल्टी-ऑपरेशन जॉब्स", ट्वेंटी विश्वविद्यालय, 1993)। जैसा कि मैं देख सकता हूं, मेरे मॉडल में कुछ अंतर हैं:$\sf{NP}$

• पूर्व / पोस्ट प्रोसेसिंग समय स्थिर है (समय की 1 इकाई)
• जैसे ही नौकरी पूरी हो जाती है उसे तुरंत पोस्ट-प्रोसेस्ड होना चाहिए (UMFT मॉडल देरी की अनुमति देता है)

मुझे Kern & Nawijn सबूत ऑनलाइन नहीं मिला, इसलिए मुझे अभी भी नहीं पता है कि उपरोक्त प्रतिबंध समस्या की कठिनाई को बदलते हैं या नहीं।

अंत में आप एक बड़े ओवन के साथ एकल कुक रोबोट की तरह पूरी प्रक्रिया को सोच सकते हैं ; रोबोट एक समय में विभिन्न प्रकार के खाद्य पदार्थ तैयार कर सकता है (सभी को तैयारी के समान समय की आवश्यकता होती है), उन्हें ओवन में रखें, और जैसे ही उन्हें पकाया जाता है, उन्हें ओवन से निकालना चाहिए और कुछ ठंडे अवयवों को जोड़ना होगा ... " कुक रोबोट समस्या " :-)

Comments

अच्छा लगा। मुझे इस बात का अहसास है कि अड़चनें चीजों को सरल बनाना चाहिए।

— राफेल

बाधा हमेशा की तरह, सत्यापित किया गया है के बाद से पहले और बाद के प्रसंस्करण लागत समय के दोनों 1 यूनिट कर रहे हैं और आपके पास n नौकरियों। क्या आप सुनिश्चित हैं कि बाधा सही है? $k \geq 2 n$$n$

— मासिमो काफ़ारो

क्षमा करें, मैं पिछली टिप्पणी में मेरे कहने के बारे में स्पष्ट नहीं था। क्या स्पष्ट रूप से "समय सीमा" के रूप में दिया गया है या आप k को कम करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के लिए पूछ रहे हैं ? $k$$k$

— मासिमो कापरो

@MassimoCafaro: को इनपुट के रूप में दिया गया है (अनुकूलन समस्या को निर्णय समस्या बनाने के लिए)। क्या आपने देखा के रूप में, मैंने लिखा कश्मीर ≥ 2 n क्योंकि अगर कश्मीर < 2 n जवाब तुच्छता नहीं है। लेकिन शायद यह भ्रामक है और मुझे इसे हटा देना चाहिए। $k$$k \geq 2n$$k < 2n$

— वोर

आपका प्रश्न डब्ल्यू। यू।, एच। होओगेवेन, और जेके लेनस्ट्रा (2004) के अनुसार, "डेल्स एंड यूनिट-टाइम ऑपरेशंस के साथ दो-मशीन फ्लो शॉप में मिनिमाइजिंग मैकस्पेसन में एनपी-पूर्ण " साबित हुआ है , जो यह भी कहते हैं कि कर्न और नवाजीन ने इसका हल नहीं निकाला। मैं उद्धृत करता हूं: "इकाई प्रसंस्करण समय कार्यों के साथ विशेष मामले की जटिलता की स्थिति न्यूनतम और सटीक देरी दोनों के लिए खुली है। न्यूनतम विलंब के साथ जटिलता की स्थिति कोर्न और नवजन (1991) द्वारा एक खुले प्रश्न के रूप में प्रस्तुत किया गया है।"

— पीटर शोर

Answer 1

सवाल एनपी मुश्किल साबित होता है में "देरी के साथ एक दो मशीन फ्लो दुकान में कम करने Makespan और यूनिट समय संचालन एनपी हार्ड है" डब्ल्यू यू, एच Hoogeveen, और जे Lenstra (2004) से। यह कागज के खंड 9 में सिद्ध है:

प्रमेय 24. एक मशीन पर मेकप को न्यूनतम करने की समस्या जिसमें दो यूनिट समय संचालन प्रति मनमानी मध्यवर्ती विलंब के साथ काम करना है, दृढ़ता से एनपी-हार्ड है।

यहां अध्ययन किया गया सटीक मॉडल यह है कि नौकरी दो ऑपरेशन होते हैं जो यूनिट समय को कुछ देरी से अलग करते हैं I टी । समस्या दृढ़ता से एन पी-सम्पूर्ण दोनों जब देरी का सही मूल्य है टी मैं हर काम के लिए निर्दिष्ट किया जाता है, और जब कुछ न्यूनतम देरी समय हर काम के लिए निर्दिष्ट किया जाता है।$i$$T_i$$T_i$

Answer 2

यह साहनी द्वारा पेश तथाकथित मास्टर-दास शेड्यूलिंग मॉडल जैसा दिखता है । विशेष रूप से, आपकी समस्या एकल-मास्टर मास्टर-स्लेव सिस्टम के अंतर्गत आती है। आप कई मामलों में अंतर कर सकते हैं:

1) यदि आप नौकरी के निष्पादन के क्रम में कोई अतिरिक्त बाधा नहीं जोड़ते हैं (जैसा कि आपके मामले में है), समस्या को असंबंधित न्यूनतम फिनिश टाइम समस्या (यूएमएफटी) कहा जाता है और इसे एनपी-हार्ड दिखाया गया है;

2) वही प्री- और पोस्टप्रोसेसिंग ऑर्डर: न्यूनतम खत्म समय (ओपीएमएफटी) शेड्यूल को संरक्षित करने वाले ऑर्डर के निर्माण के लिए एल्गोरिदम को डिजाइन करना संभव है ;$O(n \log n)$

इसलिए, यदि आपकी समस्या 1 है , जबकि यह P केस 2 में है।$NP$$P$

अतिरिक्त संबंधित समस्याएं हैं:

3) उलटे क्रम पोस्टप्रोसेसिंग: किसी भी preprocessing क्रमचय के लिए, , यह संभव एक रिवर्स-आदेश अनुसूची के निर्माण के लिए है, करने के लिए भेजा के रूप में विहित उलटे क्रम अनुसूची (CROS)। एक preprocessing क्रमचय को देखते हुए σ , इसी CROS अद्वितीय है। यह स्थापित करना आसान है कि प्रत्येक न्यूनतम फिनिश-टाइम रिवर्स ऑर्डर (ROMFT) अनुसूची एक CROS है।$σ$$σ$

4) नहीं-प्रतीक्षा-में-प्रक्रिया बाधा:

क) [एमएफटीएनडब्ल्यू] नो-वेट-इन-प्रक्रिया में बाधा के अधीन समय खत्म करना; बी) [ओपी-एमएफटीएनडब्ल्यू] यह एमएफटीएनडब्ल्यू का आदेश-संरक्षण संस्करण है। यही है, नो-वेट-इन-इन-प्रोसेस और ऑर्डर-प्रोटेक्टिंग बाधाओं के अधीन समाप्त समय को न्यूनतम करें; c) [RO-MFTNW] नो-वेट-इन-प्रोसेस और रिवर्स-ऑर्डर की कमी के अधीन समय समाप्त करें।

$a$$b$$c$

हैंडबुक ऑफ शेड्यूलिंग में अतिरिक्त विवरण , अध्याय 17।

Comments

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$n$$n$$n$$n$

यह मुझे ऐसा लगता है जैसे साहनी का एनपी-कठोरता प्रमाण इस तथ्य का आलोचनात्मक रूप से उपयोग करता है कि पूर्व-प्रसंस्करण समय और प्रसंस्करण के बाद का समय मनमाना हो सकता है। ओपी की समस्या इन सभी के बराबर है। क्या इस मामले में सबूत काम करता है?

— पीटर शोर

Vor, जिस पेपर को आप संदर्भित करते हैं, वह पुस्तक के अध्याय 17 के कई गायब हिस्सों के साथ एक उद्धरण है। हालांकि, लापता भाग आपको सही तरीके से समझने (लापता संकेतन आदि) से बचाएगा।

— मासिमो काफ़ारो

$O(n \log n)$