P और NP की असमानता के लिए विरोधाभासी प्रमाण?

मैं यह तर्क देने की कोशिश कर रहा हूं कि पदानुक्रम प्रमेयों का उपयोग करके एन समान एनपी नहीं है। यह मेरा तर्क है, लेकिन जब मैंने इसे हमारे शिक्षक को दिखाया और कटौती के बाद, उन्होंने कहा कि यह समस्याग्रस्त है जहां मुझे स्वीकार करने के लिए एक आकर्षक कारण नहीं मिल सकता है।

हम मानकर शुरू करते हैं । तब यह उस पैदावार देता है, जो तब उस । खड़ा के रूप में, हम में हर भाषा को कम करने में समर्थ हैं को । इसलिए, । इसके विपरीत, समय पदानुक्रम प्रमेय बताता है कि एक भाषा होनी चाहिए , वह । यह हमारे नेतृत्व समाप्त करने के लिए है कि होगा में है , में जबकि नहीं , जो हमारी पहली धारणा के लिए एक विरोधाभास है। तो, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि । $P=NP$ $\mathit{SAT} \in P$ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$

क्या मेरे प्रमाण में कुछ गड़बड़ है?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
स्रोत

कृपया, $\mathit{SAT}$ इसके बजाय कुछ लिखें $SAT$ । जैसा कि लेस्ली लामपोर्ट ने अपनी मूल LaTeX पुस्तक में लिखा है, बाद का समय S समय के लिए खड़ा है। टी

— ओलिपहंट - मोनिका

बेहतर अभी तक, complexityपैकेज का उपयोग करें और बस लिखें \SAT। (मुझे लगता है कि इस स्टैक पर उपलब्ध नहीं है, हालांकि।)

— ओलिपहंट - मोनिका

@Oliphaunt जब आप पोस्ट को बेहतर बना सकते हैं तो संपादन का सुझाव क्यों नहीं देते? हालाँकि मुझे कहना होगा कि यहाँ अंतर (अगर कोई है) मैं उम्मीद से ज्यादा सूक्ष्म है।

— छिपकली

@Discretelizard मैं अक्सर करता हूं, लेकिन यह इस बार "बहुत अधिक काम" था (मैं मोबाइल पर था / हूं)। उन सभी $ और \ में प्रवेश करना बहुत ही काम है। मैंने इसके बजाय शिक्षित करना चुना। (यह निर्णय पूरी तरह तर्कसंगत नहीं हो सकता है।)

— ओलिपहंट - मोनिका

जवाबों:

तो यह पैदावार कि $SAT \in P$ जो अपने आप में तो इस प्रकार है कि $SAT \in TIME(n^k)$ ।

ज़रूर।

जैसा कि खड़ा है, हम $NP$ से $SAT$ में हर भाषा को कम करने में सक्षम हैं । इसलिए, $NP \subseteq TIME(n^k)$ ।

सं बहुपद समय में कटौती मुक्त नहीं हैं। हम यह कह सकते हैं कि भाषा से को कम करने के लिए $O(n^{r(L)})$ समय लगता है , जहाँ प्रयुक्त बहुपद समय में कमी का घातांक है। यह वह जगह है जहाँ आपका तर्क अलग हो जाता है। कोई परिमित है में इस तरह के सभी के लिए है कि हमारे पास । कम से कम यह से अनुसरण नहीं करता है $L$ $SAT$ $r(L)$ $k$ $L \in NP$ $r(L) < k$ $P = NP$ और एक बहुत मजबूत बयान होगा।

और यह मजबूत बयान वास्तव में समय पदानुक्रम प्रमेय के साथ संघर्ष करता है, जो हमें बताता है कि $P$ $TIME(n^k)$ में नहीं गिर सकता है , अकेले $NP$ सभी को छोड़ दें ।

— orlp
स्रोत

यह न केवल कमी का समय है। आप एक बड़ी समस्या को कम कर सकते हैं। अगर मैं X को O (n ^ 5) में हल कर सकता हूं, और मैं Y में O (n ^ 6) में O (n ^ 3) के आकार के उदाहरण में एक समस्या को कम कर सकता हूं, तो मुझे O (n ^ 15) की आवश्यकता होगी कुल मिलाकर।

— gnasher729

मनोरंजक रूप से, यह तर्क PTIME- पूर्ण समस्याओं पर भी लागू होता है, जैसे HORNSAT, जो कि रैखिक समय में हल करने योग्य है (लेकिन P की सभी समस्याएं रैखिक समय की नहीं हैं)।

— कोड़ी

कि मान लीजिए $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ । समय पदानुक्रम प्रमेय nondeterministic संस्करण करके, किसी के लिए $r$ , वहाँ एक समस्या है $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ कि में नहीं है $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ । यह एक बिना शर्त परिणाम है जो जैसी किसी भी तरह की धारणा पर निर्भर नहीं करता है $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

कोई भी $r>k$ चुनें । मान लीजिए कि हमारे पास $X_r$ से $\mathrm{3SAT}$ तक एक नियतात्मक कमी है जो समय $n^t$ में चलती है । यह सबसे अधिक पर $\mathrm{3SAT}$ आकार का उत्पादन करता है , जिसे समय पर अधिकांश में हल किया जा सकता है । की हमारी पसंद से , हमें , होना चाहिए $n^t$ $(n^t)^k=n^{tk}$ $X_r$ $tk>r-1$ $t>(r+1)/k$ । यह फ़ंक्शन $r$ साथ बंधे बिना बढ़ता है ।

इसका मतलब यह है कि को एक मनमाना $\mathrm{NP}$ समस्या को कम करने में कितना समय लग सकता है, इस पर कोई बाध्य नहीं है । यहां तक कि अगर , वहां अभी भी कोई कितनी देर तक उन कटौती ले जा सकते हैं पर बाध्य कर रहा है। तो, विशेष रूप से, भले ही कुछ के लिए , हम निष्कर्ष निकाल नहीं कर सकता कि $\mathrm{3SAT}$ $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ $k'$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , या यहाँ तक कि $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ कुछ के लिए $k''>k'$ ।

— डेविड रिचेर्बी
स्रोत