सही मिलान समान रूप से यादृच्छिक पर

Question

मान लीजिए कि मेरे पास (सही) के आदर्श मिलान के साथ (अज्ञात) का एक ग्राफ है । मान लीजिए कि यह सेट गैर-रिक्त है, तो से यादृच्छिक रूप से समान रूप से नमूना लेना कितना मुश्किल है ? क्या होगा अगर मैं एक वितरण के साथ ठीक हूं जो वर्दी के करीब है, लेकिन काफी समान नहीं है, तो क्या एक कुशल एल्गोरिदम है?एम ( जी ) जी एम ( जी $G$$M(G)$$G$$M(G)$

Comments

क्या आप बारे में कुछ और जानते हैं ? या दूसरे शब्दों में, क्या आप किसी भी प्रतिबंधित ग्राफ कक्षाओं में रुचि रखते हैं? $G$

— जुहो

@ जूहो मैं सामान्य रेखांकन के लिए परिणाम पसंद करता हूं, विशेष रूप से घने रेखांकन के लिए (इसलिए युवल ने अपने उत्तर में जो उल्लेख किया है वह बहुत अच्छा लगता है)। मुझे लगता है कि पहले प्लैनर ग्राफ के लिए कुछ परिणाम देखे हैं। हालाँकि, चूंकि यह एक सामान्य प्रश्न है, अगर आपके पास रेखांकन के कुछ दिलचस्प परिवारों के लिए एक उत्तर है, तो शायद यह अभी भी दूसरों के उत्तर देने के लिए सार्थक है क्योंकि इस प्रश्न की खोज जानना चाहते हैं।

— आर्टेम काज़नाचेव

बस स्पष्ट होने के लिए, मुझे लगता है कि आपके पास हाथ में नहीं है ? $M(G)$

— राफेल

@ राफेल मुझे लगता है कि अगर आपने किया तो सवाल तुच्छ होगा। वास्तव में, मुझे लगता है कि यदि आप अभी भी थे तो सवाल अपेक्षाकृत सरल होगा, क्योंकि आम तौर पर गिनती और नमूने के बीच एक पत्राचार होता है। या क्या आपका मतलब किसी और तरीके से "हाथ में" था? $|M(G)|$

— आर्टेम काज़नाचेव

समझा। मुझे आपका वाक्यांश अस्पष्ट मिला, जिसे मैंने सही करने की कोशिश की। क्या इसे मैंने ठीक तरह से लिया?

— राफेल

Answer 1

घने रेखांकन से सही मिलान के नमूने पर जेरुम और सिंक्लेयर (1989) का एक शास्त्रीय पेपर है । जेरुम, सिनक्लेयर और विगोडा (2004; पीडीएफ) का एक और शास्त्रीय पेपर, द्विदलीय रेखांकन से परिपूर्ण मिलान की चर्चा करता है।

इन दोनों पत्रों में मार्कोव श्रृंखलाओं का तेजी से मिश्रण होता है, और इसलिए नमूने केवल लगभग समान हैं। मुझे लगता है कि वर्दी का नमूना मुश्किल है।

Answer 2

यदि आप मानते हैं कि आपका ग्राफ प्लानेर है, तो इस नमूने की समस्या के लिए एक बहुपद समय प्रक्रिया है।

सबसे पहले, सही मिलान की संख्या की गणना करने की समस्या पी में प्लानेर ग्राफ्स के लिए है। ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (इस तथ्य का अच्छा विवरण जेरुम की किताब के पहले अध्याय में काउंटिंग, सैंपलिंग और इंटीग्रेटिंग में पाया जा सकता है।)

इसके बाद, के लिए प्रत्येक बढ़त $e$ के $G$ , का सही matchings की संख्या की गणना $G \setminus e$ । यह इस संभावना में बदल सकता है कि एक समान परिपूर्ण मिलान में $e$ - $G$ में परिपूर्ण मिलान की संख्या से विभाजित करें । इस संभावना के अनुसार एक किनारे का नमूना लें, और आगमनात्मक रूप से जारी रखें।

(यह इस तथ्य का लाभ उठा रहा है कि मिलान एक "स्व-रिड्यूसियल" संरचना है, इसलिए गणना की समस्याएं और समान नमूनाकरण की समस्याएं अनिवार्य रूप से समान हैं। आप इसके लिए JVV "संयुक्त वितरण से यादृच्छिक संयोजन संरचनाएं" देख सकते हैं)। दृष्टिकोण।)

एक सरल प्रमाण जो यह सही वितरण देता है:

$c(H)$$H$$n!$$n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$$G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$$e_n$$1 / c(G)$