"दोहरी" अंकगणितीय प्रगति का पता लगाना 3SUM- कठिन है?

यह एक साक्षात्कार प्रश्न से प्रेरित है ।

हम पूर्णांकों की एक सरणी दिया जाता है और विशिष्ट निर्धारित करने के लिए देखते हैं अगर है ऐसा है कि $a_1, \dots, a_n$ $i \lt j \lt k$

$a_k - a_j = a_j - a_i$
$k - j = j - i$

यानी, दृश्यों और अंकगणितीय प्रगति में दोनों कर रहे हैं। $\{a_i, a_j, a_k\}$ $\{i,j,k\}$

इसके लिए एक आसान एल्गोरिदम है, लेकिन एक उप-द्विघात एल्गोरिथ्म को खोजने में मायावी लगता है। $O(n^2)$

क्या यह एक ज्ञात समस्या है? क्या हम 3SUM-कठोरता को साबित कर सकते हैं? (या शायद एक उप-द्विघात एल्गोरिथ्म प्रदान करता है?)

यदि आप चाहें, तो आप मान सकते हैं और कहा कि कुछ ज्ञात निरंतर के लिए । (साक्षात्कार समस्या में, )। $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$ $a_{r+1} - a_{r} \le K$ $K > 2$ $K = 9$

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Knoothe
स्रोत

यह एक खुली समस्या है।

$A[1..n]$

$i,j,k$ $A[i] + A[j] = A[k]$
$i<j$ $A[i] + A[j] = A[i+j]$
$i,j,k$ $A[i] + A[j] = 2 A[k]$
$i<j$ $A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

$\Omega(n^2)$ $\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ $A[i] + A[j]$ $A[k]$ $\Omega(n^2)$

$\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$ $O(n^{1.8})$ $O(n^{1.9})$

$\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

$\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

$K$ $O(n \log n)$

$B[0..Kn]$ $B[i]=1$ $A[1]+i$ $A$ $B$ $O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$ $j$ $A$ $2A[1] + j$ $A[i]+A[j]$ $O(n)$ $O(n)$

लेकिन मैं Convolution3SUM या ConvolutionAiture के लिए एक समान चाल नहीं जानता!

— JeffE
स्रोत